（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積學案 文 新人教A版

第1講空間幾何體的三視圖、表面積及體積做真題1(2018·高考全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是()解析：選A.由題意知，在咬合時帶卯眼的木構件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結合榫頭的位置知選A.2(2018·高考全國卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A2B2C3 D2解析：選B.設過點M的高與圓柱的下底面交于點O，將圓柱沿MO剪開，則M，N的位置如圖所示，連接MN，易知OM2，ON4，則從M到N的最短路徑為2.3(2018·高考全國卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A12 B12C8 D10解析：選B.因為過直線O1O 2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2××()22×212.4(2019·高考全國卷)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型如圖，該模型為長方體ABCD­A1B1C1D1挖去四棱錐O­EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為_g.解析：由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6 cm和4 cm，故V挖去的四棱錐××4×6×312(cm3)又V長方體6×6×4144(cm3)，所以模型的體積為V長方形V挖去的四棱錐14412132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質量為132×0.9118.8(g)答案：118.8明考情1“立體幾何”在高考中一般會以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點、線、面的位置關系(特別是平行與垂直)2考查一個小題時，此小題一般會出現(xiàn)在第48題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一個小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第1016題的位置上，此小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計算量上，但仍是對基礎知識、基本公式的考查空間幾何體的三視圖(基礎型) 知識整合一個物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣即“長對正、高平齊、寬相等”考法全練1一個簡單幾何體的正視圖、側視圖如圖所示，則其俯視圖可能是()長、寬不相等的長方形；正方形；圓；橢圓ABC D解析：選B.由題設條件知，正視圖中的長與側視圖中的長不一致，對于，俯視圖是長方形是可能的，比如此幾何體為一個長方體時，滿足題意；對于，由于正視圖中的長與側視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是正方形；對于，由于正視圖中的長與側視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是圓形；對于，如果此幾何體是一個橢圓柱，滿足正視圖中的長與側視圖中的長不一致，故俯視圖可能是橢圓綜上知是可能的圖形2某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A10 B12C14 D16解析：選B.由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，所以這些梯形的面積之和為×212，故選B.3如圖1，在三棱錐D­ABC中，已知ACBCCD2，CD平面ABC，ACB90°.若其正視圖、俯視圖如圖2所示，則其側視圖的面積為()A. B2C. D.解析：選D.由題意知側視圖為直角三角形，因為正視圖的高即幾何體的高，所以正視圖的高為2，則側視圖的高，即側視圖一直角邊長也為2.因為俯視圖為邊長為2的等腰直角三角形，所以側視圖的另一直角邊長為.所以側視圖的面積為，故選D.空間幾何體的表面積與體積(綜合型) 知識整合 柱體、錐體、臺體的側面積公式(1)S柱側ch(c為底面周長，h為高)(2)S錐側ch(c為底面周長，h為斜高)(3)S臺側(cc)h(c，c分別為上下底面的周長，h為斜高) 柱體、錐體、臺體的體積公式(1)V柱體Sh(S為底面面積，h為高)(2)V錐體Sh(S為底面面積，h為高)(3)V臺(SS)h(S，S分別為上下底面面積，h為高)(不要求記憶)典型例題 (1)(2019·廣州市綜合檢測(一)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該幾何體的表面積為()A.B7C. D8(2)(2019·高考浙江卷)祖暅是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A. 158 B. 162C. 182 D. 324【解析】(1)由三視圖可知該幾何體是一個圓柱體和一個球體的四分之一的組合體，則所求的幾何體的表面積為×4×12×12×122×1×27，選B.(2)如圖，該柱體是一個直五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S×3×327，因此，該柱體的體積V27×6162.故選B.【答案】(1)B(2)B(1)求幾何體的表面積的方法求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差得此幾何體的表面積 (2)求空間幾何體體積的常用方法公式法：直接根據(jù)相關的體積公式計算等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當分割或補形，轉化為易計算體積的幾何體對點訓練1(2019·唐山市摸底考試)已知某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖中曲線為四分之一圓弧)，則該幾何體的表面積為()A1 B3C2 D4解析：選D.由題設知，該幾何體是棱長為1的正方體被截去底面半徑為1的圓柱后得到的，如圖所示，所以表面積S2×(1×1××12)2×(1×1)×2×1×14.故選D.2(2019·長春市質量監(jiān)測(二)一個幾何體的三視圖如圖中粗線所示，每個小方格都是邊長為1的正方形，則這個幾何體的體積為()A32 B.C. D8解析：選B.如圖所示四棱錐P­ABCD為該幾何體的直觀圖，底面ABCD是邊長為4的正方形取CD的中點為E，連接PE，則PE平面ABCD，且PE4.所以這個幾何體的體積V×4×4×4，故選B.3(2019·長春市質量監(jiān)測(一)已知一所有棱長都是的三棱錐，則該三棱錐的體積為_解析：記所有棱長都是的三棱錐為P­ABC，如圖所示，取BC的中點D，連接AD，PD，作POAD于點O，則PO平面ABC，且OP×，故三棱錐P­ABC的體積VSABC·OP××()2×.答案：與球有關的切、接問題(綜合型) 典型例題 (1)已知圓柱的高為2，底面半徑為，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積等于()A4B.C. D16(2)(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)四棱錐S­ABCD的所有頂點都在同一個球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內，當此四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于88，則球O的體積等于()A. B.C16 D.【解析】(1)如圖，由題意知圓柱的中心O為這個球的球心，于是，球的半徑rOB2.故這個球的表面積S4r216.故選D.(2)由題意得，當此四棱錐的體積取得最大值時，四棱錐為正四棱錐如圖，連接AC，則球心O為AC的中點，連接SO，設球O的半徑為R，則AC2R，SOR，所以ABBCR.取AB的中點為E，連接OE，SE，則OEBCR，SER.因為該四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于88，所以(R)24××R×R88，解得R2，所以球O的體積等于R3.故選A.【答案】(1)D(2)A解決與球有關的切、接問題的策略(1)“接”的處理構造正(長)方體，轉化為正(長)方體的外接球問題空間問題平面化，把平面問題轉化到直角三角形中，作出適當截面(過球心，接點等)利用球心與截面圓心的連線垂直于截面定球心所在直線(2)“切”的處理體積分割法求內切球半徑作出合適的截面(過球心，切點等)，在平面上求解多球相切問題，連接各球球心，轉化為處理多面體問題 對點訓練1已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于()A. B.C16 D32解析：選B.設該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2(3R)2()2，解得R2，所以所求球的體積VR3×23，故選B.2(2019·重慶市學業(yè)質量調研)三棱錐S­ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，已知SAa，SBb，SC2，且2ab，則此三棱錐的外接球的表面積的最小值為()A. B.C4 D6解析：選A.由題意，設三棱錐的外接球的半徑為R，因為SA，SB，SC兩兩垂直，所以以SA，SB，SC為棱構造長方體，其體對角線即三棱錐的外接球的直徑，因為SAa，SBb，SC2，所以4R2a2b24a245(a1)2，所以當a1時，(4R2)min，所以三棱錐的外接球的表面積的最小值為，故選A.3(2019·福建五校第二次聯(lián)考)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的直徑為_解析：如圖，設BC的中點為D，B1C1的中點為D1，連接DD1，取其中點O，連接AD，A1D1，則DADBDC，D1A1D1B1D1C1，且DD1垂直于直三棱柱的上、下底面，所以點O到直三棱柱的各個頂點的距離相等，即點O為直三棱柱的外接球的球心O，連接OB，則球O的直徑為2BO2213.答案：13一、選擇題1一個幾何體的正視圖和側視圖如圖所示，則這個幾何體的俯視圖不可能是()解析：選D.如果該幾何體是一個底面是等腰直角三角形，且側棱與底面垂直的直三棱柱，故A可能；如果該幾何體是一個圓柱，則其俯視圖必為圓，故B可能；如果該幾何體是一個正方體，則其俯視圖必為正方形，故C可能；如果該幾何體是一個長方體，則其正視圖和側視圖中必有一個為長方形，故D錯誤；根據(jù)排除法可知，選項D符合題意2某幾何體的三視圖中的三角形都是直角三角形如圖所示，則該幾何體中直角三角形的個數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選D.依題意，該幾何體是一個底面為直角三角形，一條側棱垂直于底面的三棱錐，其四個面均為直角三角形3(2019·武漢市調研測試)如圖，在棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中，M為CD的中點，則三棱錐A­BC1M的體積VA­BC1M()A. B.C. D.解析：選C.VA­BC1MVC1­ABMSABM·C1C×AB×AD×C1C.故選C.4平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則球O的表面積為()A4 B8C16 D32解析：選C.如圖，因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，所以R2()2124，所以球O的表面積S4R216，故選C.5(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知一個幾何體的正視圖和側視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個直角邊長為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為()A1 B.C2 D2解析：選B.根據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分別是2和的直角三角形(如圖所示)，根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V××3.故選B.6某幾何體三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為()A64048 B176C64016 D704解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是上面是底面半徑為4，高是3的圓錐，下面是底面邊長為8的正方形，高是10的長方體，所以該幾何體的體積V8×8×10××42×364016.7某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為()A242 B210C10 D124解析：選B.由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖P­ABC如圖所示，其中三角形PAB與三角形PCB為全等的直角三角形，其面積為×2×44，ABC為等腰直角三角形，面積為×2×22，PAC為等腰三角形，面積為×2×2，所以表面積是4422102.8在三棱錐S­ABC中，SBBC，SAAC，SBBC，SAAC，ABSC，且三棱錐S­ABC的體積為，則該三棱錐的外接球半徑是()A1 B2C3 D4解析：選C.取SC的中點O，連接OA，OB，則OAOBOCOS，即O為三棱錐的外接球球心，設半徑為r，則×2r×r2，所以r3.9在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABAD2，AA11，則點B到平面D1AC的距離等于()A. B.C1 D.解析：選B.如圖，連接BD1，易知D1D就是三棱錐D1­ABC的高，AD1CD1，取AC的中點O，連接D1O，則D1OAC，所以D1O.設點B到平面D1AC的距離為h，則由VB­D1ACVD1­ABC，即SD1AC·hSABC·D1D，又SD1ACD1O·AC××2，SABCAB·BC×2×22，所以h.故選B.10(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側面中，面積的最大值為()A8 B4C8 D12解析：選D.由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側棱PA平面ABCD，PA4，AB4，BC4，CD6，所以AD2，PD6，PB4，連接AC，則AC4，所以PC4，顯然在各側面面積中PCD的面積最大，又PDCD6，所以PC邊上的高為2，所以SPCD×4×212，故該四棱錐的各側面中，面積的最大值為12.故選D.11(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知正三角形ABC的三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面圓面積的最小值是()A. B2C. D3解析：選C.設正三角形ABC的中心為O1，連接OO1，OA，O1A，由題意得O1O平面ABC，O1O1，OA2，所以在RtO1OA中，O1A，所以AB3.因為E為AB的中點，所以AE.連接OE，則OEAB.過點E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面圓的面積最小，此時截面圓的半徑r，可得截面圓面積的最小值為r2，故選C.12(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為4，則該三棱柱的體積的最大值為()A1 B.C2 D2解析：選A.如圖，取ABC的中心O，連接OO，OA，OA，則OO平面ABC，設OOx，球O的半徑為R，因為球O的表面積為4，所以4R24，所以R1，0<x<1，所以AO，ABAO·，所以三棱柱的體積VSABC·2OOAB2·sin ·2x(xx3)，V(13x2)，所以V在上單調遞增，在上單調遞減，所以Vmax×1，選A.二、填空題13(一題多解)(2018·高考天津卷)如圖，已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1­BB1D1D的體積為_解析：法一：連接A1C1交B1D1于點E，則A1EB1D1，A1EBB1，則A1E平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1­BB1D1D的高，且A1E，矩形BB1D1D的長和寬分別為，1，故VA1­BB1D1D×1××.法二：連接BD1，則四棱錐A1­BB1D1D分成兩個三棱錐B­A1DD1與B­A1B1D1，VA1­BB1D1DVB­A1DD1VB­A1B1D1××1×1×1××1×1×1.答案：14已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_解析：依題意，題中的幾何體是一個直三棱柱(其底面左、右相對)，其中底面是直角邊長分別為1，2的直角三角形，側棱長為3，因此其體積為×33.答案：315某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是_解析：由三視圖知，該幾何體是由一個棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為1、高為1的圓錐后所剩余的部分，所以該幾何體的表面積S6×22×12×1×24(1).答案：2416將1個半徑為1的小鐵球與1個底面周長為2，高為4的鐵制圓柱重新鍛造成一個大鐵球，則該大鐵球的表面積為_解析：V球×13，V柱×44.設重新鍛造成一個大鐵球的半徑為R，則R34，R，則該大鐵球的表面積S4()28.答案：817.(2019·江西省五校協(xié)作體試題)某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是一個上底為2，下底為4的直角梯形，俯視圖是一個邊長為4的等邊三角形，則該幾何體的體積為_解析：把三視圖還原成幾何體ABC­DEF，如圖所示，在AD上取點G，使得AG2，連接GE，GF，則把幾何體ABC­DEF分割成三棱柱ABC­GEF和三棱錐D­GEF，所以VABC­DEFVABC­GEFVD­GEF4×2×4×2.答案：18(2019·武漢市調研測試)將一個表面積為100的木質球削成一個體積最大的圓柱，則該圓柱的高為_解析：如圖，設球的球心為O，半徑為R，則4R2100，解得R5.設圓柱的高為x(0<x<10)，圓柱底面圓的圓心為O1，A是圓柱底面圓周上一點，連接OO1，OA，O1A，則OO1，圓柱底面圓的半徑O1A，所以圓柱的體積V·x(0<x<10)，則V，易知函數(shù)V(0<x<10)在上單調遞增，在上單調遞減，所以當x時，圓柱的體積V取得最大值答案：- 17 -