（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 橢圓 2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1-1

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1、 2.2.2　橢圓的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握橢圓的幾何圖形和簡單幾何性質(zhì)．(重點)　2.感受如何運用方程研究曲線的幾何性質(zhì)(難點)　3.能運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題．(重點、難點) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．橢圓的簡單幾何性質(zhì) 焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 頂點 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a) 軸長 長軸長＝2a，短軸長＝2b 焦點 (±c,0) (0

2、，±c) 焦距 F1F2＝2c 對稱性 對稱軸x軸、y軸，對稱中心(0,0) 離心率 e＝(0＜e＜1) 2.橢圓的離心率 [基礎(chǔ)自測] 1．判斷正誤： (1)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的長軸長等于a.(　　) (2)橢圓上的點到焦點的距離的最小值為a－c.(　　) (3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．(　　) 【解析】　(1)×.橢圓＋＝1(a＞b＞0)的長軸長等于2a. (2)√.橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a＋c，最小值為a－c. (3)√.離心率e＝越小c就越小，這時b就越接近于a，橢圓就越圓． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√ 2．橢圓＋

3、＝1的離心率是________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902089】 【解析】　由方程可知a2＝25，a＝5，c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，∴e＝＝. 【答案】　 [合 作 探 究·攻 重 難] 已知橢圓方程求其幾何性質(zhì) 　已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)． [思路探究]　→→→ 【自主解答】　橢圓方程可化為＋＝1. ∵m－＝>0，∴m>， 即a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝得＝，∴m＝1. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴橢圓的長軸長為2，短軸長

4、為1； 兩焦點分別為F1，F(xiàn)2； 四個頂點分別為A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2. [規(guī)律方法]　用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟 ? ? ? [跟蹤訓(xùn)練] 1．求橢圓9x2＋16y2＝144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號：95902090】 【解】　把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴橢圓的長軸長和短軸長分別是2a＝8和2b＝6，離心率e＝＝， 兩個焦點坐標(biāo)分別是(－，0)，(，0)， 四個頂點坐標(biāo)分別是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3). 由橢圓的幾何性質(zhì)求方程 　(1

5、)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點C在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． (2)若橢圓短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形；且焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． [思路探究]　解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出a2 和b2. 【自主解答】　(1)由e＝＝得＝，又c2＝a2－b2， 所以＝得＝. ① 又點C在橢圓上得＋＝1， ② 由①，②解得a2＝9，b2＝5. 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由已知∴從而b

6、2＝9， ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1. 【答案】　(1)＋＝1　(2)＋＝1或＋＝1. [規(guī)律方法]　 1．利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法． 2．根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)、定參數(shù)”，一般步驟是：(1)求出a2，b2的值；(2)確定焦點所在的坐標(biāo)軸；(3)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程． [跟蹤訓(xùn)練] 2．直線x－2y＋2＝0過橢圓＋＝1的左焦點F1和一個頂點B，則橢圓的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902091】 【解析】　直線x－2y＋2＝0與x軸的交點為(－2,0)，即為橢圓的左焦點，故c＝2. 直線x－2y＋2＝0與y軸的

7、交點為(0,1)，即為橢圓的頂點，故b＝1.故a2＝b2＋c2＝5，橢圓方程為＋y2＝1. 【答案】　＋y2＝1 求橢圓的離心率 　(1)橢圓＋＝1(a>b>0)的半焦距為c，若直線y＝2x與橢圓的一個交點P的橫坐標(biāo)恰為c，則橢圓的離心率為________． (2)已知橢圓上橫坐標(biāo)等于焦點橫坐標(biāo)的點，它到x軸的距離等于短半軸長的，則橢圓的離心率為________． [思路探究]　(1)求出點P的坐標(biāo)，利用點P在橢圓上其坐標(biāo)滿足橢圓的方程構(gòu)建關(guān)于離心率e的方程，解方程可得離心率． (2)在焦點三角形PF1F2中利用橢圓的定義與勾股定理得到a，b的關(guān)系式，可求離心率；或仿照(1)題

8、的做法也可以求解． 【自主解答】　(1)依題意有P(c,2c)，點P在橢圓上，所以有＋＝1， 整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又因為b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0， 即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2(3＋2舍去)，從而e＝－1. (2)方法一：設(shè)焦點坐標(biāo)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M是橢圓上一點，依題意設(shè)M點坐標(biāo)為(c，b)．在Rt△MF1F2中，F(xiàn)1F＋MF＝MF，即4c2＋b2＝MF，而MF1＋MF2＝＋b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab. 又c2＝a2－b2 ∴3b＝2a. ∴＝. ∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝. 法二：

9、設(shè)M，代入橢圓方程，得＋＝1， ∴＝，∴＝，即e＝. 【答案】　(1)－1 　(2) [規(guī)律方法]　求橢圓離心率及范圍的兩種方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. (2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍. [跟蹤訓(xùn)練] 3．橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，過F1作傾斜角為45°的直線與橢圓的一個

10、交點為M，若MF2垂直于x軸，則橢圓的離心率為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902092】 【解析】　因為MF2垂直于x軸， ∠MF1F2＝45°，所以△MF1F2是等腰直角三角形，以MF1為斜邊．設(shè)MF1＝m(m＞0)，則MF2＝F1F2＝m，又因為F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，所以MF1＋MF2＝2a，即2a＝(1＋)m，而2c＝F1F2＝m，所以e＝＝＝＝－1. 【答案】　－1 直線與橢圓的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．已知直線y＝kx＋m和橢圓＋＝1(a>b>0)，如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系？ 【提示】　由得(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－

11、b2)＝0，設(shè)該二次方程的判別式為Δ，若Δ＞0，則直線與橢圓有兩個交點；若Δ＝0，則直線與橢圓有一個交點；若Δ＜0，則直線與橢圓沒有交點． 2．如果直線與橢圓有兩個交點，那么直線與橢圓交點的橫坐標(biāo)與探究1中得到的關(guān)于x的二次方程有什么關(guān)系？ 【提示】　探究1中得到的關(guān)于x的二次方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0的兩個根分別是直線與橢圓交點的橫坐標(biāo)． 3．設(shè)直線與橢圓有兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M，那么如何求線段AB的長和M的坐標(biāo)？ 【提示】　方法一：解方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，可得

12、x1，x2，由y＝kx＋m可得y1，y2，即得A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐標(biāo)，然后利用兩點間距離公式和中點坐標(biāo)公式可求線段AB的長和M的坐標(biāo)． 方法二：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，采取“設(shè)而不求”思路解決問題． 即 AB＝ ＝ ＝ ＝· ＝·， 點M的坐標(biāo)可直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解． 上述兩種方法，第一種方法運算太過繁瑣，一般采用第二種方法求解此類問題． 　如圖2-2-2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦距為2，過右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，當(dāng)l與x軸垂直時，AB長為. 圖2-2-2 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若橢圓上

13、存在一點P，使得＝＋，求直線l的斜率. 【導(dǎo)學(xué)號：95902093】 【自主解答】　(1)由題意可知2c＝2，c＝1，當(dāng)l與x軸垂直時|AB|＝＝，由a2＝b2＋c2，得a＝，b＝，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：＋＝1. (2)設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程：y＝k(x－1)，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)由，可得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為＝＋則，代入橢圓方程＋＝1， 又＋＝1，＋＝1， 化簡得2x1x2＋3y1y2＋3＝0，即(3k2＋2)x1x2－3k2(x1＋x2)＋3k2＋3＝0 將x1＋x2

14、＝，x1x2＝代入得3k2－6－＋3k2＋3＝0， 化簡得k2＝2，k＝±，故直線l的斜率為±. [規(guī)律方法]　橢圓是圓錐曲線中重要的一種曲線，它可以同其它章節(jié)知識結(jié)合考查，如不等式、三角函數(shù)及平面向量，特別是與直線方程，解決這類問題時要注意方程思想、函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想，其中利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程或函數(shù)是常用的技巧. [跟蹤訓(xùn)練] 4．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為2. (1)求該橢圓的方程； (2)若P是該橢圓上的一個動點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，求·的最大值與最小值． 【解】　(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意＝，且a＝

15、2，得c＝，b＝1， ∴所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 則·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋－3＝x2－2， ∵x∈[－2,2]，∴當(dāng)x＝0，即點P為橢圓短軸端點時， ·有最小值－2；當(dāng)x＝±2，即點P為橢圓長軸端點時，·有最大值1. [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902094】 【解析】　由題意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求橢圓方

16、程為＋＝1. 【答案】?。? 2．已知橢圓＋＝1有兩個頂點在直線x＋2y＝2上，則此橢圓的焦點坐標(biāo)是________． 【解析】　∵直線x＋2y＝2過(2,0)和(0,1)點，∴a＝2，b＝1，∴c＝，橢圓焦點坐標(biāo)為(±，0)． 【答案】　(±，0) 3．若橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍．則m的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902095】 【解析】　將原方程變形為x2＋＝1.由題意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1. ∴＝2，∴m＝. 【答案】　 4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰

17、好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________． 【解析】　設(shè)過左焦點F1的正三角形的邊交橢圓于A，則AF1＝c，AF2＝c，有2a＝(1＋)c， ∴e＝＝＝－1. 【答案】?。? 5．當(dāng)m取何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144. (1)無公共點；(2)有且僅有一個公共點；(3)有兩個公共點. 【導(dǎo)學(xué)號：95902096】 【解】　由 消去y得，9x2＋16(x＋m)2＝144， 化簡整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14 400. (1)當(dāng)Δ<0時，得m<－5或m>5，直線l與橢圓無公共點. (2)當(dāng)Δ＝0時，得m＝±5，直線l與橢圓有且僅有一個公共點． (3)當(dāng)Δ>0時，得－5