（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第一章 集合與常用邏輯用語 1 第1講 集合及其運算教學案

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1、 第一章 集合與常用邏輯用語 知識點 最新考綱 集 合 了解集合、元素的含義及其關(guān)系． 理解集合的表示法． 了解集合之間的包含、相等關(guān)系． 理解全集、空集、子集的含義． 會求簡單集合間的并集、交集． 理解補集的含義并會求補集. 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 了解原命題和原命題的逆命題、否命題、逆否命題的含義，及其相互之間的關(guān)系． 理解命題的必要條件、充分條件、充要條件的意義，能判斷并證明命題成立的充分條件、必要條件、充要條件. 第1講　集合及其運算 1．集合與元素 (1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性． (2)元素與

2、集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或?表示． (3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 　表示 關(guān)系 　 文字語言 符號語言 記法 基本關(guān)系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素 x∈A? x∈B A?B或 B?A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A A?B，且存在x0∈B，x0?A AB 或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A?B， B?A

3、 A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意x，x??，??A ? 3.集合的基本運算 集合的并集 集合的交集 集合的補集 圖形 語言 符號 語言 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ?UA＝ {x|x∈U，且x?A} 4.集合的運算性質(zhì) (1)并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A； A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A； A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. (3)補集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?． (4)?U(?

4、UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)； ?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (2)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.(　　) (3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　) (4)對于任意兩個集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．　　(　　) (5)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× [教材衍化] 1．(必修1P12A組T3改編)若集

5、合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，則(　　) A．a(chǎn)∈P　　B．{a}∈P　　C．{a}?P　　D．a(chǎn)?P 解析：選D.因為a＝2不是自然數(shù)，而集合P是不大于的自然數(shù)構(gòu)成的集合，所以a?P.故選D. 2．(必修1P11例9改編)已知U＝{α|0°<α<180°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則?U(A∪B)＝________． 答案：{x|x是直角} 3．(必修1P44A組T5改編)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為________． 解析：集合A表示以(0，0)為圓心，1為半徑的單位圓，集合B表示直線y＝x

6、，圓x2＋y2＝1與直線y＝x相交于 兩點，，則A∩B中有兩個元素． 答案：2 [易錯糾偏] (1)忽視集合中元素的互異性致誤； (2)忽視空集的情況致誤； (3)忽視區(qū)間端點值致誤． 1．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B?A，則m＝________． 解析：因為B?A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根據(jù)集合元素的互異性可知，m≠1，所以m＝0或3. 答案：0或3 2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實數(shù)a的值是________． 解析：易得M＝{2}．因為M∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所

7、以a＝0或a＝. 答案：0或 3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，則A∩B＝________，A∪B＝________，(?RA)∪B＝________． 解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}， (?RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}． 答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞) 　　　　　　集合的含義 (1)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　　

8、 B．3 C．6 D．9 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝(　　) A． B． C．0 D．0或 (3)設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________． 【解析】　(1)當x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝0或y＝1；當x＝2時，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}， 即集合B中有6個元素． (2)當a＝0時，顯然成立； 當a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0， 即a＝. (3)因為{1，a＋b，a}＝，a≠0， 所以a＋b＝0，則＝－

9、1， 所以a＝－1，b＝1. 所以b－a＝2. 【答案】　(1)C　(2)D　(3)2 與集合中的元素有關(guān)問題的求解步驟 　 1．(2020·溫州八校聯(lián)考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為(　　) A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或3 解析：選B.因為5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.當m＝3時，M＝{1，5，13}；當m＝1時，M＝{1，3，5}；當m＝－1時，不滿足互異性．所以m的值為3或1. 2．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，則集合A中的元素個數(shù)為___

10、_____． 解析：因為∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因為x∈Z，所以x的值分別為5，3，1，－1，故集合A中的元素個數(shù)為4. 答案：4 　　　　　　集合的基本關(guān)系 (1)(2020·浙江省綠色聯(lián)盟聯(lián)考)已知A?B，A?C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，則集合A可以為(　　) A．{1，8}　　　B．{2，3} C．{0}　　　D．{9} (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________． 【解析】　(1)因為A?B，A?C，所以A?{B∩C}＝{1，8}，故選A.

11、 (2)因為B?A， 所以①若B＝?，則2m－15}，如何求解？ 解：因為B?A， 所以①當B＝?時，即2m－14. 綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)．

12、 　 1．設(shè)P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則(　　) A．P?Q B．Q?P C．?RP?Q D．Q??RP 解析：選C.因為P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以?RP＝{y|y>1}，所以?RP?Q，選C. 2．(2020·紹興調(diào)研)設(shè)A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B?A，則x＝________． 解析：由B?A，則x2＝4，或x2＝2x.當x2＝4時，x＝±2；當x2＝2x時，x＝0或x＝2.但當x＝2時，2x＝4，這與集合中元素的互異性相矛盾．故x＝－2

13、或x＝0. 答案：－2或0 3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

14、運算； (2)已知集合的運算結(jié)果求參數(shù)． 角度一　求集合間的交、并、補運算 (1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，則?UA＝(　　) A．? B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} (2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，則∩B＝(　　) A．{－1}　　　　　　　　 B．{0，1} C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3} (3)(2020·浙江高考模擬)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x

15、|1

16、 (1)設(shè)集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(　　) A．{1，－3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} (2)(2020·浙江新高考優(yōu)化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x1. 故m

17、的值可以是2，故選D. 【答案】　(1)C　(2)D (1)集合運算的常用方法 ①若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解． ②若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況． (2)利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法 ①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到． ②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解． [提醒]　在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足互異性)．　 1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝(　　) A．[2，3]

18、B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：選B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}， ?RQ＝{x|－2＜x＜2}， 故得P∪(?RQ)＝{x|－2＜x≤3}．故選B. 2．設(shè)全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若?S A＝{2，3}，則m＝________． 解析：因為S＝{1，2，3，4}，?SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m＝1×4＝4. 答案：4 核心素養(yǎng)系列1　數(shù)學抽象——集合的新定義問題 以集合為背景的新定義問題常以“問題”為核心，

19、以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，這類試題只是以集合為依托，考查考生對新概念的理解，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的數(shù)學抽象． 對于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余項均為0.例如：子集{a2，a3}的“特征數(shù)列”為0，1，1，0，0，…，0. (1)子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”的前3項和等于________； (2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，…，p100滿足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，…，q1

20、00滿足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，則P∩Q的元素個數(shù)為________． 【解析】　(1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”為1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3項和為2. (2)由已知可得子集P為{a1，a3，…，a99}，子集Q為{a1，a4，a7，…，a100}，則兩個子集的公共元素為a1到a100以內(nèi)項數(shù)被6除余1的數(shù)對應(yīng)的項，即a1，a7，…，a97，共17項． 【答案】　(1)2　(2)17 解決集合新定義問題的方法 (1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，

21、這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在．　 (2)用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)． 　設(shè)數(shù)集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定義b－a為集合{x|a≤x≤b}的“長度”，則集合M∩N的長度的最小值為________． 解析：在數(shù)軸上表示出集合M與N(圖略)， 可知當m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1時，M∩N的“長度”最?。? 當m＝0且n＝1時，M∩N＝{x|≤x≤}，

22、 長度為－＝； 當n＝且m＝時，M∩N＝{x|≤x≤}， 長度為－＝. 綜上，M∩N的長度的最小值為. 答案： [基礎(chǔ)題組練] 1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B.因為集合A和集合B有共同元素2，4，所以A∩B＝{2，4}，所以A∩B中元素的個數(shù)為2. 2．(2020·溫州十五校聯(lián)合體聯(lián)考)已知集合A＝，B＝，則A∪B＝(　　) A．(－∞，1] B．(0，1] C．[1，e] D．(0，e] 解析：選A.因為A＝＝， B＝＝， 所以A∪B＝(－

23、∞，1]，故選A. 3．(2020·寧波高考模擬)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(?UB)＝{1，3，5}，則B＝(　　) A．{2，4，6}　　　　　　　　 B．{1，3，5} C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6} 解析：選C.因為全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(?UB)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故選C. 4．設(shè)集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝(　　) A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D

24、．{x∈R|－1≤x≤5} 解析：選B.因為A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故選B. 5．(2020·宜春中學、新余一中聯(lián)考)已知全集為R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，則圖中陰影部分表示的集合是(　　) A．{x|2

25、陰影部分表示的集合為(?RB)∩A， 因為?RB＝{x|x≥0}， 所以(?RB)∩A＝{x|0≤x<6}，故選C. 6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4個子集，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3) C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：選B.因為A∩B有4個子集， 所以A∩B中有2個不同的元素， 所以a∈A，所以a2－3a<0， 解得0

26、}，則(?UA)∩B＝(　　) A．{1，2，3} B．{4，5，6} C．{6，7，8} D．{4，5，6，7，8} 解析：選B.因為U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以?UA＝{4，5，6，7，8}， 所以(?UA)∩B＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故選B. 8．設(shè)集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，則A∪B＝(　　) A．{－1，2，3，5} B．{－1，2，3} C．{5，－1，2} D．{2，3，5} 解析：選A.由A∩B＝{2，－1}，可得或當時，此時B＝{2，3，－1}，所以A∪B

27、＝{－1，2，3，5}；當時，此時不符合題意，舍去． 9．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，則集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的個數(shù)為(　　) A．147 B．140 C．130 D．117 解析：選B.由題意得，y的取值一共有3種情況，當y＝2時，xy是偶數(shù)，不與y＝3，y＝5有相同的元素，當y＝3，x＝5，15，25，…，95時，與y＝5，x＝3，9，15，…，57時有相同的元素，共10個，故所求元素個數(shù)為3×50－10＝140，故選B. 10．(2020·溫州質(zhì)檢)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x

28、|x－a≤0}，若?UB?A，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：選D.因為x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1. 所以A＝{x|x>2或x<1}，因為B＝{x|x≤a}， 所以?UB＝{x|x>a}． 因為?UB?A，借助數(shù)軸可知a≥2，故選D. 11．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，則a的值為________． 解析：根據(jù)并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4. 答案：4 12．(2020·寧波效實中學模擬)已知全集U＝R，

29、集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，則A∪B＝________；A∩(?UB)＝________． 解析：log2(x－2)<1?03}，則B＝________，A∩(?RB)＝________． 解析：當k＝－1時，n＝－4；當k＝0時，n＝－1；當k＝1時，n＝2；當k＝2時，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，

30、所以B＝{x|x<－2或x>4}，?RB＝{x|－2≤x≤4}，A∩(?RB)＝{－1，2}． 答案：{x|x<－2或x>4}　{－1，2} 14．(2020·浙江省杭州二中高三年級模擬)設(shè)全集為R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，則M∩N＝________；?R(M∩N)＝________． 解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以?R(M∩N)＝(－∞，3]． 答案：(3，＋∞)　(－∞，3] 15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|

31、m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3

32、{5，6，7，8，9}． 答案：{5，6，7，8，9} 17．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

33、)＝R C．(?UA)∪B＝R D．A∩(?UB)＝A 解析：選D.因為A＝{x|－44}， 所以?UB＝{x|x≤4}，所以A∩(?UB)＝A，故選D. 2．集合A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，全集U＝A∪B，則?U(A∩B)＝(　　) A．{x|x＜－1或x≥1} B．{x|1≤x≤3或x＜－1} C．{x|x≤－1或x＞1} D．{x|1＜x≤3或x≤－1} 解析：選B.集合A＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}

34、＝{x|－1≤x≤3}，所以U＝A∪B＝{x|x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1≤x＜1}； 所以?U(A∩B)＝{x|1≤x≤3或x＜－1}． 故選B. 3．(2020·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)已知集合A＝{1，2，}，B＝{1，m}，若B?A，則m＝________，?AB＝________． 解析：由題意，當m＝2時，A＝{1，2，}，B＝{1，2}，滿足B?A；當＝m，即m＝0或1時，若m＝0，則A＝{1，2，0}，B＝{1，0}，滿足B?A.若m＝1，則A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，不滿足集合中元素的互異性，所以m＝1舍去．當m＝2時，?AB＝{}；當m＝0時，?AB＝{

35、2}． 答案：0或2　{2}或{} 4．函數(shù)g(x)＝其中P，M為實數(shù)集R的兩個非空子集，規(guī)定f(P)＝{y|y＝g(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝g(x)，x∈M}．給出下列四個命題： ①若P∩M＝?，則f(P)∩f(M)＝?； ②若P∩M≠?，則f(P)∩f(M)≠?； ③若P∪M＝R，則f(P)∪f(M)＝R； ④若P∪M≠R，則f(P)∪f(M)≠R. 其中命題不正確的有________． 解析：①若P＝{1}，M＝{－1}，則f(P)＝{1}，f(M)＝{1}，則f(P)∩f(M)≠?，故①錯． ②若P＝{1，2}，M＝{1}，則f(P)＝{1，2}，f(M)

36、＝{－1}，則f(P)∩f(M)＝?.故②錯． ③若P＝{非負實數(shù)}，M＝{負實數(shù)}， 則f(P)＝{非負實數(shù)}，f(M)＝{正實數(shù)}， 則f(P)∪f(M)≠R，故③錯． ④若P＝{非負實數(shù)}，M＝{正實數(shù)}， 則f(P)＝{非負實數(shù)}，f(M)＝{負實數(shù)}， 則f(P)∪f(M)＝R，故④錯． 答案：①②③④ 5．設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，求A∩B. 解：不等式<2x<8的解為－3

37、[x]<0，沒有實數(shù)解；若[x]＝－1，則x2＝1，得x＝－1； 若[x]＝0，則x2＝3，沒有符合條件的解； 若[x]＝1，則x2＝5，沒有符合條件的解； 若[x]＝2，則x2＝7，有一個符合條件的解，x＝. 因此，A∩B＝. 6．已知集合A＝{x|1