2022年高二數(shù)學(xué) 寒假作業(yè)（二）

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1、2022年高二數(shù)學(xué) 寒假作業(yè)（二） 一、 選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1． 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．曲線在點(diǎn)處的切線方程為　　　　　　( 　 ) A． B． C． 　 D． 3． 有一段演繹推理是這樣的：“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，導(dǎo)致該推理錯(cuò)誤的原因是（　　） A．推理形式錯(cuò)

2、 B． 小前提錯(cuò) C．大前提錯(cuò) D． 大前提和小前提都錯(cuò) 4．下列函數(shù)中，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)的是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．利用定積分的幾何意義，求得的值為（　?。? A． 　B． C． D． 6．對(duì)任意，不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（　?。? A． B．

3、 C． 　 D． 8．設(shè)， 則（　?。? Ａ． 　Ｂ． Ｃ． 　 Ｄ． 9．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（　?。? Ａ． 　Ｂ． 　 Ｃ． 　 Ｄ． 10．某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么下列判斷正確的是 ( ) A．當(dāng)時(shí)，該命題成立 B．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 C．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 D．當(dāng)時(shí)，該命題成立 11．設(shè)函數(shù)在處取得極大值，則的值為 （

4、） A． B． C． 或 D． 12．設(shè)已知當(dāng)或時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)相異實(shí)數(shù)根．那么下列是假命題的是（ ）A A．方程的任一實(shí)數(shù)根大于方程的任一實(shí)數(shù)根 B．方程的任一實(shí)數(shù)根小于方程的任一實(shí)數(shù)根 C．方程和方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 D．方程和方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 第Ⅱ卷 非選擇題（共90分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分．） 13．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值，則等于 ． 14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則 ． 15．

5、如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線是， 則=___ ______． 16．給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)．給定以下四個(gè)函數(shù)： ①；②；③ ；④． 則在上不是凸函數(shù)的是　　　　　　　?。ㄌ钌虾瘮?shù)對(duì)應(yīng)的序號(hào)） 三、解答題（本部分共計(jì)6小題，滿分74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，請(qǐng) 在指定區(qū)域內(nèi)作答，否則該題計(jì)為零分．） 17． (本小題滿分12分) 已知點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1． （Ⅰ）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增； （Ⅱ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程． 18．(本小題滿分12分

6、)現(xiàn)有兩種投資方案，當(dāng)投資額為萬元時(shí)，方案所獲得的收益分別為萬元與萬元， 其中，（，），已知投資額為0時(shí)，收益為0． （Ⅰ）試求出、的值； （Ⅱ）如果某人準(zhǔn)備投入5萬元對(duì)這兩項(xiàng)方案投資，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收益的最大值．（精確到0．1，參考數(shù)據(jù)：） 19．(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為． （Ⅰ）計(jì)算； （Ⅱ）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． 20．(本小題滿分12分) 已知函數(shù)（，，為常數(shù)）在處切線的斜率為． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）記函數(shù)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．K^S*5U.C#O%

7、 21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值． （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）計(jì)算由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積； （Ⅲ）在兩組直線系，中，是否存在與函數(shù)的圖象相切的直線？若存在，求出相應(yīng)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 22．(本小題滿分14分)已知函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上無極值，求的取值范圍； （Ⅲ）已知且，求證：． 南安一中xx屆高二年數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（二）（理科）參考答案 （選修2－2） 第Ⅰ卷 選擇題（共60分） 二、 選擇題 1~6：A B C D C C ； 7~12： D

8、 D D B A A 10．解析：利用逆否命題，條件即等價(jià)于“若時(shí)該命題不成立，則時(shí)該命題也不成立”，故選B． 11．解析：求得，令，則或．當(dāng)時(shí)，，則在處取得極小值，不符合，故選A． 12．解析：把問題都轉(zhuǎn)化為兩種曲線的交點(diǎn)，由圖可知，A錯(cuò)誤， 故選A． 二、填空題 13． ； 14． ； 15． ； 16．② 15．解析：可知直線為，把代入得，又，所以，故填． 16．解析：對(duì)于②：，則在上不恒成立，不符合條件．經(jīng)檢驗(yàn)，其他函數(shù)都符合條件，故填②． 三、解答題 17．解：（Ⅰ） …………2分 ，…………4分 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．…………6分 （Ⅱ）

9、令，則，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．…………8分 又…………10分 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．…………12分 18．解：（Ⅰ）根據(jù)問題的實(shí)際意義，可知，； 即 ∴…………………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)果可得：，， 依題意，設(shè)對(duì) B方案投入萬元，則投入A方案的資金為萬元,所獲得的收益為萬元，………………3分 則有 …………6分 ∵， 令，得； ……………………7分 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； …………8分 ∴是在區(qū)間上的唯一極大值點(diǎn)，此時(shí)取得最大值： （萬元）, 此時(shí)，（萬元）………11分 答：當(dāng)對(duì) A方案投入2萬元，對(duì) B方案投入3萬元時(shí)，可以獲得

10、最大收益,最大收益為萬元．……………………12分 19．解：（Ⅰ），， ，．…………4分 （Ⅱ）猜想．…………6分 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊， 所以當(dāng)時(shí)猜想成立．…………7分 （2）假設(shè)時(shí)猜想成立， 即．…………8分 那么，時(shí) ， 所以，當(dāng)時(shí)猜想成立．…………11分 根據(jù)（1）（2），可知猜想對(duì)任何都成立．…………12分 20．解：（Ⅰ），…………2分 因?yàn)楹瘮?shù)在處切線的斜率為， 所以，所以．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以．…………6分 令，…………7分 ， ．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： － 0 ＋ ↘

11、 ↗ 所以函數(shù)在時(shí)取得極小值也為最小值，………………10分 此時(shí)，求得．………………12分 21．解：（Ⅰ），由條件知，求得…………2分 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)函數(shù)在處取得極值．…………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，則或．………4分 當(dāng)時(shí)，， 所以．…………６分 （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象相切；直線與函數(shù)的圖象都不相切．…………７分 理由如下：．…………９分 直線的斜率，令，則 所以切點(diǎn)為，代入，求得．…………11分 直線的斜率， 所以不存在值，使得直線與函數(shù)的圖象相切．…………12分 22．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋? 令，則．………………2分 則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．………………4分 （Ⅱ）令．………………5分 若，則在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上無極值；……………6分 若，令 ，則． 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： ＋ 0 － ↗ ↘ 故在處取得極大值．要使在區(qū)間上無極值，則．……8分 綜上所述，的取值范圍是． ………………9分 （Ⅲ）由（II）知，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值0，……10分 即 （當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）． 令（且），則，即…………12分 ，故．………………14分