《2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第三章 空間向量與立體幾何
學(xué)習(xí)目標 1.理解空間向量的概念,掌握空間向量的運算法則及運算律.2.掌握空間向量數(shù)量積的運算及其應(yīng)用,會用數(shù)量積解決垂直問題、夾角問題.3.理解空間向量基本定理,掌握空間向量的坐標表示.4.會用基向量法、坐標法表示空間向量.5.會用向量法解決立體幾何問題.
知識點一 空間中點、線、面位置關(guān)系的向量表示
設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為μ,v,則
線線平行
l∥m?a∥b?a=kb,k∈R
線面平行
l∥α?________?________
面面平行
α∥β?μ∥v?__________
線線垂直
l⊥m?
2、________?________
線面垂直
l⊥α?a∥μ?a=kμ,k∈R
面面垂直
α⊥β?μ⊥v?__________
線線夾角
l,m的夾角為θ(0≤θ≤),cos θ=________________
線面夾角
l,α的夾角為θ(0≤θ≤),sin θ=________________
面面夾角
α,β的夾角為θ(0≤θ≤),cos θ=________________
知識點二 用坐標法解決立體幾何問題
步驟如下:
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系;
(2)寫出相關(guān)點的坐標及向量的坐標;
(3)進行相關(guān)坐標的運算;
(4)寫出幾何意義下的結(jié)論.
3、
關(guān)鍵點如下:
(1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺讼担鴺讼档倪x取很重要,恰當(dāng)?shù)淖鴺讼悼梢允沟命c的坐標、向量的坐標易求且簡單,簡化運算過程.
(2)點的坐標、向量的坐標的確定.將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題,必須確定點的坐標、直線的方向向量、平面的法向量,這是最核心的問題.
(3)幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化.平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計算來解決,如何轉(zhuǎn)化也是這類問題解決的關(guān)鍵.
類型一 空間向量及其運算
例1 如圖,在四棱錐S—ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論:
①+++=0;
②+--=0;
③-+-=0;
④·=·;
4、
⑤·=0.
其中正確結(jié)論的序號是________.
反思與感悟 向量的表示與運算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式,理解向量運算法則、運算律及其幾何意義.
跟蹤訓(xùn)練1 如圖,在平行六面體A1B1C1D1—ABCD中,M分成的比為,N分成的比為2,設(shè)=a,=b,=c,試用a、b、c表示.
類型二 利用空間向量解決位置關(guān)系問題
例2 四棱錐P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點,求證:
(1)PC∥平面EBD;
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思與感悟 (1)證明兩條直線平行,只需證明這兩條直線
5、的方向向量是共線向量.
(2)證明線面平行的方法
①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
②能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線.
③利用共面向量定理,即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量.
(3)證明面面平行的方法
①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理.
②證明這兩個平面的法向量是共線向量.
(4)證明兩條直線垂直,只需證明這兩條直線的方向向量垂直.
(5)證明線面垂直的方法
①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量.
②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直.
(6)證明面面垂直的方法
①轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
②證明兩
6、個平面的法向量互相垂直.
跟蹤訓(xùn)練2 正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點,求證:平面AED⊥平面A1FD1.
類型三 利用空間向量求角
例3 如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點E,F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);
(2)求直線AF與平面α所成角的正弦值.
反思與感悟 用向量法求空間角的注意點
(1)異面直線所成角:兩異面直線所成角范圍為0°<θ≤90°,
7、需找到兩異面直線的方向向量,借助方向向量所成角求解.
(2)直線與平面所成的角:要求直線a與平面α所成的角θ,先求這個平面α的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cos〈n,a〉,再利用公式sin θ=|cos〈n,a〉|,求θ.
(3)二面角:如圖,有兩個平面α與β,分別作這兩個平面的法向量n1與n2,則平面α與β所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補,所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.
跟蹤訓(xùn)練3 如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F(xiàn)分別是線段BE,DC的中點.
(1)求證:GF∥平面ADE;
8、
(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.
1.已知空間四邊形ABCD,G是CD的中點,則+(+)等于( )
A. B. C. D.
2.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,則實數(shù)λ的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.-2
3.已知向量a=(4-2m,m-1,m-1)與b=(4,2-2m,2-2m)平行,則m=________.
4.已知平面α經(jīng)過點O(0,0,0),且e=(1,1,1)是α的一個法向量,M(x,y,z)是平面α內(nèi)任意一點,則x,y,z滿足的關(guān)系式是________.
5.已知空間三
9、點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=,b=.
(1)若|c|=3,且c∥,求向量c;
(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.
解決立體幾何中的問題,可用三種方法:幾何法、基向量法、坐標法.幾何法以邏輯推理作為工具解決問題;基向量法利用向量的概念及其運算解決問題;坐標法利用數(shù)及其運算來解決問題.坐標方法經(jīng)常與向量運算結(jié)合起來使用.
提醒:完成作業(yè) 第三章 章末復(fù)習(xí)課
答案精析
知識梳理
知識點一
a⊥μ a·μ=0 μ=kv,k∈R a⊥b
a·b=0 μ·v=0
題型探究
例1 ③④
解析 容易推出-+-=+=0,
10、所以③正確;又因為底面ABCD是邊長為1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以·=2·2·cos∠ASB,·=2·2·cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是·=·,因此④正確,其余三個都不正確,故正確結(jié)論的序號是③④.
跟蹤訓(xùn)練1 解 連接AN,
則=+,
由已知ABCD是平行四邊形,
故=+=a+b,
又M分成的比為,
故=-=-(a+b).
由已知,N分成的比為2,故
=+=-=-
=(c+2b).
于是=+
=-(a+b)+(c+2b)
=(-a+b+c).
例2 證明 如圖,以D為坐標原點,分別以DC,DA,DP所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角
11、坐標系.
設(shè)DC=a,PD=b,則D(0,0,0),C(a,0,0),B(a,a,0),P(0,0,b),E(0,,).
(1)=(0,,),=(a,a,0).
設(shè)平面EBD的一個法向量為n=(x,y,z),則即
令x=1,得n=(1,-1,),
因為·n=(a,0,-b)·(1,-1,)=0,
所以⊥n,故PC∥平面EBD.
(2)由題意得平面PDC的一個法向量為=(0,a,0),
又=(a,a,-b),=(a,0,-b),
設(shè)平面PBC的一個法向量為m=(x1,y1,z1),
則即
得y1=0,令x1=1,則z1=,
所以m=(1,0,),
因為·m=(0,a
12、,0)·(1,0,)=0,
所以⊥m,即平面PBC⊥平面PCD.
跟蹤訓(xùn)練2 證明 如圖,建立空間直角坐標系Dxyz.
設(shè)正方體棱長為1,則
E,
D1(0,0,1),
A(1,0,0),
F.
∴=(1,0,0)=,=,=.設(shè)m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分別是平面AED和A1FD1的一個法向量,
由得
令y1=1,得m=(0,1,-2).
又由得
令z2=1,得n=(0,2,1).
∵m·n=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,
∴m⊥n,故平面AED⊥平面A1FD1.
例3 解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示,
(2)
13、作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EM=AA1=8.
因為EHGF為正方形,
所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,
所以AH=10.
以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則A(10,0,0),H(10,10,0),
E(10,4,8),F(xiàn)(0,4,8),=(10,0,0),
=(0,-6,8).
設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,
則即
所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cos〈n,〉|==.
所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為.
跟蹤訓(xùn)練3 方法一
(1)證明 如圖,取AE
14、的中點H,連接HG,HD,
又G是BE的中點,
所以GH∥AB,且GH=AB.
又F是CD的中點,
所以DF=CD.
由四邊形ABCD是矩形,
得AB∥CD,AB=CD,
所以GH∥DF,且GH=DF,
從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GF∥DH.
又DH?平面ADE,GF?平面ADE,
所以GF∥平面ADE.
(2)解 如圖,在平面BEC內(nèi),過B點作BQ∥EC.
因為BE⊥CE,所以BQ⊥BE.
又因為AB⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ.
以B為原點,分別以,,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,
則A(0,0,2),B(0
15、,0,0),E(2,0,0),
F(2,2,1).
因為AB⊥平面BEC,所以=(0,0,2)為平面BEC的法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量.
又=(2,0,-2),=(2,2,-1),
由得
取z=2,得n=(2,-1,2).
從而|cos〈n,〉|===,所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為.
方法二 (1)證明 如圖,取AB中點M,連接MG,MF.
又G是BE的中點,可知GM∥AE.
又AE?平面ADE,GM?平面ADE,
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中,由M,F(xiàn)分別是AB,CD的中點得MF∥AD.
又AD?平面ADE,M
16、F?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因為GM∩MF=M,GM?平面GMF,MF?平面GMF,
所以平面GMF∥平面ADE.
因為GF?平面GMF,
所以GF∥平面ADE.
(2)同方法一.
當(dāng)堂訓(xùn)練
1.A 2.D 3.1或3
4.x+y+z=0
5.解 (1)∵c∥,∴存在實數(shù)m,
使得c=m=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m).
∵|c|=3,
∴
=3|m|=3,
∴m=±1.∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1.
又∵|a|==,
|b|==,
∴cos〈a,b〉===-,
即向量a與向量b的夾角的余弦值為-.
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