（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 6 第6講 離散型隨機變量及其分布列教學(xué)案

第6講離散型隨機變量及其分布列1隨機變量的有關(guān)概念(1)隨機變量：隨著試驗結(jié)果的變化而變化的變量，常用字母X，Y，表示(2)離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量2離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)(1)概念：一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，則下表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時為了表達(dá)簡單，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示X的分布列(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)pi0(i1，2，n)；pi13兩點分布若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為X01P1pp其中pP(X1)稱為成功概率.疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映射為實數(shù)()(2)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量()(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的()(4)離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和()(5)由下表給出的隨機變量X的分布列服從兩點分布()X25P0.30.7答案：(1)(2)(3)(4)(5)×教材衍化1(選修2­3P77A組T1改編)設(shè)隨機變量X的分布列如下：X12345Pp則p_解析：由分布列的性質(zhì)知，p1，所以p1.答案：2(選修2­3P49A組T1改編)有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是_解析：因為次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0，1，2，3.答案：0，1，2，33(選修2­3P49A組T5改編)設(shè)隨機變量X的分布列為X1234Pm則P(|X3|1)_解析：由m1，解得m，P(|X3|1)P(X2)P(X4).答案：易錯糾偏隨機變量的概念不清.袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是()A至少取到1個白球B至多取到1個白球C取到白球的個數(shù) D取到的球的個數(shù)解析：選C.A，B兩項表述的都是隨機事件，D項是確定的值2，并不隨機；C項是隨機變量，可能取值為0，1，2.故選C.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) 設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列【解】由分布列的性質(zhì)知：0.20.10.10.3m1，解得m0.3.(1)2X1的分布列為2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列為|X1|0123P0.10.30.30.3 (變問法)在本例條件下，求P(1<X4)解：由本例知，m0.3，P(1<X4)P(X2)(X3)P(X4)010.30.30.7.離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負(fù)值；(2)若X為隨機變量，則2X1仍然為隨機變量，求其分布列時可先求出相應(yīng)的隨機變量的值，再根據(jù)對應(yīng)的概率寫出分布列 1設(shè)隨機變量X等可能地取1，2，3，n，若P(X4)0.3，則n的值為()A3B4C10 D不確定解析：選C.“X4”的含義為X1，2，3，所以P(X4)0.3，所以n10.2隨機變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_，公差d的取值范圍是_解析：因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2bac.又abc1，所以b，所以P(|X|1)ac.又ad，cd，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0d，0d，所以d.答案：離散型隨機變量的分布列(高頻考點)離散型隨機變量的分布列是高考命題的熱點，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題主要命題角度有：(1)用頻率代替概率的離散型隨機變量的分布列；(2)古典概型的離散型隨機變量的分布列；(3)與獨立事件(或獨立重復(fù)試驗)有關(guān)的分布列的求法(下一講內(nèi)容)角度一用頻率代替概率的離散型隨機變量的分布列 某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列【解】(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為1件).(2)由題意知，X的可能取值為2，3.P(X2)P(當(dāng)天商品銷售量為1件)；P(X3)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為2件)P(當(dāng)天商品銷售量為3件).所以X的分布列為X23P角度二古典概型的離散型隨機變量的分布列 (2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)一個盒子里裝有大小均勻的6個小球，其中有紅色球4個，編號分別為1，2，3，4；白色球2個，編號分別為4，5，從盒子中任取3個小球(假設(shè)取到任何一個小球的可能性相同)(1)求取出的3個小球中，含有編號為4的小球的概率；(2)在取出的3個小球中，小球編號的最大值設(shè)為X，求隨機變量X的分布列【解】(1)“設(shè)取出的3個小球中，含有編號為4的小球”為事件A，P(A)，所以取出的3個小球中，含有編號為4的小球的概率為.(2)X的可能取值為3，4，5.P(X3)；P(X4)；P(X5)，所以隨機變量X的分布列為X345P離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義 (2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列(4)做檢驗：利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確提醒求隨機變量某一范圍內(nèi)取值的概率，要注意它在這個范圍內(nèi)的概率等于這個范圍內(nèi)各概率值的和某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友(n>8且nN*)，其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”(1)若隨機選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于，求n的最大值；(2)當(dāng)n12時，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X，求X的分布列解：(1)由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為，則，化簡得n225n1440，解得9n16，故n的最大值為16.(2)由題意得，X的可能取值為0，1，2，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列為X012P基礎(chǔ)題組練1設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X0)等于()A0B.C. D.解析：選C.設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X0”表示試驗失敗，“X1”表示試驗成功由p2p1，得p，故應(yīng)選C.2設(shè)隨機變量Y的分布列為Y123Pm則“Y”的概率為()A. B.C. D.解析：選C.依題意知，m1，則m.故PP(Y2)P(Y3).3設(shè)隨機變量X的概率分布列如下表所示：X012Pa若F(x)P(Xx)，則當(dāng)x的取值范圍是1，2)時，F(xiàn)(x)等于()A. B.C. D.解析：選D.由分布列的性質(zhì)，得a1，所以a.而x1，2)，所以F(x)P(Xx).4已知離散型隨機變量X的分布列為X012P0.512qq則P(Z)()A0.9B0.8C0.7 D0.6解析：選A.由分布列性質(zhì)得0.512qq1，解得q0.3，所以P(Z)P(X0)P(X1)0.512×0.30.9，故選A.5拋擲2顆骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X4)_解析：拋擲2顆骰子有36個基本事件，其中X2對應(yīng)(1，1)；X3對應(yīng)(1，2)，(2，1)；X4對應(yīng)(1，3)，(2，2)，(3，1)所以P(X4)P(X2)P(X3)P(X4).答案：6已知隨機變量只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是_解析：設(shè)取x1，x2，x3時的概率分別為ad，a，ad，則(ad)a(ad)1，所以a，由得d.答案：7若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2c38c則常數(shù)c_，P(X1)_解析：由分布列的性質(zhì)知，解得c，故P(X1)38×.答案：8在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為_解析：X的所有可能值為0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列為X012P答案：X012P9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次(1)寫出正面向上次數(shù)X的分布列；(2)求至少出現(xiàn)兩次正面向上的概率解：(1)X的可能取值為0，1，2，3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的分布列為X0123P(2)至少出現(xiàn)兩次正面向上的概率為P(X2)P(X2)P(X3).10(2020·臺州高三質(zhì)檢)在一次購物活動中，假設(shè)每10張券中有一等獎券1張，可獲得價值50元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲得價值10元的獎品；其余6張沒有獎某顧客從這10張券中任取2張(1)求該顧客中獎的概率；(2)求該顧客獲得的獎品總價值X(元)的分布列解：(1)該顧客中獎的概率P11.(2)X的所有可能取值為0，10，20，50，60，且P(X0)，P(X10)，P(X20)，P(X50)，P(X60).故X的分布列為X010205060P綜合題組練1(2020·浙江高中學(xué)科基礎(chǔ)測試)一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球，其中5個紅球編號分別為1，2，3，4，5；4個白球編號分別為1，2，3，4，從袋中任意取出3個球(1)求取出的3個球編號都不相同的概率；(2)記X為取出的3個球中編號的最小值，求X的分布列解：(1)設(shè)“取出的3個球編號都不相同”為事件A，“取出的3個球中恰有兩個球編號相同”為事件B，則P(B)，所以P(A)1P(B).(2)X的取值為1，2，3，4，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列為X1234P2.小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團還是參加學(xué)校排球隊游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)，這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X0就參加學(xué)校合唱團，否則就參加學(xué)校排球隊(1)求小波參加學(xué)校合唱團的概率；(2)求X的分布列解：(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C28(種)，當(dāng)X0時，兩向量夾角為直角，共有8種情形，所以小波參加學(xué)校合唱團的概率為P(X0).(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為2，1，0，1，X2時，有2種情形；X1時，有8種情形；X1時，有10種情形所以X的分布列為X2101P3.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球為止，每個球在每一次被取出的機會是相等的，用X表示終止時所需要的取球次數(shù)(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求隨機變量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率解：(1)設(shè)袋中原有n個白球，由題意知，所以n(n1)6，解得n3或n2(舍去)即袋中原有3個白球(2)由題意知X的可能取值為1，2，3，4，5.P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).所以取球次數(shù)X的分布列為X12345P(3)因為甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球設(shè)“甲取到白球”的事件為A，則P(A)P(X1或X3或X5)因為事件“X1”“X3”“X5”兩兩互斥，所以P(A)P(X1)P(X3)P(X5).12