小升初奧數(shù)專題-第六講圖形面積

第六講圖形面積簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會(huì)計(jì)算面積，首先要能識(shí)別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識(shí)別，而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長(zhǎng)為 4的正方形，它的面積是 44 16（格）；右圖是 35的長(zhǎng)方形，它的面積是 35 15（格）.上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 542 10（格）；右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4428（格）.這里特別說明，這兩個(gè)三角形的高線一樣長(zhǎng)，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5 3 15（格）；右圖是一個(gè)梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是（4+7）4222（格）.上面面積計(jì)算的單位用“格”，一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長(zhǎng)是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長(zhǎng)是1米，1格就是1平方米.也就是說我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位，1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積，省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位.6.1 三角形的面積用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個(gè)三角形來計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是：三角形面積= 底高2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會(huì)靈活運(yùn)用.例1 右圖中BD長(zhǎng)是4，DC長(zhǎng)是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢？解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4高2.三角形 ADC面積=2高2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高.例2 右圖中，BD，DE，EC的長(zhǎng)分別是2，4，2.F是線段AE的中點(diǎn)，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解： BC 2 4 2 8.三角形 ABC面積= 8 4216.我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長(zhǎng)是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 1644.例3 右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個(gè)長(zhǎng)方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE一樣長(zhǎng).而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來，就是FE的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是FEBE2，它恰好是長(zhǎng)方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長(zhǎng)方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，也就是20122120.通過方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個(gè)三角形的高線，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半，而長(zhǎng)方形ABCD是由這若干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長(zhǎng)方形ABCD面積的的一半.例4 右圖中，有四條線段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個(gè)，三角形ABC和三角形ADC.對(duì)三角形ABC來說，AB是底邊，高是10，因此面積=4102 20.對(duì)三角形 ADC來說， DC是底邊，高是 8，因此面積=78228.四邊形 ABCD面積= 20 28 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5 在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF，線段AE3，DF2，求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積三角形 ABE面積=362 9.三角形 BCF面積= 6（6-2）2 12.三角形 DEF面積=2（6-3）2 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出：三角形 BEF面積=66-9-12-312.例6 在右圖中，ABCD是長(zhǎng)方形，三條線段的長(zhǎng)度如圖所示，M是線段DE的中點(diǎn)，求四邊形ABMD（陰影部分）的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們?cè)O(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長(zhǎng)方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形 DCE的面積是 7227.因?yàn)镸是線段DE的中點(diǎn)，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 723.5.因?yàn)?BE 8是 CE 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是3.5414.長(zhǎng)方形 ABCD面積=7（82）=70.四邊形 ABMD面積=70-7- 14 49.6.2 有關(guān)正方形的問題先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長(zhǎng)，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角（90度），還有兩個(gè)角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，如圖（a）.四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖（b）.一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng)，從圖（a）知，它的面積是直角邊長(zhǎng)的平方2.當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng)，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方4例7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8.后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)，恰好是前一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半，求這個(gè)圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是88232.這一個(gè)圖形的面積是3216 8 4 21 63.例8 如右圖，兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起，小長(zhǎng)形的寬是2，A點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？解：為了說明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D，E，F(xiàn)，G.三角形ABC的面積=2222.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長(zhǎng)，因此三角形 ADE面積=ABC面積24.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形EFG面積=ABC面積21.陰影部分的總面積是 415.例9 如右圖，已知一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長(zhǎng)度AD7，BC3，三個(gè)角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45.求這個(gè)四邊形的面積.解：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE，切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE.因?yàn)锳是45，角D是90，角E是180-45-90 45，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即772-33220.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做，角 A是 45，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個(gè)三角形相等，是不能靠眼睛來測(cè)定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何，千萬不要隨便對(duì)圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10 在右圖 1115的長(zhǎng)方形內(nèi)，有四對(duì)正方形（標(biāo)號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì)），每一對(duì)是相同的正方形，那么中間這個(gè)小正方形（陰影部分）面積是多少？解：長(zhǎng)方形的寬，是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，是“一”、“三”與“二”三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和.長(zhǎng)-寬 =15-114是“三”正方形的邊長(zhǎng).寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和，因此中間小正方形邊長(zhǎng)=11-423.中間小正方形面積=33 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長(zhǎng)方形土地（見圖），剩下的長(zhǎng)方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長(zhǎng)方形土地的面積.解：剩下的長(zhǎng)方形土地，我們已知道長(zhǎng)-寬=1（米）.還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢？如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.我們把長(zhǎng)和寬拼在一起，如右圖.從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形，如下圖就拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：15.754+11 64（平方米）.64是88，大正方形邊長(zhǎng)是 8米，也就是說長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+寬=8（米）.因此長(zhǎng)=（81）2 4.5（米）.寬=8-4.53.5（米）.那么劃出的長(zhǎng)方形面積是4.514. 5（平方米）.例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長(zhǎng)是6，求三角形AEG（陰影部分）的面積.解：四邊形AECD是一個(gè)梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四邊形AECD面積=（小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)）大正方形邊長(zhǎng)2三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長(zhǎng)DG=（小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)），因此三角形ADG面積=（小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)）大正方形邊長(zhǎng)2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有陰影部分面積=三角形ECG面積=小正方形面積的一半= 66218.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān)，而與大正方形邊長(zhǎng)卻沒有關(guān)系.6.3 其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì).例13 畫在方格紙上的一個(gè)用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積.解：直接計(jì)算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計(jì)算.周圍小正方形有3個(gè)，面積為1的三角形有5個(gè)，面積為1.5的三角形有1個(gè)，因此圍成面積是44-3-5-1.56.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14 下圖中 ABCD是 68的長(zhǎng)方形，AF長(zhǎng)是4，求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長(zhǎng)，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB，底邊AB，就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬，即BC的長(zhǎng)，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的，很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積（三角形 AEB面積）-（三角形 AFB面積）862-482 8.這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.例15 下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長(zhǎng)方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長(zhǎng)方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 102的長(zhǎng)方形面積相等.可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成 102的長(zhǎng)方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此草地面積=（16-2）（10-2） 112.例16 右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長(zhǎng)減去3，高就是DC的長(zhǎng).因此陰影部分面積等于梯形 ABCD面積=（88-3）52 32.5.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對(duì)圖形的觀察能力.例17 下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求這個(gè)圖形的面積.解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=（333）4218.三角形CDE面積=（44） 3212.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分-四邊形BCEG，只要減去這個(gè)重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)?AF FE EC3，所以 AGF， FGE， EGC是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)镃BBD4，所以CGB，BGD是兩個(gè)面積相等的三角形.2三角形DEC面積= 22（三角形 GBC面積）2（三角形 GCE面積）.三角形ABC面積= （三角形 GBC面積）3（三角形GCE面積）.四邊形BCEG面積=（三角形GBC面積）（三角形GCE面積）=（21218）58.4.所求圖形面積=12 18- 8.421.6.例18 如下頁左圖，ABCG是47長(zhǎng)方形，DEFG是 210長(zhǎng)方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個(gè)長(zhǎng)方形的和.（三角形BCM面積）-（三角形DEM面積）=（梯形ABEF面積）-（兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和=（710）（42）2-（47 210）=3.例19 上右圖中，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少？解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長(zhǎng)方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此（三角形 ABC面積）+（三角形CDE面積）（134935）（長(zhǎng)方形面積）（陰影部分面積）.三角形ABC，底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬；三角形CDE，底是長(zhǎng)方形的寬，高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng).因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長(zhǎng)方形面積的一半，就有陰影部分面積=13 49 35 97.6.4 幾種常見模型一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、鳥頭定理兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 (或在的延長(zhǎng)線上，在上)，則 圖 圖三、蝶形定理任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝶形定理”)：或者蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系(“梯形蝶形定理”)：；的對(duì)應(yīng)份數(shù)為四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、共邊定理（燕尾模型和風(fēng)箏模型）在三角形中，相交于同一點(diǎn)，那么上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶?，所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.