(全國(guó)通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案 文
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1、 第1講 直線與圓 [考情考向分析] 考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長(zhǎng)問題).此類問題難度屬于中低檔,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 熱點(diǎn)一 直線的方程及應(yīng)用 1.兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在. 2.求直線方程 要注意幾種直線方程的局限性.點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直,兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的
2、直線. 3.兩個(gè)距離公式 (1)兩平行直線l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0間的距離d=(A2+B2≠0). (2)點(diǎn)(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式d=(A2+B2≠0). 例1 (1)(2018·上饒模擬)“a=-3”是“直線l1:ax-(a+1)y+1=0與直線l2:2x-ay-1=0垂直”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 由直線l1:ax-(a+1)y+1=0與直線l2:2x-ay-1=0垂直可得,2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=
3、-3”是“直線l1:ax-(a+1)y+1=0與直線l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要條件,故選A. (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P,則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí),點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為________. 答案 3 解析 由題意得,當(dāng)k≠0時(shí),直線l1:kx-y+2=0的斜率為k,且經(jīng)過點(diǎn)A(0,2),直線l2:x+ky-2=0的斜率為-,且經(jīng)過點(diǎn)B(2,0),且直線l1⊥l2,所以點(diǎn)P落在以AB為直徑的圓C上,其中圓心坐標(biāo)為C(1,1),半徑為r=, 由圓心到直線x-y-4=0的距離為d==2, 所以點(diǎn)
4、P到直線x-y-4=0的最大距離為 d+r=2+=3. 當(dāng)k=0時(shí),l1⊥l2,此時(shí)點(diǎn)P(2,2). 點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離d==2. 綜上,點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為3. 思維升華 (1)求解兩條直線的平行或垂直問題時(shí)要考慮斜率不存在的情況. (2)對(duì)解題中可能出現(xiàn)的特殊情況,可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究. 跟蹤演練1 (1)(2018·上海市虹口區(qū)模擬)直線ax+(a-1)y+1=0與直線4x+ay-2=0互相平行,則實(shí)數(shù)a=________. 答案 2 解析 當(dāng)a≠0時(shí),=≠,解得a=2. 當(dāng)a=0時(shí),兩直線顯然不平行.故a=2. (2)(201
5、8·濮陽模擬)圓x2+(y-1)2=1的圓心到直線y=-x-2的距離為________. 答案 解析 圓x2+(y-1)2=1的圓心到直線y=-x-2的距離為=. 熱點(diǎn)二 圓的方程及應(yīng)用 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2+y2=r2. 2.圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以為圓心,為半徑的圓. 例2 (1)圓心為(2,0)的圓C與圓x2+y2+4x-6y+4=0相外切,則C的方程為( ) A.x2+y2+4x+2=0 B.x2+y
6、2-4x+2=0 C.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0 答案 D 解析 圓x2+y2+4x-6y+4=0, 即(x+2)2+(y-3)2=9, 圓心為(-2,3),半徑為3. 設(shè)圓C的半徑為r. 由兩圓外切知,圓心距為=5=3+r, 所以r=2. 故圓C的方程為(x-2)2+y2=4, 展開得x2+y2-4x=0. (2)已知圓M與直線3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圓心在直線y=-x-4上,則圓M的方程為( ) A.2+(y-1)2=1 B.2+2=1 C.2+2=1 D.2+(y-1)2=1 答案 C 解析 到兩直線3x-4y
7、=0及3x-4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x-4y+5=0,聯(lián)立方程組解得兩平行線之間的距離為2,所以半徑為1,從而圓M的方程為2+2=1.故選C. 思維升華 解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法 (1)幾何法:通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程. (2)代數(shù)法:即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù). 跟蹤演練2 (1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是________,半徑是________. 答案 (-2,-4) 5 解析 由已知方程表示圓,則a2=a+2, 解得a=2或a=
8、-1. 當(dāng)a=2時(shí),方程不滿足表示圓的條件,故舍去. 當(dāng)a=-1時(shí),原方程為x2+y2+4x+8y-5=0, 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+4)2=25, 表示以(-2,-4)為圓心,5為半徑的圓. (2)(2018·天津)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為____________. 答案 x2+y2-2x=0 解析 方法一 設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0), ∴ 解得 ∴圓的方程為x2+y2-2x=0. 方法二 畫出示意圖如圖所示, 則△OAB為等腰直角三角形,
9、
故所求圓的圓心為(1,0),半徑為1,
∴所求圓的方程為(x-1)2+y2=1,
即x2+y2-2x=0.
熱點(diǎn)三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1.直線與圓的位置關(guān)系:相交、相切和相離,判斷的方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法.
(1)點(diǎn)線距離法:設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,則d
10、
2.圓與圓的位置關(guān)系有五種,即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.
設(shè)圓C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,圓C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r,兩圓心之間的距離為d,則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下:
(1)d>r1+r2?兩圓外離.
(2)d=r1+r2?兩圓外切.
(3)|r1-r2| 11、.相交 D.內(nèi)含
答案 A
解析 圓心距為=2>1+1,
故兩圓外離.
(2)(2018·四川省高三“聯(lián)測(cè)促改”活動(dòng))過點(diǎn)(1,0)且傾斜角為30°的直線被圓(x-2)2+y2=1所截得的弦長(zhǎng)為( )
A. B.1 C. D.2
答案 C
解析 由題意得,直線方程為y=(x-1),
即x-y-1=0.
圓心(2,0)到直線的距離為d==,
故所求弦長(zhǎng)為l=2=2=.
思維升華 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量.
(2)圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題;圓上的點(diǎn)與直 12、線上點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題;圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題.
跟蹤演練3 (1)(2018·廣州名校聯(lián)考)已知直線y=ax與圓C:x2+y2-2ax-2y+2=0交于兩點(diǎn)A,B,且△CAB為等邊三角形,則圓C的面積為________.
答案 6π
解析 圓C化為(x-a)2+(y-1)2=a2-1,
且圓心C(a,1),半徑R=(a2>1).
∵直線y=ax和圓C相交,且△ABC為等邊三角形,
∴圓心C到直線ax-y=0的距離為
Rsin 60°=×,
即d==.
解得a2=7.
∴圓C的面積為πR2=π(7 13、-1)=6π.
(2)如果圓(x-a)2+(y-a)2=8上總存在到原點(diǎn)的距離為的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3)
C.[1,1] D.[-3,-1]∪[1,3]
答案 D
解析 圓心(a,a)到原點(diǎn)的距離為|a|,半徑r=2,圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為d.因?yàn)閳A(x-a)2+(y-a)2=8上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,則圓(x-a)2+(y-a)2=8與圓x2+y2=2有公共點(diǎn),r′=,所以r-r′≤|a|≤r+r′,即1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,-1]∪[1,3].
真題體 14、驗(yàn)
1.(2016·山東改編)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是________.
答案 相交
解析 ∵圓M:x2+(y-a)2=a2,
∴圓心坐標(biāo)為M(0,a),半徑r1=a,
圓心M到直線x+y=0的距離d=,
由幾何知識(shí)得2+()2=a2,解得a=2.
∴M(0,2),r1=2.
又圓N的圓心坐標(biāo)為N(1,1),半徑r2=1,
∴|MN|==.
又r1+r2=3,r1-r2=1,
∴r1-r2<|MN| 15、線l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,則l1,l2的距離是________.
答案
3.(2018·全國(guó)Ⅰ)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________.
答案 2
解析 由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.
∴圓心C(0,-1),半徑r=2.
圓心C(0,-1)到直線x-y+1=0的距離d==,
∴|AB|=2=2=2.
4.(2018·全國(guó)Ⅲ改編)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是________.
答案 [2,6]
解析 16、 設(shè)圓(x-2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離為d,則圓心C(2,0),r=,所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知條件可得|AB|=2,所以△ABP面積的最大值為|AB|·dmax=6,△ABP面積的最小值為|AB|·dmin=2.
綜上,△ABP面積的取值范圍是[2,6].
押題預(yù)測(cè)
1.已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱,經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)比為1∶2,則圓C的方程為( )
A.2+y2=
B.2+y2=
C.x2+2=
D.x2+2=
押題依據(jù) 直線和圓的方程是高考的必考點(diǎn), 17、經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),利用幾何法求圓的方程也是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
答案 C
解析 由已知得圓心在y軸上,且被x軸所分劣弧所對(duì)的圓心角為.設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,a),半徑為r,
則rsin =1,rcos =|a|,解得r=,
即r2=,|a|=,即a=±,
故圓C的方程為x2+2=.
2.設(shè)m,n為正實(shí)數(shù),若直線(m+1)x+(n+1)y-4=0與圓x2+y2-4x-4y+4=0相切,則mn( )
A.有最小值1+,無最大值
B.有最小值3+2,無最大值
C.有最大值3+2,無最小值
D.有最小值3-2,最大值3+2
押題依據(jù) 直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn) 18、,本題與基本不等式結(jié)合考查,靈活新穎,加之直線與圓的位置關(guān)系本身承載著不等關(guān)系,因此此類題在高考中出現(xiàn)的可能性很大.
答案 B
解析 由直線(m+1)x+(n+1)y-4=0與圓(x-2)2+(y-2)2=4相切,可得=2,整理得m+n+1=mn.由m,n為正實(shí)數(shù)可知,m+n≥2(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)),令t=,則2t+1≤t2,因?yàn)閠>0,所以t≥1+,所以mn≥3+2.故mn有最小值3+2,無最大值.故選B.
3.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的長(zhǎng)為2,則a=________.
押題依據(jù) 本題已知公共弦長(zhǎng),求參數(shù)的范圍,情境新穎,符合 19、高考命題的思路.
答案
解析 聯(lián)立兩圓方程
可得公共弦所在直線方程為ax+2ay-5=0,
故圓心(0,0)到直線ax+2ay-5=0的距離為
=(a>0).
故2=2,
解得a2=,
因?yàn)閍>0,所以a=.
A組 專題通關(guān)
1.若<α<2π,則直線+=1必不經(jīng)過( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 令x=0,得y=sin α<0,
令y=0,得x=cos α>0,
直線過(0,sin α),(cos α,0)兩點(diǎn),因而直線不過第二象限.
2.(2018·呼和浩特調(diào)研)設(shè)直線l1:x-2y+1=0與直線 20、l2:mx+y+3=0的交點(diǎn)為A,P,Q分別為l1,l2上任意兩點(diǎn),點(diǎn)M為P,Q的中點(diǎn),若|AM|=|PQ|,則m的值為( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
答案 A
解析 根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示.
直線l1:x-2y+1=0 與直線l2:mx+y+3=0 的交點(diǎn)為A,M 為PQ 的中點(diǎn),
若|AM|=|PQ|,
則PA⊥QA,
即l1⊥l2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.
3.我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù),也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓,即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí),其周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng),這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問題的方法是數(shù)學(xué)史上的 21、一項(xiàng)重大成就.現(xiàn)作出圓x2+y2=2的一個(gè)內(nèi)接正八邊形,使該正八邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為( )
A.x+(-1)y-=0 B.(1-)x-y+=0
C.x-(+1)y+=0 D.(-1)x-y+=0
答案 C
解析 如圖所示可知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),
所以直線AB,BC,CD的方程分別為y=(x-),
y=(1-)x+,
y=(-1)x+
整理為一般式即x+y-=0,
x-y+=0,
x-y+=0,
故選C.
4.(2018·吳忠模擬)與直線x-y-4=0和圓x2+y2 22、+2x-2y=0都相切的半徑最小的圓的方程是( )
A.(x+1)2+2=2 B.(x-1)2+2=4
C.(x-1)2+2=2 D.(x+1)2+2=4
答案 C
解析 圓x2+y2+2x-2y=0的圓心為(-1,1),半徑為,過圓心(-1,1)與直線x-y-4=0垂直的直線方程為x+y=0,所求的圓心在此直線上,又圓心(-1,1)到直線x-y-4=0的距離為=3,則所求圓的半徑為,設(shè)所求圓心為(a,b),且圓心在直線x-y-4=0的左上方,則=,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合半徑最小,舍去),故所求圓的方程為(x-1)2+2=2.
5.(20 23、18·孝義模擬)已知點(diǎn)P是直線l:x+y-b=0上的動(dòng)點(diǎn),由點(diǎn)P向圓O:x2+y2=1引切線,切點(diǎn)分別為M,N,且∠MPN=90°,若滿足以上條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè),則b等于( )
A.2 B.±2 C. D.±
答案 B
解析 由題意得∠PMO=∠PNO=∠MON=90°,
|MO|=|ON|=1,
∴四邊形PMON是正方形,
∴|PO|=,
∵滿足以上條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè),
∴OP垂直于直線x+y-b=0,
∴=,∴b=±2.
6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O的方程為x2+y2=4,直線l的方程為y=k(x+2),若在圓O上至少存在三點(diǎn)到直線l的距離為1,則 24、實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知,若圓O:x2+y2=4上至少存在三點(diǎn)到直線l:y=k(x+2)的距離為1,則圓心(0,0)到直線kx-y+2k=0的距離d應(yīng)滿足d≤1,即≤1,解得k2≤,即-≤k≤,故選B.
7.(2018·綿陽診斷)已知圓C1:x2+y2=r2,圓C2:(x-a)2+2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),給出下列結(jié)論:
①a+b=0;
②2ax1+2by1=a2+b2;
③x1+x2=a,y1+y2=b.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 25、 C.2 D.3
答案 D
解析 由圓C1:x2+y2=r2,
圓C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)相減,
得AB所在直線方程為2ax+2by=a2+b2.
由2ax1+2by1-a2-b2=0,①
2ax2+2by2-a2-b2=0,②
①-②得,a+b=0,①②正確;
AB的中點(diǎn)為直線AB與直線C1C2的交點(diǎn),
又AB:2ax+2by-a2-b2=0,
C1C2:bx-ay=0.
由得
故有x1+x2=a,y1+y2=b,③正確,故選D.
8.(2018·齊魯名校教科研協(xié)作體模擬)直線x+ysin α-3=0(α∈R)的傾斜角的取值范圍是_____ 26、___.
答案
解析 若sin α=0,則直線的傾斜角為;
若sin α≠0,
則直線的斜率k=-∈,
設(shè)直線的傾斜角為θ,
則tan θ∈,
故θ∈∪ ,
綜上可得直線的傾斜角的取值范圍是.
9.(2018·安徽省“皖南八?!甭?lián)考)若過點(diǎn)(2,0)有兩條直線與圓x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案 (-1,1)
解析 由題意過點(diǎn)(2,0)有兩條直線與圓x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,
則點(diǎn)(2,0)在圓外,即22-2×2+m+1>0,解得m>-1;
由方程x2+y2-2x+2y+m+1=0表示圓,
則(-2 27、)2+22-4(m+1)>0,解得m<1.
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1,1).
10.已知直線l:mx-y=1.若直線l與直線x-my-1=0平行,則m的值為________;動(dòng)直線l被圓x2+2x+y2-24=0截得的弦長(zhǎng)的最小值為________.
答案?。? 2
解析 當(dāng)m=0時(shí),兩直線不平行;
當(dāng)m≠0時(shí),由題意得=,所以m=±1.
當(dāng)m=1時(shí),兩直線重合,所以m=1舍去,故m=-1.
因?yàn)閳A的方程為x2+2x+y2-24=0,
所以(x+1)2+y2=25,
所以它表示圓心為C(-1,0),半徑為5的圓.
由于直線l:mx-y-1=0過定點(diǎn)P(0,-1),
28、所以過點(diǎn)P且與PC垂直的弦長(zhǎng)最短,
且最短弦長(zhǎng)為2=2.
11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(x+1)2+y2=2,點(diǎn)A(2,0),若圓C上存在點(diǎn)M,滿足|MA|2+|MO|2≤10,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是________.
答案
解析 設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)閨MA|2+|MO|2≤10,
所以(x-2)2+y2+x2+y2≤10,
即x2+y2-2x-3≤0,
因?yàn)?x+1)2+y2=2,所以y2=2-(x+1)2,
所以x2+2-(x+1)2-2x-3≤0,
化簡(jiǎn)得x≥-.
因?yàn)閥2=2-(x+1)2,所以y2≤,
所以-≤y≤.
12.設(shè)圓C滿足:① 29、截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)的比為3∶1;③圓心到直線l:x-2y=0的距離為d.當(dāng)d最小時(shí),圓C的面積為________.
答案 2π
解析 如圖,設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,b),
則即2b2=a2+1,
所以圓心C(a,b)到直線x-2y=0的距離d=,
故d2==(a2+4b2-4ab).
由于a2+b2≥2ab,即-4ab≥-2a2-2b2,
故d2=(a2+4b2-4ab)≥(2b2-a2)=
(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),
此時(shí)r2=a2+1=2,故圓的面積S=πr2=2π.
B組 能力提高
13.已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半 30、軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方)且|AB|=2,過點(diǎn)A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:①=;②-=2;③+=2.其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
答案 D
解析 根據(jù)題意,利用圓中的特殊三角形,求得圓心及半徑,
即得圓的方程為(x-1)2+(y-)2=2,并且可以求得A(0,-1),B(0,+1),
因?yàn)镸,N在圓O:x2+y2=1上,
所以可設(shè)M(cos α,sin α),N(cos β,sin β),
所以|NA|=
=,
|NB|=
=,
所以=-1,
同理可得=-1,
所以=,
31、
-=-(-1)=2,
+=2,
故①②③都正確.
14.若對(duì)圓(x-1)2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y),的取值與x,y無關(guān),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)≤-4 B.-4≤a≤6
C.a(chǎn)≤-4或a≥6 D.a(chǎn)≥6
答案 D
解析 表示圓上的點(diǎn)到直線l1:3x-4y-9=0的距離的5倍,表示圓上的點(diǎn)到直線l2:3x-4y+a=0的距離的5倍,
所以的取值與x,y無關(guān),即圓上的點(diǎn)到直線l1,l2的距離與圓上點(diǎn)的位置無關(guān),所以直線3x-4y+a=0與圓相離或相切,并且l1和l2在圓的兩側(cè),所以d=≥1,并且a>0,解得a≥6,故選D.
15.(201 32、8·合肥質(zhì)檢)為保護(hù)環(huán)境,建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,鎮(zhèn)政府決定為A,B,C三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站,集中處理A,B,C三個(gè)自然村的垃圾,受當(dāng)?shù)貤l件限制,垃圾處理站M只能建在與A村相距5 km,且與C村相距 km的地方.已知B村在A村的正東方向,相距3 km,C村在B村的正北方向,相距3 km,則垃圾處理站M與B村相距________ km.
答案 2或7
解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0),B(3,0),C(3,3).
由題意得垃圾處理站M在以A(0,0)為圓心,5為半徑的圓A上,同時(shí)又在以C(3,3)為圓心,為半徑的圓C上,兩圓的方程分別為x2+ 33、y2=25和(x-3)2+(y-3)2=31.
由
解得或
∴垃圾處理站M的坐標(biāo)為(5,0)或,
∴|MB|=2或|MB|==7,
即垃圾處理站M與B村相距2 km或7 km.
16.過點(diǎn)P(-3,0)作直線x-(a+b)y-3a-4b=0(a,b不同時(shí)為零)的垂線,垂足為M,已知點(diǎn)N(2,3),則|MN|的取值范圍是________.
答案
解析 直線x-(a+b)y-3a-4b=0(a,b不同時(shí)為零)化為a(x-y-3)+b(2x-y-4)=0,
令解得
∴直線x-(a+b)y-3a-4b=0過定點(diǎn)Q(1,-2).
∴點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上,
圓心為線段PQ的中點(diǎn)C(-1,-1),
半徑r==,
∴線段MN長(zhǎng)度的最大值為
|CN|+r=+=5+,
線段MN長(zhǎng)度的最小值為
|CN|-r=-=5-.
∴|MN|的取值范圍是[5-,5+].
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