2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1 命題學(xué)案 北師大版選修1 -1

2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1 命題學(xué)案 北師大版選修1 -1 命題的定義及形式觀察下列語句的特點：兩個全等三角形的面積相等；y2x是一個增函數(shù)；請把門關(guān)上！ytan x的定義域為全體實數(shù)嗎？若x>2 013，則x>2 014.問題1：上述哪幾個語句能判斷為真？提示：.問題2：上述哪幾個語句能判斷為假？提示：.問題3：上述哪幾個語句不是命題？你知道是什么原因嗎？提示：.因為它們都不能判斷真假問題4：語句的條件和結(jié)論分別是什么？提示：條件為“x>2 013”，結(jié)論為“x>2 014”1命題(1)可以判斷真假、用文字或符號表述的語句叫作命題(2)判斷為真的語句叫作真命題；判斷為假的語句叫作假命題2命題的形式數(shù)學(xué)中，通常把命題表示成“若p，則q”的形式，其中，p是條件，q是結(jié)論.四種命題及其關(guān)系觀察下列四個命題：若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)問題1：命題與命題的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？提示：命題的條件是命題的結(jié)論，且命題的結(jié)論是命題的條件；對于命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定；對于命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定問題2：命題的真假性相同嗎？命題的真假性相同嗎？提示：命題同為真，命題同為假1四種命題(1)互逆命題：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么把這樣的兩個命題叫作互逆命題其中一個命題叫作原命題，另一個命題叫作原命題的逆命題(2)互否命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么把這樣的兩個命題叫作互否命題如果把其中的一個命題叫作原命題，那么另一個叫作原命題的否命題(3)互為逆否命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，把這樣的兩個命題叫作互為逆否命題如果把其中的一個命題叫作原命題，那么另一個叫作原命題的逆否命題(4)四種命題的條件、結(jié)論之間的關(guān)系如表所示：命題條件結(jié)論原命題pq逆命題qp否命題p的否定q的否定逆否命題q的否定p的否定2四種命題間的關(guān)系原命題和其逆否命題為互為逆否命題，否命題與逆命題為互為逆否命題，互為逆否的兩個命題真假性相同1判斷一個語句是否為命題關(guān)鍵看它是否符合兩個條件：一是可以判斷真假，二是用文字或符號表述的語句祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題2寫四種命題時，一定要先找出原命題的條件和結(jié)論，根據(jù)條件和結(jié)論的變化分別得到逆命題、否命題、逆否命題3互為逆否命題的兩個命題真假性相同 命題的概念及真假判斷例1判斷下列語句是否為命題，若是，請判斷真假并改寫成“若p，則q”的形式(1)垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？(2)一個正整數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)；(3)三角形中，大角所對的邊大于小角所對的邊；(4)當(dāng)xy是有理數(shù)時，x，y都是有理數(shù)；(5)1232 014；(6)這盆花長得太好了！思路點撥根據(jù)命題的概念進行判斷精解詳析(1)(5)(6)未涉及真假，都不是命題(2)是命題因為1既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)，故它是假命題此命題可寫成“若一個數(shù)為正整數(shù)，則它不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)”(3)是真命題此命題可寫成“在三角形中，若一條邊所對的角大于另一邊所對的角，則這條邊大于另一邊”(4)是假命題此命題可寫成“若xy是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)”一點通1判斷語句是否為命題的關(guān)鍵是看該語句是否能判斷真假2在說明一個命題是真命題時，應(yīng)進行嚴格的推理證明，而要說明命題是假命題，只需舉一個反例即可1“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思”這是唐代詩人王維的詩相思，在這四句詩中，可以作為命題的是()A紅豆生南國B春來發(fā)幾枝C愿君多采擷 D此物最相思解析：“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實，所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不能判斷真假，不是命題，故選A.答案：A2給定下列命題：若k0，則方程x22xk0有實數(shù)根；若ab0，cd0，則acbd；對角線相等的四邊形是矩形；若xy0，則x，y中至少有一個為0.其中是真命題的是()A BC D解析：中44(k)44k0，所以是真命題；由不等式的乘法性質(zhì)知命題正確，所以是真命題；如等腰梯形對角線相等，不是矩形，所以是假命題；由等式性質(zhì)知命題正確，所以是真命題，故選B.答案：B3將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假(1)偶數(shù)可被2整除；(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱解：(1)若一個數(shù)是偶數(shù)，則它可以被2整除真命題；(2)若一個函數(shù)為奇函數(shù)，則它的圖像關(guān)于原點對稱真命題.四種命題及其關(guān)系例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假(1)若q<1，則方程x22xq0有實根；(2)若ab0，則a0；(3)若x2y20，則x，y全為零；(4)已知a，b，c為實數(shù)，若ab，則acbc.思路點撥找出命題的條件p和結(jié)論q.根據(jù)四種命題的條件和結(jié)論的關(guān)系寫出其余三種命題精解詳析(1)逆命題：若方程x22xq0有實根，則q<1.假命題否命題：若q1，則方程x22xq0無實根，假命題逆否命題：若方程x22xq0無實根則q1，真命題(2)逆命題：若a0，則ab0，真命題否命題：若ab0，則a0，真命題逆否命題：若a0，則ab0，假命題(3)逆命題：若x，y全為零，則x2y20，真命題否命題：若x2y20，則x，y不全為零，真命題逆否命題：若x，y不全為零，則x2y20，真命題(4)逆命題：已知a，b，c為實數(shù)，若acbc，則ab，假命題否命題：已知a，b，c為實數(shù)，若ab，則acbc，假命題逆否命題：已知a，b，c為實數(shù)，若acbc，則ab，真命題一點通1由原命題得到逆命題、否命題、逆否命題的方法：(1)交換原命題的條件和結(jié)論，得到逆命題；(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，得到否命題；(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，得到逆否命題2原命題與其逆否命題真假相同；逆命題與否命題真假相同4有下列四個命題，其中真命題是()“若xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；“正方形的四條邊相等”的逆命題；“若m2，則x2mx10有實根”的逆否命題；“若ABB，則AB”的逆否命題ABC D解析：逆命題：若x，y互為倒數(shù)，則xy1.真命題逆命題：四條邊相等的四邊形是正方形假命題逆否命題：若方程x2mx10無實根，則m<2.真命題原命題為假命題，逆否命題也為假命題答案：C5寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題：(1)若，則sin cos ；(2)a，b，c，dR，若ac，bd，則abcd.解：(1)逆命題：若sin cos ，則；否命題：若，則sin cos ；逆否命題：若sin cos ，則.(2)逆命題：a，b，c，dR，若abcd，則ac，bd；否命題：a，b，c，dR，若ac或bd，則abcd；逆否命題：a，b，c，dR，若abcd，則ac或bd.6將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題(1)垂直于同一平面的兩條直線平行；(2)當(dāng)mn0時，方程mx2xn0有實數(shù)根解：(1)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若兩條直線平行，則這兩條直線垂直于同一個平面否命題：若兩條直線不垂直于同一個平面，則這兩條直線不平行逆否命題：若兩條直線不平行，則這兩條直線不垂直于同一個平面(2)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若mn0，則方程mx2xn0有實數(shù)根它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若方程mx2xn0有實數(shù)根，則mn0.否命題：若mn0，則方程mx2xn0沒有實數(shù)根逆否命題：若方程mx2xn0沒有實數(shù)根，則mn0.逆否命題的應(yīng)用例3判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，則a1”的逆否命題的真假思路點撥本題可直接寫出其逆否命題判斷其真假，也可直接判斷原命題的真假來推斷其逆否命題的真假精解詳析法一：其逆否命題為：已知a，x為實數(shù)，如果a<1，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集判斷如下：拋物線yx2(2a1)xa22的開口向上，判別式(2a1)24(a22)4a7.因為a<1，所以4a7<0，即<0.所以拋物線yx2(2a1)xa22與x軸無交點，所以關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集，故逆否命題為真命題法二：先判斷原命題的真假因為a，x為實數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a.>1，a1.原命題為真又因為原命題與其逆否命題真假相同，所以逆否命題為真一點通由于互為逆否命題的兩個命題有相同的真假性，當(dāng)一個命題的真假不易判斷時，可以通過判斷其逆否命題真假的方法來判斷該命題的真假7命題“若m>0，則x2xm0有實數(shù)根”的逆否命題是_(填“真”或“假”)命題解析：當(dāng)m>0時，14m>0，x2xm0有實數(shù)根原命題為真，故其逆否命題為真答案：真8證明：若a24b22a10，則a2b1.證明：“若a24b22a10，則a2b1”的逆否命題為“若a2b1，則a24b22a10”a2b1時，a24b22a1(a1)2(2b)20.命題“若a2b1，則a24b22a10”為真命題由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知原命題正確1互逆命題、互否命題、互為逆否命題都是說兩個命題的關(guān)系，是相對而言的，把其中一個命題叫作原命題時，另外三個命題分別是它的逆命題、否命題、逆否命題2寫四種命題時，大前提應(yīng)保持不變判斷四種命題的真假時，可以根據(jù)互為逆否命題的兩個命題的真假性相同來判斷 1命題“若x1，則x1”的否命題是()A若x1，則x1B若x1，則x1C若x1，則x1 D若x1，則x1解析：原命題的否命題是對條件“x1”和結(jié)論“x1”同時否定，即“若x1，則x1”，故選C.答案：C2給出下列三個命題：()“全等三角形的面積相等”的否命題；“若lg x20，則x1”的逆命題；“若xy，或xy，則|x|y|”的逆否命題其中真命題的個數(shù)是()A0B1C2D3解析：的否命題是“不全等的三角形面積不相等”，它是假命題；的逆命題是“若x1，則lg x20”，它是真命題；的逆否命題是“若|x|y|，則xy且xy”，它是假命題，故選B.答案：B3(湖南高考)命題“若，則tan 1”的逆否命題是()A若，則tan 1 B若，則tan 1C若tan 1，則 D若tan 1，則解析：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題，即“若，則tan 1”的逆否命題是“若tan 1，則”答案：C4已知命題“若ab0，則a0或b0”，則下列結(jié)論正確的是()A真命題，否命題：“若ab0，則a0或b0”B真命題，否命題：“若ab0，則a0且b0”C假命題，否命題：“若ab0，則a0或b0”D假命題，否命題：“若ab0，則a0且b0”解析：逆否命題“若a0且b0，則ab0”，顯然為真命題，又原命題與逆否命題等價，故原命題為真命題否命題為“若ab0，則a0且b0”，故選B.答案：B5已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的弧若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是_，q是_答案：一條直線是弦的垂直平分線這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧6命題“若x2<4，則2<x<2”的逆否命題為_，為_(填“真、假”)命題答案：若x2或x2，則x24真7把命題“兩條平行直線不相交”寫成“若p，則q”的形式，并寫出其逆命題、否命題、逆否命題解：原命題：若直線l1與l2平行，則l1與l2不相交；逆命題：若直線l1與l2不相交，則l1與l2平行；否命題：若直線l1與l2不平行， 則l1與l2相交；逆否命題：若直線l1與l2相交，則l1與l2不平行8證明：已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.證明：法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(，)上的增函數(shù)，a，bR，若ab<0，則f(a)f(b)<f(a)f(b)”ab<0，a<b，b<a.又f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)，即逆否命題為真命題原命題為真命題法二：假設(shè)ab<0，則a<b，b<a，又f(x)在(，)上是增函數(shù)，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)這與已知條件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾因此假設(shè)不成立，故ab0.