小升初奧數(shù)專題-第六講圖形面積
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第六講圖形面積簡單的面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容.要會計算面積,首先要能識別一些特別的圖形:正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等,然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上,不但容易識別,而且容易計算.上面左圖是邊長為 4的正方形,它的面積是 44 16(格);右圖是 35的長方形,它的面積是 35 15(格).上面左圖是一個銳角三角形,它的底是5,高是4,面積是 542 10(格);右圖是一個鈍角三角形,底是4,高也是4,它的面積是4428(格).這里特別說明,這兩個三角形的高線一樣長,鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個平行四邊形,底是5,高是3,它的面積是 5 3 15(格);右圖是一個梯形,上底是 4,下底是7,高是4,它的面積是(4+7)4222(格).上面面積計算的單位用“格”,一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米,1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長是1米,1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個方格的邊長是1個長度單位,1格就是一個面積單位.在這一講中,我們直接用數(shù)表示長度或面積,省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位.6.1 三角形的面積用直線組成的圖形,都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是:三角形面積= 底高2.這個公式是許多面積計算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式,而且要會靈活運用.例1 右圖中BD長是4,DC長是2,那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?解:三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4高2.三角形 ADC面積=2高2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意:三角形的任意一邊都可以看作是底,這條邊上的高就是三角形的高,所以每個三角形都可看成有三個底,和相應(yīng)的三條高.例2 右圖中,BD,DE,EC的長分別是2,4,2.F是線段AE的中點,三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解: BC 2 4 2 8.三角形 ABC面積= 8 4216.我們把A和D連成線段,組成三角形ADE,它與三角形ABC的高相同,而DE長是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理,EF是AE的一半,三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 1644.例3 右圖中長方形的長是20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積.解:ABEF也是一個長方形,它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.而三個三角形底邊的長加起來,就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是FEBE2,它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理,F(xiàn)ECD也是長方形,它內(nèi)部三個三角形(陰影部分)面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半,也就是20122120.通過方格紙,我們還可以從另一個途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個三角形的高線,把每個三角形分成兩個直角三角形后,圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半,而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形(陰影部分)的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.例4 右圖中,有四條線段的長度已經(jīng)知道,還有兩個角是直角,那么四邊形ABCD(陰影部分)的面積是多少?解:把A和C連成線段,四邊形ABCD就分成了兩個,三角形ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說,AB是底邊,高是10,因此面積=4102 20.對三角形 ADC來說, DC是底邊,高是 8,因此面積=78228.四邊形 ABCD面積= 20 28 48.這一例題再一次告訴我們,鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5 在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF,線段AE3,DF2,求三角形BEF的面積.解:要直接求出三角形BEF的面積是困難的,但容易求出下面列的三個直角三角形的面積三角形 ABE面積=362 9.三角形 BCF面積= 6(6-2)2 12.三角形 DEF面積=2(6-3)2 3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出:三角形 BEF面積=66-9-12-312.例6 在右圖中,ABCD是長方形,三條線段的長度如圖所示,M是線段DE的中點,求四邊形ABMD(陰影部分)的面積.解:四邊形ABMD中,已知的太少,直接求它面積是不可能的,我們設(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積,然后用長方形ABCD的面積減去它們,由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來,將三角形DCE分成兩個三角形.三角形 DCE的面積是 7227.因為M是線段DE的中點,三角形DMC與三角形MCE面積相等,所以三角形MCE面積是 723.5.因為 BE 8是 CE 2的 4倍,三角形 MBE與三角形MCE高一樣,因此三角形MBE面積是3.5414.長方形 ABCD面積=7(82)=70.四邊形 ABMD面積=70-7- 14 49.6.2 有關(guān)正方形的問題先從等腰直角三角形講起.一個直角三角形,它的兩條直角邊一樣長,這樣的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一個直角(90度),還有兩個角都是45度,通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角三角形.兩個一樣的等腰直角三角形,可以拼成一個正方形,如圖(a).四個一樣的等腰直角三角形,也可以拼成一個正方形,如圖(b).一個等腰直角三角形,當(dāng)知道它的直角邊長,從圖(a)知,它的面積是直角邊長的平方2.當(dāng)知道它的斜邊長,從圖(b)知,它的面積是斜邊的平方4例7 右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形的直角邊長,恰好是前一個斜邊長的一半,求這個圖形的面積.解:從前面的圖形上可以知道,前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形,等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半,第一個等腰直角三角形的面積是88232.這一個圖形的面積是3216 8 4 21 63.例8 如右圖,兩個長方形疊放在一起,小長形的寬是2,A點是大長方形一邊的中點,并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么圖中陰影部分的總面積是多少?解:為了說明的方便,在圖上標(biāo)上英文字母 D,E,F(xiàn),G.三角形ABC的面積=2222.三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊,與三角形ADE的直角邊一樣長,因此三角形 ADE面積=ABC面積24.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積21.陰影部分的總面積是 415.例9 如右圖,已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD7,BC3,三個角的度數(shù):角 B和D是直角,角A是45.求這個四邊形的面積.解:這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE,切掉一個等腰直角三角形BCE.因為A是45,角D是90,角E是180-45-90 45,所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積,是這兩個等腰直角三角形面積之差,即772-33220.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué),用直線AC把圖形分成兩個直角三角形,并認(rèn)為這兩個直角三角形是一樣的,這就大錯特錯了.這樣做,角 A是 45,這一條件還用得上嗎?圖形上線段相等,兩個三角形相等,是不能靠眼睛來測定的,必須從幾何學(xué)上找出根據(jù),小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何,千萬不要隨便對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45和直角,你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10 在右圖 1115的長方形內(nèi),有四對正方形(標(biāo)號相同的兩個正方形為一對),每一對是相同的正方形,那么中間這個小正方形(陰影部分)面積是多少?解:長方形的寬,是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和,長方形的長,是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和.長-寬 =15-114是“三”正方形的邊長.寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和,因此中間小正方形邊長=11-423.中間小正方形面積=33 9.如果把這一圖形,畫在方格紙上,就一目了然了.例11 從一塊正方形土地中,劃出一塊寬為1米的長方形土地(見圖),剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.解:剩下的長方形土地,我們已知道長-寬=1(米).還知道它的面積是15.75平方米,那么能否從這一面積求出長與寬之和呢?如果能求出,那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.我們把長和寬拼在一起,如右圖.從這個圖形還不能算出長與寬之和,但是再拼上同樣的兩個正方形,如下圖就拼成一個大正方形,這個正方形的邊長,恰好是長方形的長與寬之和.可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形,仔細(xì)觀察一下,就會發(fā)現(xiàn),它的邊長,恰好是長方形的長與寬之差,等于1米.現(xiàn)在,我們就可以算出大正方形面積:15.754+11 64(平方米).64是88,大正方形邊長是 8米,也就是說長方形的長+寬=8(米).因此長=(81)2 4.5(米).寬=8-4.53.5(米).那么劃出的長方形面積是4.514. 5(平方米).例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6,求三角形AEG(陰影部分)的面積.解:四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此四邊形AECD面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)大正方形邊長2三角形ADG是直角三角形,它的一條直角邊長DG=(小正方形邊長+大正方形邊長),因此三角形ADG面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)大正方形邊長2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有,因此,三角形AEH與三角形HCG面積相等,都加上三角形EHG面積后,就有陰影部分面積=三角形ECG面積=小正方形面積的一半= 66218.十分有趣的是,影陰部分面積,只與小正方形邊長有關(guān),而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系.6.3 其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難,但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少,請讀者仔細(xì)體會.例13 畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形(如右圖),求它的面積.解:直接計算粗線圍成的面積是困難的,我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算.周圍小正方形有3個,面積為1的三角形有5個,面積為1.5的三角形有1個,因此圍成面積是44-3-5-1.56.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14 下圖中 ABCD是 68的長方形,AF長是4,求陰影部分三角形AEF的面積.解:三角形AEF中,我們知道一邊AF,但是不知道它的高多長,直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB,底邊AB,就是長方形的長,高是長方形的寬,即BC的長,面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半,而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形,它的兩條直角邊的長是知道的,很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積(三角形 AEB面積)-(三角形 AFB面積)862-482 8.這一例題告訴我們,有時我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形,當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出,從而間接地解決了問題.前面例9的解法,也是這種思路.例15 下左圖是一塊長方形草地,長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路,一條是長方形,一條是平行四邊形,那么有草部分的面積(陰影部分)有多大?解:我們首先要弄清楚,平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底高.從圖上可以看出,底是2,高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 102的長方形面積相等.可以設(shè)想,把這個平行四邊形換成 102的長方形,再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁右圖),草地部分面積(陰影部分)還是與原來一樣大小,因此草地面積=(16-2)(10-2) 112.例16 右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起,求陰影部分的面積.解:實際上,陰影部分是一個梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出, ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC,是直角邊AD的長減去3,高就是DC的長.因此陰影部分面積等于梯形 ABCD面積=(88-3)52 32.5.上面兩個例子都啟發(fā)我們,如何把不容易算的面積,換成容易算的面積,數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng),首先要提高對圖形的觀察能力.例17 下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF,F(xiàn)E,EC都等于3, CB, BD都等于 4.求這個圖形的面積.解:兩個直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=(333)4218.三角形CDE面積=(44) 3212.這兩個直角三角形有一個重疊部分-四邊形BCEG,只要減去這個重疊部分,所求圖形的面積立即可以得出.因為 AF FE EC3,所以 AGF, FGE, EGC是三個面積相等的三角形.因為CBBD4,所以CGB,BGD是兩個面積相等的三角形.2三角形DEC面積= 22(三角形 GBC面積)2(三角形 GCE面積).三角形ABC面積= (三角形 GBC面積)3(三角形GCE面積).四邊形BCEG面積=(三角形GBC面積)(三角形GCE面積)=(21218)58.4.所求圖形面積=12 18- 8.421.6.例18 如下頁左圖,ABCG是47長方形,DEFG是 210長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解:三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長方形的和.(三角形BCM面積)-(三角形DEM面積)=(梯形ABEF面積)-(兩個長方形面積之和=(710)(42)2-(47 210)=3.例19 上右圖中,在長方形內(nèi)畫了一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.那么圖中陰影部分的面積是多少?解:所求的影陰部分,恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分,而面積為13,49,35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分,因此(三角形 ABC面積)+(三角形CDE面積)(134935)(長方形面積)(陰影部分面積).三角形ABC,底是長方形的長,高是長方形的寬;三角形CDE,底是長方形的寬,高是長方形的長.因此,三角形ABC面積,與三角形CDE面積,都是長方形面積的一半,就有陰影部分面積=13 49 35 97.6.4 幾種常見模型一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等;兩個三角形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等,面積比等于它們的高之比;如右圖夾在一組平行線之間的等積變形,如右圖;反之,如果,則可知直線平行于等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形);三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半;兩個平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個平行四邊形底相等,面積比等于它們的高之比二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ),這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖在中,分別是上的點如圖 (或在的延長線上,在上),則 圖 圖三、蝶形定理任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝶形定理”):或者蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另一方面,也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系(“梯形蝶形定理”):;的對應(yīng)份數(shù)為四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ;所謂的相似三角形,就是形狀相同,大小不同的三角形(只要其形狀不改變,不論大小怎樣改變它們都相似),與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下:相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例,并且這個比例等于它們的相似比;相似三角形的面積比等于它們相似比的平方;連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理:三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半相似三角形模型,給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里,出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、共邊定理(燕尾模型和風(fēng)箏模型)在三角形中,相交于同一點,那么上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段,因為和的形狀很象燕子的尾巴,所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一個三角形之中,為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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