（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數(shù)學 4.1.3 球坐標系與柱坐標系學案 蘇教版選修4-4

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1、 4.1.3　球坐標系與柱坐標系 1．球坐標系、柱坐標系的理解． 2．球坐標、柱坐標與直角坐標的互化． [基礎(chǔ)·初探] 1．球坐標系與球坐標 (1)在空間任取一點O作為極點，從O點引兩條互相垂直的射線Ox和Oz作為極軸，再規(guī)定一個長度單位和射線Ox繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所成的角的正方向，這樣就建立了一個球坐標系． 圖4-1-5 (2)設(shè)P是空間一點，用r表示OP的長度，θ表示以O(shè)z為始邊，OP為終邊的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，則有序數(shù)組(r，θ，φ)就叫做點P的球坐標，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 2．直角坐標與球坐標間的關(guān)系 圖4-1-

2、6 若空間直角坐標系的原點O，Ox軸及Oz軸，分別與球坐標系的極點、Ox軸及Oz軸重合，就可以得到空間中同一點P的直角坐標(x，y，z)與球坐標(r，θ，φ)之間的關(guān)系，如圖4-1-6所示． x2＋y2＋z2＝r2， x＝rsin_θcos_φ， y＝rsin_θsin_φ， z＝rcos_θ. 3．柱坐標系 建立了空間直角坐標系O-xyz后，設(shè)P為空間中任意一點，它在xOy平面上的射影為Q，用極坐標(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示點Q在平面xOy上的極坐標，這時點P的位置可以用有序數(shù)組(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標系叫柱坐標系，有序數(shù)組(ρ，θ，z

3、)叫做點P的柱坐標，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R. 圖4-1-7 4．直角坐標與柱坐標之間的關(guān)系 [思考·探究] 1．空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系有何聯(lián)系和區(qū)別？ 【提示】　柱坐標系和球坐標系都是以空間直角坐標系為背景，柱坐標系中一點在平面xOy內(nèi)的坐標是極坐標，豎坐標和空間直角坐標系的豎坐標相同；球坐標系中，則以一點到原點的距離和兩個角(高低角、極角)刻畫點的位置．空間直角坐標系和柱坐標系、球坐標系都是空間坐標系，空間點的坐標都是由三個數(shù)值的有序數(shù)組組成． 2．在空間的柱坐標系中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數(shù))，θ＝θ0，z＝z0分別

4、表示什么圖形？ 【提示】　在極坐標中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等于0的常數(shù))表示圓心在極點，半徑為ρ0的圓，方程θ＝θ0(θ0為常數(shù))表示與極軸成θ0角的射線．而在空間的柱坐標系中，方程ρ＝ρ0表示中心軸為z軸，底半徑為ρ0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動而成的．方程θ＝θ0表示與zOx坐標面成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐標面的平面，如圖所示． 常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標系的三族坐標面． [質(zhì)疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________

5、________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 將點的柱坐標或球坐標化為直角坐標 　(1)已知點M的球坐標為，則點M的直角坐標為________． (2)設(shè)點M的柱坐標為，則點M的直角坐標為________． 【自主解答】　(1)設(shè)M(x，y，

6、z)， 則x＝2sin ·cos ＝－1， y＝2×sin ×sin ＝1， z＝2×cos ＝－. 即M點坐標為(－1,1，－)． (2)設(shè)M(x，y，z)， 則x＝2×cos ＝， y＝2×sin ＝1，z＝7. 即M點坐標為(，1,7)． 【答案】　(1)(－1,1，－)　(2)(，1,7) [再練一題] 1．(1)已知點P的柱坐標為，則它的直角坐標為________． (2)已知點P的球坐標為，則它的直角坐標為________． 【解析】　(1)由變換公式得： x＝4cos ＝2， y＝4sin ＝2，z＝8. ∴點P的直角坐標為(2,2，8)． (2

7、)由變換公式得： x＝rsin θcos φ＝4sin cos ＝2， y＝rsin θsin φ＝4sin sin ＝2， z＝rcos θ＝4cos ＝－2. ∴它的直角坐標為(2,2，－2)． 【答案】　(1)(2,2，8)　(2)(2,2，－2) 將點的直角坐標化為柱坐標或球坐標 　已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，如圖4-1-8建立空間直角坐標系A(chǔ)—xyz，Ax為極軸，求點C1的直角坐標、柱坐標以及球坐標． 圖4-1-8 【思路探究】　解答本題根據(jù)空間直角坐標系、柱坐標系以及球坐標系的意義和聯(lián)系計算即可． 【自主解答】　點C1的直角坐

8、標為(1,1,1)， 設(shè)點C1的柱坐標為(ρ，θ，z)，球坐標為(r，φ，θ)， 其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式 及 得 及 得及 結(jié)合圖形得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝. ∴點C1的直角坐標為(1,1,1)，柱坐標為(，，1)，球坐標為(，φ，)， 其中tan φ＝，0≤φ≤π. 　化點M的直角坐標(x，y，z)為柱坐標(ρ，θ，z)或球坐標(r，θ，φ)，需要對公式以及進行逆向變換， 得到以及 提醒　在由三角函數(shù)值求角時，要先結(jié)合圖形確定角的范圍再求值． [再練一題] 2．(1)設(shè)點M的直角坐標為(1,1,1)，求它在

9、柱坐標系中的坐標． (2)設(shè)點M的直角坐標為(1,1，)，求它的球坐標． 【導學號：98990006】 【解】　(1)設(shè)M的柱坐標為(ρ，θ，z)，則有 解之得ρ＝，θ＝. 因此，點M的柱坐標為. (2)由坐標變換公式，可得 r＝＝＝2. 由rcos θ＝z＝， 得cos θ＝＝，θ＝. 又tan φ＝＝1，φ＝(M在第一象限)， 從而知M點的球坐標為. [真題鏈接賞析] 　(教材第17頁習題4.1第16題)建立適當?shù)那蜃鴺讼祷蛑鴺讼当硎纠忾L為3的正四面體的四個頂點． 　結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖4-1-9(1)是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體

10、堆積成的正方體)．圖形中的點代表鈉原子，如圖4-1-9(2)，建立空間直角坐標系O-xyz后，試寫出下層鈉原子所在位置的球坐標、柱坐標． (1)　　　　　　　　(2) 圖4-1-9 【命題意圖】　本題以食鹽晶胞為載體，主要考查柱坐標系及球坐標系在確定空間點的位置中的應(yīng)用． 【解】　下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的豎坐標全是0，所以這五個鈉原子所在位置的球坐標分別為(0,0,0)，，，，； 它們的柱坐標分別為(0,0,0)，(1,0,0)，，，. 1．已知點A的柱坐標為(1,0,1)，則點A的直角坐標為________． 【解析】　由點A的柱坐標為(1,0,1)

11、知，ρ＝1，θ＝0，z＝1，故x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1，所以直角坐標為(1,0,1)． 【答案】　(1,0,1) 2．設(shè)點M的直角坐標為(－1，－1，)，則它的球坐標為________． 【解析】　由坐標變換公式，r＝＝2. cos θ＝＝，θ＝.∵tan φ＝＝1， ∴φ＝π. 故M的球坐標為. 【答案】　 3．已知點P的柱坐標為，點B的球坐標為，這兩個點在空間直角坐標系中點的坐標分別為________． 【導學號：98990007】 【解析】　設(shè)P(x，y，z)，則x＝cos＝1， y＝sin＝1，z＝5， ∴P(1,1,5)． 設(shè)B(x

12、，y，z)，則x＝sin cos ＝××＝，y＝sinsin＝××＝， z＝·cos ＝×＝. 故B(，，)． 【答案】　P(1,1,5)，B(，，) 4．把A(4，，2)、B(3，，－2)兩點的柱坐標化為直角坐標，則兩點間的距離為________． 【解析】　點A化為直角坐標為A(2，2,2)，點B化為直角坐標為B. AB2＝2＋2＋(2＋2)2＝12＋－6＋4＋－6＋16＝41－6(＋)． 所以AB＝. 【答案】　 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 7