（浙江專版）2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第四章 三角函數(shù) 4.3 三角恒等變換學案

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1、 §4.3　三角恒等變換 考綱解讀 考點 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計 2013 2014 2015 2016 2017 1.和與差的三角函數(shù) 1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式. 2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式. 3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式,導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. 掌握 4,5分 18(2),7分 18(文), 約4分 16(1),7分 7,5分 16(1)(文), 7分 11(文),6分 16(1)(文), 7分 14,約3分 2

2、.簡單的三角恒等變換 能運用上述公式進行簡單的恒等變換. 掌握 6,5分 18(1),7分 18(文), 約4分 16(2),7分 10,6分 16(2)(文), 7分 18,約7分 分析解讀　　1.對本節(jié)內(nèi)容的考查仍以容易題和中等難度題為主. 2.主要考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及運用上述公式進行簡單的恒等變換(例:2016浙江10題). 3.對三角恒等變換的考查往往與解三角形、向量知識綜合在一起. 4.預(yù)計2019年高考試題中,三角恒等變換仍是考查重點,復(fù)習時應(yīng)引起高度重視. 五年高考 考點一　和與差的三角函數(shù)

3、 1.(2016課標全國Ⅱ,9,5分)若cos=,則sin 2α=(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C.- D.- 答案　D 2.(2015課標Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.- B. C.- D. 答案　D 3.(2015重慶,9,5分)若tan α=2tan,則=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 4.(2017課標全國Ⅰ文,15,5分)已知α∈,tan α=2,則cos=　　　　.? 答案　 5.(2017江蘇,

4、5,5分)若tan=,則tan α=　　　　.? 答案　 6.(2015江蘇,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,則tan β的值為　　　　.? 答案　3 7.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　.? 答案　 8.(2014浙江文,18,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4sin2 +4sin Asin B=2+. (1)求角C的大小; (2)已知b=4,△ABC的面積為6,求邊長c的值. 解析　(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+, 化簡得-2cos

5、Acos B+2sin Asin B=, 故cos(A+B)=-, 所以A+B=, 從而C=. (2)由S△ABC=absin C=6,b=4,C=,得a=3. 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得c=. 教師用書專用(9—11) 9.(2013重慶,9,5分)4cos 50°-tan 40°=(　　) A. B. C. D.2-1 答案　C　 10.(2014江蘇,15,14分)已知α∈,sin α=. (1)求sin的值; (2)求cos的值. 解析　(1)因為α∈,sin α=, 所以cos α=-=-. 故sin=sincos α+cossin

6、 α =×+×=-. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-, cos 2α=1-2sin2α=1-2×=, 所以cos=coscos 2α+sinsin 2α =×+×=-. 11.(2013廣東,16,12分)已知函數(shù)f(x)=cos,x∈R. (1)求f 的值; (2)若cos θ=,θ∈,求f . 解析　(1)f=cos--=cos =cos =1. (2)f=cos =cos=cos 2θ-sin 2θ. 因為cos θ=,θ∈,所以sin θ=-, 所以sin 2θ=2sin θcos θ=-, cos 2θ=cos2θ-si

7、n2θ=-, 所以f=cos 2θ-sin 2θ=--=. 考點二　簡單的三角恒等變換 1.(2013浙江,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α=(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 2.(2017課標全國Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=,則sin 2α=(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 3.(2017山東文,4,5分)已知cos x=,則cos 2x=(　　) A.- B. C.- D. 答案　D 4.(2014課標Ⅰ,8,5分)設(shè)α∈,β∈,且tan α=,則(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　

8、　　　　 A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= 答案　C 5.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A=　　　　,b=　　　　.? 答案　;1 6.(2016四川,11,5分)cos2-sin2=　　　　.? 答案　 7.(2014福建,16,13分)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-. (1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值; (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　解法一:(1)因為0<α<,sin α=, 所以cos α=. 所以

9、f(α)=×-=. (2)因為f(x)=sin xcos x+cos2x- =sin 2x+- =sin 2x+cos 2x =sin, 所以T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 解法二: f(x)=sin xcos x+cos2x- =sin 2x+- =sin 2x+cos 2x =sin. (1)因為0<α<,sin α=,所以α=, 從而f(α)=sin=sin=. (2)T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x

10、)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 教師用書專用(8—12) 8.(2013四川,13,5分)設(shè)sin 2α=-sin α,α∈,則tan 2α的值是　　　　.? 答案　 9.(2013課標全國Ⅰ,15,5分)設(shè)當x=θ時,函數(shù)f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos θ=　　　　.? 答案　- 10.(2013課標全國Ⅱ,15,5分)設(shè)θ為第二象限角,若tan=,則sin θ+cos θ=　　　　.? 答案　- 11.(2017江蘇,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)記f(x)

11、=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值. 解析　(1)因為a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b, 所以-cos x=3sin x. 若cos x=0,則sin x=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0. 于是tan x=-. 又x∈[0,π],所以x=. (2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos. 因為x∈[0,π],所以x+∈, 從而-1≤cos≤. 于是,當x+=,即x=0時, f(x)取到最大值3; 當x+=π,即x=時, f(x)取到最小值-2. 12.(2

12、013重慶,20,12分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a2+b2+ab=c2. (1)求C; (2)設(shè)cos Acos B=,=,求tan α的值. 解析　(1)因為a2+b2+ab=c2, 由余弦定理有cos C===-, 故C=. (2)由題意得 =, 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=, tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=, tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.① 因為

13、C=,所以A+B=,所以cos(A+B)=, 因為cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=. 由①得tan2α-5tan α+4=0,解得tan α=1或tan α=4. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點一　和與差的三角函數(shù) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江高考模擬訓練沖刺卷四,4)已知sin=-,cos=,則θ屬于(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　C 2.(2018浙江9+1高中聯(lián)盟期中,12

14、)設(shè)sin 2α=sin α,α∈(0,π),則cos α=　　　　,tan 2α=　　　　.? 答案　;- 3.(2017浙江“超級全能生”3月聯(lián)考,15)已知sin(3π-θ)=sin(θ∈R),則cos=　　　　　　　.? 答案　± 4.(2018浙江杭州地區(qū)重點中學第一學期期中,20)已知a=(2cos α,2sin α),b=(cos β,sin β),其中0≤α<β<π,設(shè)=a+b,=a-2b(O為坐標原點),以O(shè)A,OB為鄰邊所作的平行四邊形為菱形. (1)求cos(β-α)的值; (2)若α=0,單位向量e=xa+yb(x,y∈R),求x+y的最大值. 解析　

15、(1)∵a=(2cos α,2sin α),b=(cos β,sin β),∴a+b=(2cos α+cos β,2sin α+sin β),a-2b=(2cos α-2cos β,2sin α-2sin β).∵|a+b|=|a-2b|,即(2cos α+cos β)2+(2sin α+sin β)2=(2cos α-2cos β)2+(2sin α-2sin β)2,∴12cos(β-α)=3,∴cos(β-α)=. (2)當α=0時, a=(2,0),b=,e=xa+yb=, 設(shè)e=(cos θ,sin θ), 則? ∴x+y=sin θ+cos θ=sin(θ+φ), ∴(

16、x+y)max=. 考點二　簡單的三角恒等變換 5.(2018浙江杭州二中期中,15)若α滿足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),則tan α=　　　　.? 答案　 6.(2016浙江寧波“十校”聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)=sin xcos x-cos2x-,x∈R,則函數(shù)f(x)的最小值為　　　　,函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為　　　　　　　　.? 答案　-2;,k∈Z 7.(2018浙江高考模擬卷,18)函數(shù)f(x)=acos ωx+bsin ωx(ω>0)的最小正周期為,當x=時,有最大值4. (1)求a,b,ω的值; (2)若

17、f的值. 解析　(1) f(x)=acos ωx+bsin ωx=sin(ωx+θ), 其中sin θ=,cos θ=. 由條件得=,∴ω=4, ∴f(x)=acos 4x+bsin 4x, 又x=時,有最大值4, ∴-a+b==4, 解得a=-2,b=2.(7分) (2)由(1)得f(x)=2sin 4x-2cos 4x=4sin, 則f=4sin=, ∴cos 4x=,∵

18、 (1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當x∈時,求函數(shù)f(x)的最大值. 解析　(1)f(x)=2cos x(cos x+sin x)=2sin+1. ∴函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π. 令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), ∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)∵x∈,∴2x+∈, ∴sin∈, ∴函數(shù)f(x)的最大值是3. 9.(2017浙江測試卷,18)已知函數(shù)f(x)=sin xsin. (1)求f(x)的最小正周期; (2)當x∈時,求f(x)的取值范圍. 解析　(1)∵f(x)=s

19、in2x+sin xcos x=(1-cos 2x)+sin 2x=sin+, ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤, ∴-≤sin≤1, ∴0≤sin+≤+, 即f(x)的取值范圍為. B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江鎮(zhèn)海中學階段測試(二),2)設(shè)α∈R ,則“cos 2α=-”是“cos α=”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　B 二、填空題 2.(2017浙江鎮(zhèn)海中學階段測試(

20、一),13)已知sin α=cos α+,且α∈,則的值為　　　　.? 答案　- 3.(2017浙江名校協(xié)作體期初,11)已知函數(shù)f(x)=sin 2x·(1-2sin2x)+1,則f(x)的最小正周期T=　　　　, f(T)=　　　　.? 答案　;1 三、解答題 4.(2018浙江9+1高中聯(lián)盟期中,18)設(shè)函數(shù)f(x)=sin+sin2x-cos2x. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若角A滿足f(A)=1,a=,△ABC的面積為,求b+c的值. 解析　(1)f(x)=sin 2x+cos 2x-cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin, 令-+2kπ

21、≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.(7分) (2)f(A)=sin=1, ∵0

22、+(2cos2x-1)+1=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1.(4分) (1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z).(10分) (2)∵x∈,∴2x+∈, ∴sin∈,∴f(x)∈[0,3].(14分) 6.(2017浙江稽陽聯(lián)誼學校聯(lián)考(4月),18)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin xcos x-cos. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　(1)f(x)=sin 2x-(2分) =sin 2x-cos 2x=

23、sin.(5分) 故函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(7分) (2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得 -+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,(10分) 取k=0,則x∈,取k=1,則x∈,(12分) 又因為x∈[0,π],所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,.(寫開區(qū)間也對)(14分) 7.(2016浙江第一次五校聯(lián)考,16)已知函數(shù)f(x)=sin 2x-cos2x-(x∈R). (1)當x∈時,求函數(shù)f(x)的值域; (2)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=, f(C)=0,若向量m=(1,sin A)與向量n=(2,sin B)共線,求a,b的值.

24、 解析　(1)f(x)=sin 2x--=sin 2x-cos 2x-1=sin-1.(3分) ∵-≤x≤,∴-≤2x-≤, ∴-≤sin≤1,從而-1-≤sin-1≤0. 故函數(shù)f(x)的值域為.(7分) (2)由f(C)=sin-1=0,得sin=1, ∵0

25、擬·方法題組 方法1　應(yīng)用公式化簡、求值的解題策略 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.求下列各式的值: (1)cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°; (2)sin-cos; (3)sin+cos. 解析　(1)原式=cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°)=cos 45°=. (2)原式=2 =2 =-2=-2cos =-2cos=-. (3)原式= = =cos=cos=. 方法2　輔助角公式的應(yīng)用的解題策略 2.(2017浙江寧波期末,18)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin

26、x-cos x)+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若函數(shù)g(x)=f(x+α)為偶函數(shù),求|α|的最小值. 解析　(1)f(x)=sin xcos x-(2cos2x-1) =sin 2x-cos 2x=sin,(6分) 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T==π.(7分) 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.(9分) (2)由題意得g(x)=sin, 因為函數(shù)g(x)為偶函數(shù),所以2α-=kπ+,k∈Z,即α=+,k∈Z,(12分) 當k=-1時,|α|有最小值,最小值為.(14分）. 15