（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 2 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式教學案

第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21(2)商數(shù)關(guān)系：tan 基本關(guān)系式變形sin21cos2，cos21sin2，sin tan cos ，cos ，(sin ±cos )21±2 sin cos .2六組誘導公式組數(shù)一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin sin cos_cos 余弦cos cos cos_cos sin sin_正切tan tan tan tan_口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限簡記口訣：把角統(tǒng)一表示為±(kZ)的形式，奇變偶不變，符號看象限疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)對任意的角，都有sin2cos21.()(2)若R，則tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的條件是為銳角()(4)若cos(n)(nZ)，則cos .()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×教材衍化1(必修4P19例6改編)若sin ，<<，則tan _解析：因為<<，所以cos ，所以tan .答案：2(必修4P22B組T3改編)已知tan 2，則的值為_解析：原式3.答案：33(必修4P28練習T7改編)化簡·sin()·cos(2)的結(jié)果為_解析：原式·(sin )·cos sin2.答案：sin2易錯糾偏(1)不會運用消元的思想；(2)±的形式?jīng)]有把k按奇數(shù)和偶數(shù)進行分類討論導致出錯1已知tan x2，則1sin2x的值為_解析：1sin2xcos2x2sin2x.答案：2已知A(kZ)，則A的值構(gòu)成的集合是_解析：k2n(nZ)時，A2.當k2n1(nZ)時，A1(1)2.答案：2，2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(高頻考點)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用很廣泛，也比較靈活高考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦角度一知弦求弦 (2020·麗水模擬)已知sin cos ，(0，)，則sin cos 的值為()A.B.CD【解析】(sin cos )2，所以12sin cos ，所以2sin cos ，由(sin cos )212sin cos 1，可得sin cos ±.又因為(0，)，sin <cos ，所以sin cos .【答案】C角度二知弦求切 已知cos，且，則tan ()A. B. C D±【解析】因為cos，所以sin ，顯然在第三象限，所以cos ，故tan .【答案】B角度三知切求弦 若tan ，則cos22sin 2()A. B. C1 D.【解析】法一：由tan ，cos2sin21，得或則sin 22sin cos ，則cos22sin 2.法二：cos22sin 2.【答案】A同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧(1)知弦求弦：利用誘導公式及平方關(guān)系sin2cos21求解(2)知弦求切：常通過平方關(guān)系sin2cos21及商數(shù)關(guān)系tan 結(jié)合誘導公式進行求解(3)知切求弦：通常先利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為sin tan ·cos 的形式，然后用平方關(guān)系求解若已知正切值，求一個關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，如；asin2bcos2csin cos . 1已知sin cos ，那么角的終邊在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第二或第四象限解析：選D.因為sin cos ，所以兩邊平方得12sin cos ，即2sin cos ，所以sin cos <0，驗證可知，角是第二或第四象限角，故選D.2已知是第二象限的角，tan ，則cos _解析：因為是第二象限的角，所以sin 0，cos 0，由tan ，得cos 2sin ，代入sin2cos21中，得5sin21，所以sin ，cos .答案：誘導公式的應(yīng)用 (1)sin(1 200°)cos 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)_(2)已知cos 是方程3x2x20的根，且是第三象限角，則等于_(3)已知cos()，則sin()_【解析】(1)原式sin 1 200°cos 1 290°cos 1 020°·sin 1 050°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)sin(2×360°330°)sin 120°cos 210°cos 300°sin 330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(360°60°)·sin(360°30°)sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°××1.(2)因為方程3x2x20的根為x11，x2，由題知cos ，所以sin ，tan .所以原式tan2.(3)因為，所以，所以sinsincos.【答案】(1)1(2)(3) (1)誘導公式用法的一般思路化大角為小角角中含有加減的整數(shù)倍時，用公式去掉的整數(shù)倍(2)常見的互余和互補的角常見的互余的角：與；與；與等常見的互補的角：與；與等(3)三角函數(shù)式化簡的方向切化弦，統(tǒng)一名用誘導公式，統(tǒng)一角用因式分解將式子變形，化為最簡 1若sin()，且(，)，則sin(2)()A. B.C D解析：選D.由sin()cos ，且(，)，得sin ，所以sin(2)sin 22sin cos ，選項D正確2已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3xy0上，則_解析：由題意可知tan 3，原式.答案：3(2020·寧波高三模擬)已知cos()，求(nZ)解：因為cos()，所以cos ，cos .4.基礎(chǔ)題組練1計算：sin cos ()A1 B1C0 D.解析：選A.原式sincossin coscos 1.2已知tan()，且，則sin()A. BC. D解析：選B.由tan()tan .又因為，所以cos ，所以為第三象限的角，sincos .3已知sin()cos(2)，|<，則等于()A BC. D.解析：選D.因為sin()cos(2)，所以sin cos ，所以tan .因為|<，所以.4已知sin(3)2sin()，則sin cos 等于()A B.C.或 D解析：選A.因為sin(3)sin()2sin()，所以sin 2cos ，所以tan 2，當在第二象限時，所以sin cos ；當在第四象限時，所以sin cos ，綜上，sin cos ，故選A.5已知5，則sin2sin cos 的值為()A BC. D.解析：選D.依題意得5，所以tan 2.所以sin2sin cos .6已知sin 3cos 10，則tan 的值為()A.或 B或C.或 D或不存在解析：選D.由sin 3cos 1，可得(3cos 1)2cos21，即5cos23cos 0，解得cos 或cos 0，當cos 0時，tan 的值不存在，當cos 時，sin 3cos 1，tan ，故選D.7化簡_解析：原式sin sin 0.答案：08已知sin，則cos_解析：coscoscoscos，而sinsincos，所以cos.答案：9已知為第四象限角，sin 3cos 1，則tan _解析：由(sin 3cos )21sin2cos2，得6sin cos 8cos2，又因為為第四象限角，所以cos 0，所以6sin 8cos ，所以tan .答案：10(2020·杭州市富陽二中高三質(zhì)檢)若3sin cos ，則tan 的值為_；的值為_解析：由3sin cos ，得到cos 3sin ，代入sin2cos21得sin2(3sin )21，得10sin26sin 90，即(sin 3)20，解得sin ，cos ，則tan 3；.答案：311已知2，cos(7)，求sin(3)·tan的值解：因為cos(7)cos(7)cos()cos ，所以cos .所以sin(3)·tansin()·sin ·tansin ·sin ·cos .12已知為第三象限角，f().(1)化簡f()；(2)若cos()，求f()的值解：(1)f()cos .(2)因為cos()，所以sin ，從而sin .又為第三象限角，所以cos ，所以f()cos .綜合題組練1(2020·臺州市高三期末評估)已知cos 1，則sin()A. B.C D解析：選C.因為cos 12k，所以sinsinsinsin ，故選C.2(2020·金華十校聯(lián)考)已知sin cos ，且<<，則cos sin 的值為()A B.C D.解析：選B.因為<<，所以cos <0，sin <0且|cos |<|sin |，所以cos sin >0.又(cos sin )212sin cos 12×，所以cos sin .3sin ·cos ·tan的值是_解析：原式sin·cos·tan··××().答案：4若sin 2sin ，tan 3tan ，則cos _解析：因為sin 2sin ，tan 3tan ，tan29tan2.由2÷得：9cos24cos2.由2得sin29cos24.又sin2cos21，所以cos2，所以cos ±.答案：±5已知f(x)(nZ)(1)化簡f(x)的表達式；(2)求ff的值解：(1)當n為偶數(shù)，即n2k(kZ)時，f(x)sin2x(n2k，kZ)；當n為奇數(shù)，即n2k1(kZ)時，f(x)sin2x(n2k1，kZ)綜上得f(x)sin2x.(2)由(1)得ffsin2sin2sin2sin2sin2cos21.14