（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 文 新人教A版

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 做真題1(2017·高考全國卷)函數(shù)f(x)ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)解析：選D.由x22x8>0，得x<2或x>4.因此，函數(shù)f(x)ln(x22x8)的定義域是(，2)(4，)注意到函數(shù)yx22x8在(4，)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4，)，選D.2(2019·高考全國卷)函數(shù)f(x)2sin xsin 2x在0，2的零點個數(shù)為()A2 B3C4 D5解析：選B.f(x)2sin x2sin xcos x2sin x(1cos x)，令f(x)0，則sin x0或cos x1，所以xk(kZ)，又x0，2，所以x0或x或x2.故選B.3(2019·高考全國卷)設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，)單調(diào)遞減，則()AfffBfffCfffDfff解析：選C.因為函數(shù)y2x在R上是增函數(shù)，所以0<2<2<201.因為函數(shù)ylog3x在(0，)上是增函數(shù)，所以log3<log31.因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)因為函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，且0<2<2<201<log34，所以f>f>f(log34)f.故選C.明考情1基本初等函數(shù)作為高考的命題熱點，多考查利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，有時難度較大2函數(shù)的應(yīng)用問題多體現(xiàn)在函數(shù)零點與方程根的綜合問題上，近幾年全國卷考查較少，但也要引起重視，題目可能較難基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)(綜合型) 知識整合 指數(shù)與對數(shù)式的8個運(yùn)算公式(1)am·anamn.(2)(am)namn.(3)(ab)mambm.(4)loga(MN)logaMlogaN.(5)loga logaMlogaN.(6)logaMnnlogaM.(7)alogaNN.(8)logaN.注：(1)(2)(3)中，a>0，b>0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a>0且a1，b>0且b1，M>0，N>0. 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況，當(dāng)a>1時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù)典型例題 (1)(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)若f(x)exaex為奇函數(shù)，則滿足f(x1)>e2的x的取值范圍是()A(2，)B(1，)C(2，) D(3，)(2)(2018·高考全國卷)已知函數(shù)f(x)ln(x)1, f(a)4，則f(a)_.【解析】(1)由f(x)exaex為奇函數(shù)，得f(x)f(x)，即exaexaexex，得a1，所以f(x)exex，則f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(x1)>e2f(2)，所以x1>2，解得x>1，故選B.(2)由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln1ln(a)1312.【答案】(1)B(2)2研究指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)應(yīng)注意的問題(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問題時，首先要看底數(shù)a的范圍(2)研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)的限制條件如求f(x)ln(x23x2)的單調(diào)區(qū)間，只考慮tx23x2與函數(shù)yln t的單調(diào)性，易忽視t>0的限制條件 對點訓(xùn)練1(2019·高考天津卷)已知alog27，blog38，c0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()Ac<b<a Ba<b<cCb<c<a Dc<a<b解析：選A.因為alog27>log242，blog38<log392，blog38>1，c0.30.2<1，所以c<b<a.故選A.2已知函數(shù)f(x)logax(a>0且a1)滿足f()>f()，則f(1)>0的解集為()A(0，1)B(，1)C(1，) D(0，)解析：選C.因為函數(shù)f(x)logax(a>0且a1)在(0，)上為單調(diào)函數(shù)，而<且f()>f()，所以f(x)logax在(0，)上單調(diào)遞減，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可由f(1)>0，得0<1<1，所以x>1，故選C.函數(shù)的零點(綜合型) 知識整合 函數(shù)的零點及其與方程根的關(guān)系對于函數(shù)f(x)，使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫坐標(biāo) 零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根典型例題 (1)(2018·福建市第一學(xué)期高三期末考試)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(x)3x的零點個數(shù)是()A0B1C2 D3(2)(2019·江西八所重點中學(xué)聯(lián)考)已知f(x)，若關(guān)于x的方程af(x)恰有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，)1，2) B(0，)1，2)C(1，2) D1，2)【解析】(1)令f(x)3x0，則或解得x0或x1，所以函數(shù)yf(x)3x的零點個數(shù)是2.故選C.(2)關(guān)于x的方程af(x)恰有兩個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線ya恰有兩個不同的交點，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得實數(shù)a的取值范圍是1，2)，故選B.【答案】(1)C(2)B利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解 (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解對點訓(xùn)練1已知實數(shù)a>1，0<b<1，則函數(shù)f(x)axxb的零點所在的區(qū)間是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)解析：選B.因為a>1，0<b<1，f(x)axxb，所以f(x)為增函數(shù)，f(1)1b<0，f(0)1b>0，則由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(1，0)上存在零點2已知在區(qū)間(0，2上的函數(shù)f(x)且g(x)f(x)mx在區(qū)間(0，2內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.解析：選A.由函數(shù)g(x)f(x)mx在(0，2內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，得yf(x)，ymx在(0，2內(nèi)的圖象有且僅有兩個不同的交點當(dāng)ymx與y3在x(0，1相切時，mx23x10，94m0，m，結(jié)合圖象可得當(dāng)<m2或0<m時，函數(shù)g(x)f(x)mx在(0，2內(nèi)有且僅有兩個不同的零點函數(shù)的實際應(yīng)用(綜合型) 知識整合構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的常見類型與求解方法(1)構(gòu)建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解(2)構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法(3)構(gòu)建f(x)x(a>0)模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識求解典型例題 (2019·高考北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足m2m1lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k1，2)已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A. 1010.1B. 10.1C. lg 10.1 D. 1010.1【解析】根據(jù)題意，設(shè)太陽的星等與亮度分別為m1與E1，天狼星的星等與亮度分別為m2與E2，則由已知條件可知m126.7，m21.45，根據(jù)兩顆星的星等與亮度滿足m2m1lg ，把m1與m2的值分別代入上式得，1.45(26.7)lg，得lg 10.1，所以1010.1，故選A.【答案】A應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序和解題關(guān)鍵(1)一般程序：.(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答 對點訓(xùn)練1某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位：萬元)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，G(x)x210x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，G(x)51x1 450.已知每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元通過市場分析，該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，則該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤的最大值是_萬元解析：因為每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元，所以x千件產(chǎn)品的銷售額為0.05×1 000x50x萬元當(dāng)0<x<80時，年利潤L(x)50xx210x250x240x250(x60)2950，所以當(dāng)x60時，L(x)取得最大值，且最大值為L(60)950萬元；當(dāng)x80時，L(x)50x51x1 4502501 2001 20021 2002001 000，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x100時，L(x)取得最大值1 000萬元由于950<1 000，所以當(dāng)產(chǎn)量為100千件時，該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，最大年利潤為1 000萬元答案：1 0002某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關(guān)系為PP0ekt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費(fèi)的時間為_小時解析：前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t5時，P0.9P0，代入，得(ek)50.9，所以ek0.9，所以PP0ektP0(0.9)t.當(dāng)污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P0.81P0，代入得0.81(0.9)t，解得t10，即需要花費(fèi)10小時答案：10一、選擇題1冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(0，)B0，)C(，) D(，0)解析：選D.設(shè)f(x)xa，則2a，所以a2，所以f(x)x2，它是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)故選D.2函數(shù)f(x)|x|3的零點所在區(qū)間為()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：選B.函數(shù)f(x)|x|3是單調(diào)減函數(shù)，因為f(1)1>0，f(2)1<0，所以f(1)f(2)<0，可知函數(shù)f(x)|x|3的零點所在區(qū)間為(1，2)3(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)，則f(f(log36)()A1 B.C. D2解析：選B.因為log36>1，所以f(log36)3log3682，所以f(f(log36)f(2)log4(22)1.故選B.4(2019·廣州市綜合檢測(一)如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當(dāng)小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)hf(t)的圖象大致是()解析：選B.水位由高變低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故選B.5(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知xln ，ylog52，ze，則()Ax<y<zBy<z<xCz<x<y Dz<y<x解析：選B.因為ln >1，0<log52<1，0<e<1，所以x最大因為2<，所以0<log52<log5.因為e<4，所以e<2，即<ln 2，所以>ln 2ln ，所以e>eln，所以z>y.綜上可知，x>z>y，故選B.6(2019·貴陽市第一學(xué)期監(jiān)測)若函數(shù)f(x)x2，設(shè)alog54，blog，c2，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系是()Af(a)>f(b)>f(c) Bf(b)>f(c)>f(a)Cf(c)>f(b)>f(a) Df(c)>f(a)>f(b)解析：選D.f(x)x2在(0，)上單調(diào)遞增，而0<loglog53<log54<1<2，所以f(b)<f(a)<f(c)，選D.7(2019·唐山市摸底考試)已知函數(shù)f(x)sin xsin 3x，x0，2，則f(x)的所有零點之和等于()A5 B6C7 D8解析：選C.f(x)sin xsin 3xsin(2xx)sin(2xx)2cos 2xsin x，令f(x)0, 可得cos 2x0或sin x0，因為x0，2，所以2x0，4，由cos 2x0可得2x或2x或2x或2x，所以x或x或x或x，由sin x0可得x0或x或x2，因為027，所以f(x)的所有零點之和等于7，故選C.8(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知函數(shù)f(x)2xlog3 ，若不等式f>3成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1，) B(，1)C. D.解析：選D.由>0得x(2，2)，又y2x在(2，2)上單調(diào)遞增，ylog3 log3 log3在(2，2)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又f(1)3，所以不等式f>3成立等價于不等式f>f(1)成立，所以解得<m<1，故選D.9已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，若<f(1)，則x的取值范圍是()A. B(0，e)C. D(e，)解析：選C.因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(ln x)ff(ln x)f(ln x)f(ln x)f(ln x)2f(ln x)，所以<f(1)等價于|f(ln x)|<f(1)，又f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，所以1<ln x<1，解得<x<e.10(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)kx|xex|有兩個正實數(shù)零點，則k的取值范圍是()A(0，) B(0，)C(0，1) D(0，e)解析：選C.令f(x)kx|xex|0，得kx|xex|，當(dāng)x>0時，k，令g(x)1，x>0，則g(x)>0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，因為g()1<0，g(1)1>0，所以在(，1)上存在一個a，使得g(a)0，所以y|g(x)|的圖象如圖所示由題意知，直線yk與y|g(x)|的圖象有兩個交點，所以0<k<1，故選C.二、填空題11已知函數(shù)y4ax91(a0且a1)恒過定點A(m，n)，則logmn_解析：依題意知，當(dāng)x90，即x9時，y413，故定點為(9，3)，所以m9，n3，故logmnlog93.答案：12(2019·高考全國卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)eax.若f(ln 2)8，則a_解析：當(dāng)x>0時，x<0，f(x)eax.因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x>0時，f(x)f(x)eax，所以f(ln 2)ealn 28，所以a3.答案：313某工廠常年生產(chǎn)紅木家具，根據(jù)預(yù)測可知，該產(chǎn)品近10年的產(chǎn)量平穩(wěn)增長記2014年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位：萬件)之間的關(guān)系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.則你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號為_解析：若模型為f(x)2xa，則由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此時f(2)6，f(3)10，f(4)18，與表格數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為f(x)logxa，則f(x)是減函數(shù)，與表格數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為f(x)axb，由已知得，解得.所以f(x)x，xN，所以最適合的函數(shù)模型的序號為.答案：14對于實數(shù)a，b，定義運(yùn)算“”：ab設(shè)f(x)(2x1)(x1)，且關(guān)于x的方程f(x)m0恰有三個互不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：由2x1x1可得x0，由2x1>x1可得x>0.所以根據(jù)題意得f(x)即f(x)畫出函數(shù)的圖象，從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程f(x)m(mR)恰有三個互不相等的實數(shù)根時，函數(shù)的圖象和直線ym有三個不同的交點，再根據(jù)函數(shù)的極大值為f，可得m的取值范圍是.答案：三、解答題15某企業(yè)為打入國際市場，決定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：(單位：萬美元)項目類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計m6，8另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域；(2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)？請你做出規(guī)劃解：(1)由年銷售量為x件，按利潤的計算公式，可得生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2分別為y110x(20mx)(10m)x20，其定義域為xN|0x200；y218x(8x40)0.05x20.05x210x40，其定義域為xN|0x120(2)因為6m8，所以10m>0，函數(shù)y1(10m)x20在0，200上是增函數(shù)，所以當(dāng)x200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤，且y1max(10m)×200201 980200m(萬美元)又y20.05(x100)2460(xN，0x120)，所以當(dāng)x100時，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤，且y2max460(萬美元)因為y1maxy2max1 980200m4601 520200m所以當(dāng)6m<7.6時，可投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件；當(dāng)m7.6時，生產(chǎn)A產(chǎn)品或生產(chǎn)B產(chǎn)品均可(投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或生產(chǎn)B產(chǎn)品100件)；當(dāng)7.6<m8時，可投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件16已知函數(shù)f(x)exmx，其中m為常數(shù)(1)若對任意xR有f(x)0成立，求m的取值范圍；(2)當(dāng)m>1時，判斷f(x)在0，2m上零點的個數(shù)，并說明理由解：(1)f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故當(dāng)x(，m)時，exm<1，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(m，)時，exm>1，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xm時，f(m)為極小值，也是最小值令f(m)1m0，得m1，即若對任意xR有f(x)0成立，則m的取值范圍是(，1(2)當(dāng)m>1時，f(x)在0，2m上有兩個零點，理由如下：由(1)知f(x)在0，2m上至多有兩個零點，當(dāng)m>1時，f(m)1m<0.因為f(0)em>0，f(0)f(m)<0，所以f(x)在(0，m)上有一個零點因為f(2m)em2m，令g(m)em2m，因為當(dāng)m>1時，g(m)em2>0，所以g(m)在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(m)>g(1)e2>0，即f(2m)>0.所以f(m)·f(2m)<0，所以f(x)在(m，2m)上有一個零點所以f(x)在0，2m上有兩個零點- 14 -