2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時訓(xùn)練6 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時訓(xùn)練6 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 文 1．已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋(1－a)ln x. (1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程； (2)若a≤0，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解：(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝2x＋－ln x，f′(x)＝2－－，又f′(1)＝0，f(1)＝3，所以曲線f(x)在x＝1處的切線方程為y＝3. (2)f′(x)＝a－＋＝(x>0)， ①當(dāng)a＝0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增；若a≠0，f′(x)＝＝0， 解得x1＝1，x2＝－， ②當(dāng)－1

2、在上單調(diào)遞增； ③當(dāng)a＝－1時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； ④當(dāng)a<－1時，f(x)在和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 2．已知函數(shù)f(x)＝－ln x，x∈[1,3]． (1)求f(x)的最大值與最小值； (2)若f(x)<4－at對任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 解：(1)∵函數(shù)f(x)＝－ln x，∴f′(x)＝－，令f′(x)＝0得x＝±2， ∵x∈[1,3]，當(dāng)10； ∴f(x)在(1,2)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,3)上是單調(diào)增函數(shù)， ∴f(x)在x＝2處取得極

3、小值f(2)＝－ln 2； 又f(1)＝，f(3)＝－ln 3， ∵ln 3>1，∴－＝ln 3－1>0， ∴f(1)>f(3)， ∴x＝1時f(x)的最大值為，x＝2時函數(shù)取得最小值為－ln 2. (2)由(1)知當(dāng)x∈[1,3]時，f(x)≤，故對任意x∈[1,3]， f(x)<4－at恒成立， 只要4－at>對任意t∈[0,2]恒成立，即at<恒成立，記g(t)＝at，t∈[0,2]． ，解得a<， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 3．已知函數(shù)f(x)＝a(x2＋1)＋ln x. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若對任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma

4、－f(x)>a2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)由已知，得f′(x)＝2ax＋＝(x>0)． ①當(dāng)a≥0時，恒有f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． ②當(dāng)a<0時，若00，故f(x)在上是增函數(shù)； 若x>　，則f′(x)<0， 故f(x)在上是減函數(shù)． 綜上，當(dāng)a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)； 當(dāng)a<0時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)． (2)由題意，知對任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]， 恒有ma－f(x)>a2成立，等價于ma－a2>f(x)max. 因?yàn)閍∈(－4，－2)，所以<　<<1. 由

5、(1)，知當(dāng)a∈(－4，－2)時，f(x)在[1,3]上是減函數(shù)， 所以f(x)max＝f(1)＝2a， 所以ma－a2>2a，即m

6、3x2≥0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a>0時，x∈∪(0，＋∞)時，f′(x)>0， x∈時，f′(x)<0， 所以函數(shù)f(x)在，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)a<0時，x∈(－∞，0)∪時，f′(x)>0， x∈時，f′(x)<0， 所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． (2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)＝b， f＝a3＋b，則函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)等價于f(0)·f＝b·<0，從而 或 又b＝c－a，所以當(dāng)a>0時，a3－a＋c>0或當(dāng)a<0時，a3－a＋c<0. 設(shè)g(a)＝a3－a＋c，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個零點(diǎn)時，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪∪， 則在(－∞，－3)上g(a)<0， 且在∪上g(a)>0均恒成立， 從而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1. 此時，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]． 因?yàn)楹瘮?shù)有三個零點(diǎn)，則x2＋(a－1)x＋1－a＝0有兩個異于－1的不等實(shí)根， 所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0， 解得a∈(－∞，－3)∪∪. 綜上c＝1.