2022屆高考數(shù)學一輪復習 第4單元 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入測評 理

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1、2022屆高考數(shù)學一輪復習 第4單元 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入測評 理 題組一　真題集訓 1.[2016·全國卷Ⅲ] 已知向量=,,=,,則∠ABC= (　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 2.[2016·全國卷Ⅱ] 已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m= (　　) A.-8 B.-6 C.6 D.8 3.[2016·全國卷Ⅰ] 設(shè)(1+i)x=1+yi,其中x,y是實數(shù),則|x+yi|= (　　) A.1 B. C. D.2 4.[2016·全國卷Ⅱ] 已知z=(m+3)+(m-1)i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實

2、數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3) 5.[2016·北京卷] 設(shè)a,b是向量,則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 (　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 6.[2017·全國卷Ⅱ] 設(shè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則 (　　) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 7.[2017·全國卷Ⅰ] 設(shè)有下面四個命題 p1:若復數(shù)z滿足∈R,則z∈R; p2:若復數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R; p

3、3:若復數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R,則z1=; p4:若復數(shù)z∈R,則∈R. 其中的真命題為 (　　) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 8.[2017·浙江卷] 如圖X7-1所示,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O,記I1=·,I2=·,I3=·,則 (　　) 圖X7-1 A.I1

4、　.? 10.[2017·全國卷Ⅰ] 已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=　　　　.? 11.[2015·全國卷Ⅱ] 設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實數(shù)λ=　　　　.? 12.[2017·浙江卷] 已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=　　　　,ab=　　　　.? 題組二　模擬強化 13.[2017·鄭州質(zhì)檢] 已知四邊形ABCD中,G為CD的中點,則+(+)= (　　) A. B. C. D. 14.已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量e= (　　) A. B.

5、 C. D. 15.[2017·上饒重點中學聯(lián)考] 設(shè)復數(shù)z滿足z2=3-4i,則|z|= (　　) A. B.5 C. D.1 16.[2017·柳州模擬] 已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),則實數(shù)k的值為 (　　) A.- B. C.-3 D.3 17.[2017·寧夏石嘴山三模] 設(shè)i為虛數(shù)單位,若z=(a∈R)是純虛數(shù),則a= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 18.[2017·武漢調(diào)研] 在平面直角坐標系中,點M(,),P是以原點O為圓心的單位圓上的動點,則|+|的最大值為 (　　) A.1 B.2 C.3 D.

6、4 19.[2017·池州聯(lián)考] 設(shè)i是虛數(shù)單位,是復數(shù)z的共軛復數(shù),若z·=2(+i),則z= (　　) A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i 20.[2017·北京西城區(qū)二模] 設(shè)a,b是平面上的兩個單位向量,a·b=,若m∈R,則|a+mb|的最小值為 (　　) A. B. C. D. 21.[2017·湖州、衢州、麗水三市聯(lián)考] 已知O是△ABC的外心,∠C=45°,=m+n(m,n∈R),則m+n的取值范圍是 (　　) A. B.[-,1) C. D. 22.[2017·黃山二模] 已知復數(shù)z=(a+i)(-3+ai)(a∈R),若z<0,則a=　　

7、　　.? 23.[2017·常德一模] 已知單位向量a,b滿足|a+3b|=,則a與b的夾角為　　　　.? 24.[2017·渭南質(zhì)檢] 已知向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,c=a+b,則a在向量c方向上的投影為　　　　.? 25.[2017·長郡中學模擬] 已知△ABC中,BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,若P是BC邊上的動點,則·的取值范圍為　　　　.? 小題必刷卷(七) 1.A　[解析] cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°. 2.D　[解析] a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b

8、=12-2(m-2)=0,解得m=8. 3.B　[解析] 由已知得x+xi=1+yi,根據(jù)兩復數(shù)相等的條件可得x=y=1,所以|x+yi|=|1+i|=. 4.A　[解析] 由題易知m+3>0,m-1<0,解得-3

9、[解析] 將|a+b|=|a-b|兩邊平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,于是有a·b=0,所以a⊥b. 7.B　[解析] 設(shè)z=a+bi(a,b∈R).=,若∈R,則b=0,此時z∈R,故命題p1為真命題;若z∈R,則b=0,此時=a-bi∈R,命題p4為真命題;z2=a2-b2+2abi,z2∈R時,a=0或b=0,此時z為實數(shù)或純虛數(shù),命題p2為假命題.設(shè)z1=i,z2=4i,則z1z2∈R,但z1≠,命題p3為假命題.故選B. 8.C　[解析] 顯然∠BOC為銳角,所以I1=·<0,I2=·>0,I3=·<0,如圖所示,過點B作BM⊥AC于M,過點A作AN⊥BD于N

10、.三角形ABD與三角形ABC均為等腰三角形,所以BN=ND,AM=MC,所以<,<,∠AOB=∠COD>,所以I1>I3.所以I3

11、充要條件,得解得ab=2,a2=4,b2=1,因此a2+b2=5. 13.A　[解析] +(+)=+=,故選A. 14.B　[解析] 由題得=(3,-4),所以=5,所以與同方向的單位向量e==,-,故選B. 15.A　[解析] ==|3-4i|==5,所以=,故選A. 16.A　[解析] ∵(ka+b)∥(a-3b),∴10(2k+2)=-4(k-3),∴k=-,故選A. 17.C　[解析] z===-i,因為z是純虛數(shù),所以故a=1. 18.C　[解析] ∵|+|≤||+||,當且僅當與方向相同時取等號,∴|+|的最大值為||+||=2+1=3,故選C. 19.C　[解析]

12、設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由z·=2(+i)得(a+bi)(a-bi)=2(a-bi+i),解得a=b=1,所以z=1+i.故選C. 20.C　[解析] ∵a·b=,∴|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=m2+m+1=m+2+,則|a+mb|的最小值為,故選C. 21.B　[解析] 由題意可得∠AOB=90°,以O(shè)A,OB所在直線分別為x軸,y軸建立直角坐標系,如圖所示,設(shè)A(1,0),B(0,1),則點C在優(yōu)弧AB上.設(shè)C(cos α,sin α),則α∈,2π,顯然=cos α+sin α,則m=cos α,n=sin α,則m+n=cos α+sin α=sinα+.由于

13、α∈,2π,所以α+∈,,所以sinα+∈-1,,所以m+n∈[-,1),故選B. 22.　[解析] ∵z<0,∴z∈R,又∵z=(a+i)(-3+ai)=-4a+(a2-3)i,∴a2-3=0,解得a=±.當a=-時,z>0,不符合題意,∴a=. 23.　[解析] 由|a+3b|=,得|a+3b|2=a2+6a·b+9b2=13.因為a,b是單位向量,所以6a·b=3?a·b=,所以cos==,又因為∈[0,π],所以=. 24.　[解析] 向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,則a·b=-2+2m=0,解得m=1,則c=a+b=(1,3),所以a在向量c方向上的投影為==. 25.[2,6]　[解析] 建立平面直角坐標系,如圖所示.由BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,得A(0,0),B(2,0),C(0,2),E(,1).設(shè)P(x,y),則·= x+y,又直線BC的方程為y=-x+2,所以·= x+y=x+2,又0≤x≤2,所以·的取值范圍為[2,6].