7、程為y2＝8x.
②由①得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4，4)．設C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
觸類旁通
求拋物線方程的三個注意點
(1)當坐標系已建立時，要注意根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種；
(2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系；
(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的
8、距離，利用它的幾何意義來解決問題．
【變式訓練1】 (1)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為－1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為( )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．x＝－2
答案 C
解析 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝－，與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得：x2－3px＋＝0，可得x1＋x2＝3p.根據(jù)中點坐標公式，有＝3，p＝2，因此拋物線的準線方程為x＝－1.
(2)過拋物線C：y2＝4x的焦點F作直線l交拋物線C于A，B兩點，若A到拋物線的準線的距離為4，則|
9、AB|＝________.
答案
解析 設A(xA，yA)，B(xB，yB)，
∵y2＝4x，∴拋物線的準線為x＝－1，F(xiàn)(1,0)，
又A到拋物線準線的距離為4，
∴xA＋1＝4，∴xA＝3，
∵xAxB＝＝1，∴xB＝，
∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝.
考向 拋物線定義及應用
命題角度1 到焦點與到定點距離之和最小問題
例2 [2018·贛州模擬]若點A的坐標為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標為( )
A．(0,0) B.
C．(1，)
10、 D．(2,2)
答案 D
解析 過M點作準線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當A，M，N三點共線時，|MF|＋|MA|取得最小值，此時M(2,2)．
命題角度2 到點與準線的距離之和最小問題
例3 [2018·邢臺模擬]已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值是________．
答案 5
解析 依題意，由點M向拋物線x2＝4y的準線l：y＝－1引垂線，垂足為M1，則有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，結(jié)合圖形可知|MA
11、|＋|MM1|的最小值等于圓心C(－1,5)到y(tǒng)＝－1的距離再減去圓C的半徑，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
命題角度3 到定直線的距離最小問題
例4 已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
A. B．2 C. D．3
答案 B
解析 由題可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準線，設拋物線的焦點為F(1,0)，則動點P到l2的距離等于|PF|，則動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是＝2.
命
12、題角度4 焦點弦中距離之和最小問題
例5 已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，且|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為( )
A. B．1 C. D.
答案 C
解析 如圖所示，設拋物線的準線為l，AB的中點為M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由拋物線的定義知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，
則點M到y(tǒng)軸的距離為|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝.
觸類旁通
與拋物線有關的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略
(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最
13、短”，使問題得解．
(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．
考向 拋物線在實際生活中的應用
例6 一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個矩形的三邊圍成，尺寸(單位：m)如圖所示，一輛卡車空車時能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3 m，車與箱共高4.5 m，此車能否通過隧道？說明理由．
解 建立如圖所示的直角坐標系，設矩形的邊與拋物線的接點為A，B，則A(－3，－3)，B(3，－3)．
設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，
將B點坐標代入得9＝－2p·(－3)，所以p＝.
所以拋物線方程為x2＝－3y(－3
14、≤y≤0)．
因為車與箱共高4.5 m，
所以集裝箱上表面距拋物線隧道拱頂0.5 m.
設拋物線上點D的坐標為(x0，－0.5)，則x＝，
所以|x0|＝＝，所以2|x0|＝<3.
此車不能通過隧道．
觸類旁通
與拋物線有關的橋的跨度、隧道高低等問題，通常建立直角坐標系，利用拋物線的標準方程解決，注意建立直角坐標系后坐標的正負及其實際意義．
考向 直線與拋物線的綜合問題
例7 [2017·全國卷Ⅰ]設A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4.
(1)求直線AB的斜率；
(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．
15、
解 (1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直線AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.
設M(x3，y3)，由題設知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
設直線AB的方程為y＝x＋m，
故線段AB的中點為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
當Δ＝16(m＋1)>0，
即m>－1時，x1,2＝2±2.
從而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由題設知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直線AB的方程為y＝x＋7.
觸類旁通
16、
求解拋物線綜合問題的方法
(1)研究直線與拋物線的位置關系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應用．
(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點在x軸正半軸)，若不過焦點，則必須用弦長公式．
【變式訓練2】[2016·江蘇高考]如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p>0)．
(1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；
17、(2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.
①求證：線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)；
②求p的取值范圍．
解 (1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為，由點在直線l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4，所以拋物線C的方程為y2＝8x.
(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點M(x0，y0)．因為點P和Q關于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為－1，
則可設其方程為y＝－x＋b.
①證明：由消去x，得y2＋2py－2pb＝0.
因為P和Q是拋物線C上的相異兩點，所以y1≠y2，
從而Δ＝(2p)2－4×
18、(－2pb)>0，化簡得p＋2b>0.
方程y2＋2py－2pb＝0的兩根為y1,2＝－p±，從而y0＝＝－p.
因為M(x0，y0)在直線l上，所以x0＝2－p.
因此，線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)．
②因為M(2－p，－p)在直線y＝－x＋b上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.
由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，
所以p<.因此，p的取值范圍是.
核心規(guī)律
認真區(qū)分四種形式的標準方程
(1)區(qū)分y＝ax2與y2＝2px(p>0)，前者不是拋物線的標準方程．
(2)求標準方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標準方程有時可設為y
19、2＝mx或x2＝my(m≠0)．
滿分策略
1.求拋物線的標準方程時一般要用待定系數(shù)法求出p值，但首先要判斷拋物線是否為標準方程，以及是哪一種標準方程．
2.求過焦點的弦或與焦點有關的距離問題，要多從拋物線的定義入手，這樣可以簡化問題．
3.直線與拋物線結(jié)合的問題，不要忘記驗證判別式.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
數(shù)學思想系列 9——化歸轉(zhuǎn)化法解決拋物中的比值問題
(1)[2018·溫州十校聯(lián)考]已知點A(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，若＝，則p的值等于( )
20、
A. B. C．2 D．4
解題視點 由四點共線得出斜率相等，進而得出M點的坐標．
解析 設M(xM，yM)，N，由＝，知＝，所以yN＝(＋1)yM；由kFA＝kFN知，＝，所以yN＝4，所以yM＝；又＝，所以－xM＝＝，所以xM＝，將(xM，yM)代入y2＝2px，得2＝2p×，解得p＝2.故選C.
答案 C
(2)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A，B，若S△OAF＝4S△OBF，則直線AB的斜率為( )
A．± B．± C．± D．±
解題視點 將已知中的比值轉(zhuǎn)化為相關點的坐標比值．
解析 根據(jù)題意設點A(x1，y1)，B(x2，y2
21、)．由S△OAF＝4S△OBF，得|AF|＝4|BF|，＝4，得＝4，故－y1＝4y2，即＝－4.設直線AB的方程為y＝k，聯(lián)立消元得ky2－2py－kp2＝0，故y1＋y2＝，y1y2＝－p2，則＝＋＋2＝－，∴－＝－，解得k＝±，即直線AB的斜率為±.故選D.
答案 D
答題啟示 圓錐曲線中存在線段比值問題，應采用化歸轉(zhuǎn)化思想方法進而轉(zhuǎn)化為向量關系，或有關點的坐標關系，有時還利用相似比或三角函數(shù)求解.
跟蹤訓練
過拋物線y2＝4x的焦點F且斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點(xA>xB)，則＝( )
A. B. C．3 D．2
答案 D
解析 設直線方程為y＝2(x－
22、1)與y2＝4x聯(lián)立得：2x2－5x＋2＝0，∴(2x－1)(x－2)＝0，∴x1＝，x2＝
2．∵xA>xB，∴xA＝2，xB＝.∴＝＝＝2.故選D.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級 基礎達標]
1．若拋物線y2＝2px上一點P(2，y0)到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為( )
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
答案 C
解析 ∵拋物線y2＝2px，∴準線為x＝－.
∵點P(2，y0)到其準線的距離為4.∴＝4.
∴p＝4，∴拋物線的標準方程為y2＝8x.
2．已知拋物線C
23、：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A
解析 由題意知拋物線的準線為x＝－.因為|AF|＝x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故選A.
3．[2016·全國卷Ⅰ]以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 由題意，不妨設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，設O為坐標原點，由|OA
24、|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.故選B.
4．[2018·運城模擬]已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為3，則此拋物線方程為( )
A．x2＝y(tǒng) B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y
答案 D
解析 設點M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的拋物線方程是x2＝3y.
5．已知直線ax＋y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，則直線與拋物線相交弦的弦長為( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 拋物線y2＝4x的焦點F(1,0
25、)，點F在直線ax＋y＋1＝0上，∴a＋1＝0，即a＝－1，∴直線方程為x－y－1＝0.聯(lián)立得x2－6x＋1＝0.設直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
6．[2018·鄭州模擬]已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，若|AF|＋|BF|＝5，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________．
答案
解析 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由拋物線定義可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離＝.
7．[2017·河北六校模擬]拋物
26、線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點O是坐標原點，過點O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線的方程為________．
答案 y2＝16x
解析 設滿足題意的圓的圓心為M.
根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上．
又∵圓的面積為36π，
∴圓的半徑為6，則|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－.
又由題意可知xM＝，∴＝6－，解得p＝8.
∴拋物線方程為y2＝16x.
8．[2017·天津高考]設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為________．
答案 (x＋1)
27、2＋(y－)2＝1
解析 由y2＝4x可得點F的坐標為(1,0)，準線l的方程為x＝－1.
由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點C的橫坐標為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因為∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以點C的縱坐標為.
所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1.
9.如圖，點O為坐標原點，直線l經(jīng)過拋物線C：y2＝4x的焦點F.設點A是直線l與拋物線C在第一象限的交點．以點F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸負半軸的交點為點B，與拋物線C在第四象限的交點為點D.
(1)若點O到直線l的距離為，求直線l的方程；
(
28、2)試判斷直線AB與拋物線C的位置關系，并給出證明．
解 (1)由題易知，拋物線C的焦點為F(1,0)，
當直線l的斜率不存在時，即x＝1，不符合題意．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
所以＝，解得k＝±.
即直線l的方程為y＝±(x－1)．
(2)直線AB與拋物線C相切，證明如下：
設A(x0，y0)，則y＝4x0.
因為|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．
所以直線AB的方程為：y＝(x＋x0)，
整理得，x＝－x0，
把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，
Δ＝64x－16x0y＝
29、64x－64x＝0，所以直線AB與拋物線C相切．
10．[2018·湖南模擬]已知過A(0,2)的動圓恒與x軸相切，設切點為B，AC是該圓的直徑．
(1)求C點軌跡E的方程；
(2)當AC不在y軸上時，設直線AC與曲線E交于另一點P，該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點．求證：△PQC恒為直角三角形．
解 (1)設C(x，y)，A(0,2)，則圓心坐標為，又因為圓與x軸切于B點，所以B點坐標為，圓的半徑為.
根據(jù)AC是圓的直徑得，|AC|＝|y＋2|，
即＝|y＋2|，兩邊平方整理得
x2＝8y，所以C點的軌跡E的方程為x2＝8y.
(2)證明：設AC所在直線的方程為y＝kx＋
30、2，
與曲線E聯(lián)立得x2－8kx－16＝0，
設C(x1，y1)，P(x2，y2)，則x1·x2＝－16.
曲線E：x2＝8y在點P(x2，y2)處切線的斜率為
k1＝x＝x2＝，且B，
直線BC的斜率為k2＝＝＝，
所以k1·k2 ＝×＝＝＝－1，
所以PQ⊥BC，即△PQC為直角三角形．
[B級 知能提升]
1．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|＝( )
A. B. C．3 D．2
答案 C
解析 過點Q作QQ′⊥l交l于點Q′，因為＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點F到準線l
31、的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.
2．[2018·安徽模擬]過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 焦點F(1,0)，設A，B分別在第一、四象限，則點A到準線l：x＝－1的距離為3，得A的橫坐標為2，縱坐標為2，AB的方程為y＝2(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的橫坐標為，縱坐標為－，S△AOB＝×1×(2＋)＝.
3．[2017·山東高考]在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x
32、2＝2py(p＞0)交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________．
答案 y＝±x
解析 設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
4．設A，B為拋物線y2＝x上相異兩點，其縱坐標分別為1，－2，分別以A，B為切點作拋物線的切線l1，l2，設l1，l2相交于點P.
(1)求點P的坐標；
(2)M為A，B間拋物線段上任意一點，設＝λ＋μ
33、，試判斷＋是否為定值？如果為定值，求出該定值；如果不是定值，請說明理由．
解 (1)知A(1,1)，B(4，－2)，設點P坐標為(xp，yp)，
切線l1：y－1＝k(x－1)，聯(lián)立
由拋物線與直線l1相切，解得k＝，
即l1：y＝x＋，同理l2：y＝－x－1，
聯(lián)立l1，l2的方程，可解得
即點P的坐標為.
(2)設M(y，y0)，且－2≤y0≤1，
由＝λ＋μ得＝λ＋μ，
即解得
則＋＝＋＝1，即＋為定值1.
5．[2018·合肥模擬]已知拋物線C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p>0)的焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O為坐標原點)．
34、
(1)求拋物線C2的方程；
(2)過點O的直線交C1的下半部分于點M，交C2的左半部分于點N，求△PMN面積的最小值．
解 (1)F1(1,0)，F(xiàn)2，∴＝.
·＝·(－1，－1)＝1－＝0，
∴p＝2，
∴C2的方程為x2＝4y.
(2)設過點O的直線為y＝kx，聯(lián)立得
M，
聯(lián)立得N(4k,4k2)(k<0)，
從而|MN|＝＝，
點P到直線MN的距離d＝，
進而S△PMN＝··
＝＝
＝2.
令t＝k＋(t≤－2)，有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，
當t＝－2時，S△PMN有最小值8，此時k＝－1.
即當過原點的直線為y＝－x時，△PMN的面積取得最小值8.
18
（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第7講 拋物線學案
