2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4

2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 北師大版必修4內(nèi)容要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2xcos2 x1，tan x (重點(diǎn)).2.會(huì)運(yùn)用以上兩個(gè)基本關(guān)系式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明(難點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】1已知是第二象限角，sin ，則cos ()AB C D. 答案A2已知是第四象限角，且tan ，則sin ()A B. C.D答案A題型一利用同角基本關(guān)系式求值【例1】已知cos ，求sin ，tan 的值解cos <0，且cos 1，是第二或第三象限角，(1)當(dāng)是第二象限角時(shí)，則sin ，tan .(2)當(dāng)是第三象限角時(shí)，則sin ，tan .規(guī)律方法同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了同角之間的三角函數(shù)關(guān)系，其最基本的應(yīng)用是“知一求二”，要注意這個(gè)角所在的象限，由此來(lái)決定所求的是一解還是兩解，同時(shí)應(yīng)體會(huì)方程思想的應(yīng)用【訓(xùn)練1】已知sin m(|m|1)，求tan 的值解當(dāng)m0時(shí)，cos ±1，tan 0；當(dāng)m±1時(shí)，的終邊在y軸上，cos 0，tan 無(wú)意義；當(dāng)在第一、四象限時(shí)，cos 0，cos tan ；當(dāng)在第二、三象限時(shí)，cos 0，cos .tan .題型二已知正切求值【例2】已知tan 2.求：(1)；(2)4sin23sin cos 5cos2.解(1)原式2.(2)原式1.規(guī)律方法知切求弦常見(jiàn)的有兩類：1求關(guān)于sin 、cos 的齊次式值的問(wèn)題，如果cos 0，則可將被求式化為關(guān)于tan 的表達(dá)式，然后整體代入tan 的值，從而完成被求式的求值問(wèn)題2若不是sin ，cos 的齊次式，可利用方程組的消元思想求解如果已知tan 的值，求形如asin2bsin cos ccos2的值，注意將分母的1化為sin2cos2，將其代入，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的表達(dá)式后求值【訓(xùn)練2】已知2cos23cos sin 3sin21.求：(1)tan ；(2).解（1）由條件得114tan23tan 10tan 或tan 1.(2)原式，當(dāng)tan 時(shí)，原式；當(dāng)tan 1時(shí)，原式.方向1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)【例31】化簡(jiǎn)tan ，其中是第二象限角解因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以sin 0，cos 0.故tan tan tan ··1.方向2三角恒等式的證明【例32】求證：.證明左邊右邊，所以等式成立方向3利用sin ±cos 與sin cos 的關(guān)系解題【例33】已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判斷ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；(3)求sin Acos A的值解(1)sin Acos A，兩邊平方得12sin Acos A，sin Acos A.(2)由(1)sin Acos A0，且0A，可知cos A0，角A為鈍角，ABC是鈍角三角形(3)(sin Acos A)212sin Acos A.由(2)知sin Acos A0，sin Acos A.規(guī)律方法1.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的三種常用技巧(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2cos21，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的2證明三角恒等式的原則是由繁到簡(jiǎn)常用的方法有：(1)從一邊開(kāi)始，證得它等于另一邊；(2)證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)變更論證，即通過(guò)化除為乘、左右相減等，轉(zhuǎn)化成證明與其等價(jià)的等式.課堂達(dá)標(biāo)1已知sin ，(0，)，則tan 等于()A. B.C±D±解析sin ，(0，)，cos ±±，tan ±.答案D2已知tan ，那么sin22sin cos 3cos2的值是()ABC3D3解析sin22sin cos 3cos2，將tan 代入上式得3.答案D3若tan 2，且，則sin_.解析tan 2，sin 2cos ，又sin2cos21，cos2.，cos .sincos .答案4已知sin cos ，則sin cos _.解析(sin cos )2sin22sin cos cos212sin cos .則sin cos ±.答案±5已知sin cos m，求sin3cos3的值解sin cos m，sin cos .sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)m(1)(3m2)課堂小結(jié)1“同角”有兩層含義：一是“角相同”；二是“任意性”，即關(guān)系式恒成立，與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)如：sin23cos231等2已知角的一個(gè)三角函數(shù)值，求的其他兩個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意角所在的象限，以確定三角函數(shù)值的符號(hào)3計(jì)算、化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)式時(shí)常用的技巧：(1)“1”的代換為了解題的需要，有時(shí)可以將1用“sin2cos2”代替(2)切化弦利用商數(shù)關(guān)系把切函數(shù)化為弦函數(shù)(3)整體代換將計(jì)算式適當(dāng)變形使條件可以整體代入，或?qū)l件適當(dāng)變形找出與算式之間的關(guān)系.基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1如果是第二象限的角，下列各式中成立的是()Atan Bcos Csin Dtan 解析由商數(shù)關(guān)系可知A、D均不正確，當(dāng)為第二象限角時(shí)，cos <0，sin >0，故B正確答案B2已知2，則sin cos 的值是()A.B± C.D解析由題意得sin cos 2(sin cos )，(sin cos )24(sin cos )2，解得sin cos .答案C3已知是第二象限的角，tan ，則cos 等于()ABCD解析是第二象限角，cos <0.又sin2cos21，tan ，cos .答案C4若為第三象限角，則_.解析為第三象限角，sin <0，cos <0，原式123.答案35已知sin cos 且<<，則cos sin _.解析(cos sin )212sin cos ，<<，cos <sin ，cos sin .答案6已知sin cos .求：(1)的值；(2)tan 的值解(1)因?yàn)閟in cos ，所以12sin cos ，sin cos .所以.(2)由(1)得，所以，即3tan210tan 30，所以tan 3或tan .7若cos 且tan 0，求的值解sin (1sin )tan 0，cos 0，sin 0.又sin2cos21，sin ，原式sin (1sin )·.能力提升8函數(shù)ysin2x3cos x的最小值是()AB2 C.D解析y(1cos2x)3cos xcos2x3cos x22當(dāng)cos x1時(shí)，ymin22.答案A9使成立的角的范圍是()A2k2k(kZ)B2k2k(kZ)C2k2k(kZ)D只能是第三或第四象限角解析，sin 0.2k2k，(kZ)答案A10已知sin x，cos x，且x，則tan x_.解析由sin2xcos2x1，即221.得m0或m8.又x，sin x0，cos x0，當(dāng)m0時(shí)，sin x，cos x，此時(shí)tan x；當(dāng)m8時(shí)，sin x，cos x(舍去)，綜上知：tan x.答案11在ABC中，sin A ，則角A_.解析由題意知cos A>0，即A為銳角將sin A 兩邊平方得2sin2A3cos A.2cos2A3cos A20，解得cos A或cos A2(舍去)，A.答案12求證：.證明方法一左邊右邊原式成立方法二，.原式成立13(選做題)已知關(guān)于x的方程2x2(1)x2m0的兩根為sin 和cos (0，)，求：(1)m的值;(2)的值;(3)方程的兩根及此時(shí)的值解(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知，Sin cos ，sin ·cos m，將式平方得12sin ·cos ，所以sin ·cos ，代入得m.(2)sin cos .(3)因?yàn)橐亚蟮胢，所以原方程化為2x2(1)x0，解得x1，x2.所以或又因?yàn)?0，)，所以或.