（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的共同性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1-1

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1、 2.5　圓錐曲線的共同性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的準(zhǔn)線方程的方法．(重點(diǎn))　2.能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．圓錐曲線的共同性質(zhì)： 圓錐曲線上的點(diǎn)到一個定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在定直線l上)的距離之比是一個常數(shù)e. 這個常數(shù)e叫做圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F就是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l就是該圓錐曲線的準(zhǔn)線． 2．圓錐曲線離心率的范圍： (1)橢圓的離心率滿足0＜e＜1， (2)雙曲線的離心率滿足e＞1， (3)拋物線的離心率滿足e＝1. 3．橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線方程

2、： 根據(jù)圖形的對稱性可知，橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，對于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線，準(zhǔn)線方程都是x＝±. [基礎(chǔ)自測] 1．判斷正誤： (1)到定點(diǎn)F與定直線l的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線．(　　) (2)離心率e＝1時不表示圓錐曲線．(　　) (3)橢圓的準(zhǔn)線為x＝±(焦點(diǎn)在x軸上)，雙曲線的準(zhǔn)線為x＝±(焦點(diǎn)在x軸上)． 【解析】　(1)×.定點(diǎn)F不在定直線l上時才是圓錐曲線． (2)×.當(dāng)e＝1時表示拋物線是圓錐曲線． (3)×.雙曲線的準(zhǔn)線也是x＝±. 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 2．離心率為，準(zhǔn)線為x＝±4的橢圓方程為______

3、__. 【導(dǎo)學(xué)號：95902149】 【解析】　由題意知a＝2，c＝1，b2＝3，∴橢圓方程為＋＝1. 【答案】?。? [合 作 探 究·攻 重 難] 求焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 　求下列曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： (1)x2－y2＝2； (2)4y2＋9x2＝36； (3)x2＋4y＝0； (4)3x2－3y2＝－2. [思路探究]　把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，確定焦點(diǎn)的位置、利用公式求解． 【自主解答】　(1)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：－＝1. 焦點(diǎn)在x軸上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2. ∴焦點(diǎn)為(±2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝±＝±1. (2)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：＋

4、＝1. 焦點(diǎn)在y軸上，a2＝9，b2＝4，c＝. ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，準(zhǔn)線方程為y＝±＝±. (3)由方程x2＝－4y知，曲線為拋物線，p＝2， 開口向下，焦點(diǎn)為(0，－1)，準(zhǔn)線為y＝1. (4)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式－＝1，a2＝，b2＝，c＝＝，故焦點(diǎn)為. 準(zhǔn)線方程為y＝±＝±＝±. [規(guī)律方法]　 1．已知圓錐曲線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的一般思路是：首先確定圓錐曲線的類型，其次確定其標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后確定相關(guān)的參數(shù)值a，b，c或p，最后根據(jù)方程的特征寫出相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程． 2．注意：橢圓、雙曲線有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線，應(yīng)區(qū)別對待． [跟蹤訓(xùn)練]

5、 1．求下列圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： (1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4. 【導(dǎo)學(xué)號：95902150】 【解】　(1)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：＋＝1. 焦點(diǎn)在x軸上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1. ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝±＝±4. (2)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：－＝1. 焦點(diǎn)在x軸上，a2＝2，b2＝4，c2＝6，c＝. ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，準(zhǔn)線方程為x＝±＝±＝±. 利用圓錐曲線的定義求距離 　雙曲線－＝1上有一點(diǎn)P，它到右準(zhǔn)線的距離為，求它到左焦點(diǎn)的距離． [思路探究]　首先判定點(diǎn)P在雙曲線的左支還是右支上，然后利用性質(zhì)

6、把到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離求解． 【自主解答】　雙曲線－＝1的左準(zhǔn)線和右準(zhǔn)線分別為x＝－和x＝，若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的最小距離為－(－3)＝＞，故點(diǎn)P不可能在左支上，而在右支上，所以點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為e＝，再根據(jù)雙曲線的定義知PF1－PF2＝6，即PF1＝6＋PF2＝6＋＝. 即點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為. [規(guī)律方法]　解決這類圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離問題的一般思路有兩種：(1)先利用統(tǒng)一定義進(jìn)行曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線距離之間的相互轉(zhuǎn)化，再利用對應(yīng)的圓錐曲線定義進(jìn)行曲線上點(diǎn)到兩不同焦點(diǎn)距離之間的轉(zhuǎn)化來解決；(2)把思路(1)的兩步過程交換先后順序來解決.

7、[跟蹤訓(xùn)練] 2．橢圓＋＝1上有一點(diǎn)P，它到橢圓的左準(zhǔn)線的距離為，求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離． 【解】　橢圓＋＝1中，a2＝25，b2＝16，則a＝5，c＝3，故離心率為e＝. 由圓錐曲線的性質(zhì)得點(diǎn)P到橢圓的左焦點(diǎn)的距離為e＝，再根據(jù)橢圓的定義得，P到右焦點(diǎn)的距離為2a－＝10－＝. 利用圓錐曲線的定義求最值 [探究問題] 1．根據(jù)橢圓(雙曲線)的共同性質(zhì)，橢圓(雙曲線)上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離PF，與點(diǎn)P到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離d有什么關(guān)系？ 【提示】?。絜，即PF＝de(e為橢圓或雙曲線的離心率)． 2．設(shè)橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)A(1,1)，P為橢圓上一點(diǎn)，過P作橢圓的準(zhǔn)線x＝4的垂

8、線，垂足為D，則PA＋PD的最小值是什么？ 【提示】　過A作直線x＝4的垂線交橢圓于P，垂足為D，則PA＋PD最小，最小值為AD＝4－1＝3. 3．設(shè)橢圓＋＝1外一點(diǎn)M(1,3)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，P到橢圓的準(zhǔn)線x＝4的距離為PD，則PA＋PD的最小值是什么？ 【提示】　易知橢圓的離心率是e＝，由＝，得PF＝PD，故PA＋PD＝PA＋PF≥AF＝3.即PA＋PD的最小值是3. 　已知橢圓＋＝1內(nèi)有一點(diǎn)M(1,2)，F(xiàn)是橢圓在y軸正半軸上的一個焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)P，使得MP＋3PF的值最小. 【導(dǎo)學(xué)號：95902151】 [思路探究]　因為橢圓離心率為，∴＝(d為P到

9、相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)，∴3PF＝d，將MP＋3PF轉(zhuǎn)化為MP＋d. 【自主解答】　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，P到F對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d， 由方程知a2＝9，a＝3，b2＝8，c2＝1，∴e＝， ∴＝，∴3PF＝d，∴MP＋3PF＝MP＋d. 當(dāng)MP與準(zhǔn)線l垂直時MP＋d最?。? 此時P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0＝1，將x0＝1代入橢圓方程＋＝1，得y0＝. ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，最小距離為－2＝9－2＝7.即MP＋3PF的最小值為7. [規(guī)律方法]　求距離和的最小值的關(guān)鍵在于把折線變成直線，此過程需借助于圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. [跟蹤訓(xùn)練] 3.如圖

10、2-5-1所示，已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則PF＋PA的最小值為多少？ 圖2-5-1 【解】　由－＝1知a＝2，c＝4，e＝2.設(shè)點(diǎn)M是點(diǎn)P在左準(zhǔn)線上的射影． 則PM是P到左準(zhǔn)線x＝－1的距離，則＝2. 所以PF＝PM，所以PF＋PA＝PM＋PA. 顯然當(dāng)A，P，M三點(diǎn)共線時，PF＋PA的值最小， 即PF＋PA的最小值為點(diǎn)A到雙曲線左準(zhǔn)線的距離：3＋＝3＋＝4.故PF＋PA的最小值為4. [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．橢圓＋＝1的準(zhǔn)線方程是________． 【解析】　由方程可知a2＝3，

11、b2＝2，c2＝1，∴c＝1，則準(zhǔn)線方程為x＝±＝±3. 【答案】　x＝±3 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線－＝1的一條準(zhǔn)線的方程為x＝3，則實(shí)數(shù)a的值是__________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902152】 【解析】　由方程可得c＝，∴x＝＝3，解得a＝12或a＝－3(舍)，故a＝12. 【答案】　12 3．若橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程是x＝12，則該橢圓的方程是________． 【解析】　易知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c＝1，故準(zhǔn)線方程是x＝＝a2＝12，則b2＝a2－c2＝11，故橢圓方程是＋＝1. 【答案】?。? 4．橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為________． 【解析】　由題意知a＝2，c＝1，∴e＝，所以p到準(zhǔn)線的距離為2÷＝4. 【答案】　4 5．橢圓＋＝1上有一點(diǎn)P，它到橢圓的左準(zhǔn)線的距離為10，求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離. 【導(dǎo)學(xué)號：95902153】 【解析】　橢圓＋＝1中，a2＝100，b2＝36，則a＝10，c＝＝8，故離心率為e＝. 根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，點(diǎn)P到橢圓的左焦點(diǎn)的距離為10e＝8. 再根據(jù)橢圓的定義得，點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為20－8＝12. 7