2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收講義（含解析）新人教A版選修4-5

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收講義（含解析）新人教A版選修4-5 考情分析 從近兩年的高考試題來(lái)看，不等式的證明主要考查比較法與綜合法，而比較法多用作差比較，綜合法主要涉及基本不等式與不等式的性質(zhì)，題目難度不大，屬中檔題． 在證明不等式時(shí)，要依據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧進(jìn)行證明．如果已知條件與待證結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”“恒成立”等方式給出，可考慮用反證法．在必要的情況下，可能還需要使用換元法、放縮法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明． 真題體驗(yàn) 1．(2017·全國(guó)

2、卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b) ＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|＜|1＋ab|. 解：(1)f(x)

3、＝ 當(dāng)x≤－時(shí)，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1； 當(dāng)－＜x＜時(shí)，f(x)＜2恒成立； 當(dāng)x≥時(shí)，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}． (2)證明：由(1)知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，－1＜a＜1，－1＜b＜1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－ 1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|. 比較法證明不等式 比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件． 作差比較法證明的一般步驟是：①作差；②恒等變形；③判斷結(jié)果的符號(hào)；④下結(jié)論．其中，變形是證明推理中一個(gè)承

4、上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． [例1]　若x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0，求證： x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)． [證明]　∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx) ＝＋＋ ＝x－ y2＋ y－ z2＋z－ x2≥0. ∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx). 綜合法證明不等式 綜合法證明不等式的思維方向是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立． 綜合法

5、證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論．證明時(shí)要注意：作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯(cuò)誤，如一些帶等號(hào)的不等式，應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件，即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取等號(hào)”的理由要理解掌握． [例2]　設(shè)a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1. 求證：(1)2ab＋bc＋ca＋≤； (2)＋＋≥2. [證明]　(1)因?yàn)?＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立， 所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca

6、＋c2)≤. (2)因?yàn)椤?，≥，≥? 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立． 所以＋＋ ≥＋＋ ＝a＋b＋c ≥2a＋2b＋2c＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立. 分析法證明不等式 分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即由待證的不等式出發(fā)， 逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式． 當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí)，可考慮用分析法去證明，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效． 分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“

7、由因?qū)Ч保鸩酵茖?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法．一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用． [例3]　已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求證： ＋ ≤2. [證明]　要證 ＋ ≤2， 只需證2≤4， 即證a＋b＋1＋2 ≤4. 即證≤1. 也就是要證ab＋(a＋b)＋≤1， 即證ab≤. ∵a>0，b>0，a＋b＝1. ∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，即上式成立． 故 ＋ ≤2. 反證法證明不等式 用直接法證明不等式困難的時(shí)候，可考慮用間接證法予以證明

8、，反證法是間接證法的一種． 假設(shè)欲證的命題是“若A則B”，我們可以通過(guò)否定來(lái)達(dá)到肯定B的目的，如果只有有限多種情況，就可用反證法． 用反證法證明不等式，其實(shí)質(zhì)是從否定結(jié)論出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出與已知條件、公理、定理或某些性質(zhì)相矛盾的結(jié)論，從而肯定原命題成立． [例4]　已知a，b，c為實(shí)數(shù)，a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0. [證明]　假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，即其中至少有一個(gè)不是正數(shù)．不妨先設(shè)a≤0，下面分a＝0或a<0兩種情況討論． ①如果a＝0，那么abc＝0，與已知矛盾， 所以a＝0不可能． ②如果a<0，那么由abc>0，

9、可得bc<0. 又因?yàn)閍＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0， 于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0， 這與已知中的ab＋bc＋ca>0相矛盾． 因此，a<0也不可能．綜上所述，a>0. 同理可以證明b>0，c>0，所以原命題成立. 放縮法證明不等式 放縮法是在順推法邏輯推理過(guò)程中，有時(shí)利用不等式關(guān)系的傳遞性，作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，證明比原不等式更強(qiáng)的不等式來(lái)代替原不等式的一種證明方法． 放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價(jià)轉(zhuǎn)化，放縮沒(méi)有一定的準(zhǔn)則和程序，需按題意適當(dāng)放縮，否則達(dá)不到目的． [例5]　已知n∈N＋，求證：＋＋…＋<. [證明]　因?yàn)?＝， 所以＋＋…＋<＋＋…＋＝

10、<. (時(shí)間：90分鐘，總分120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿(mǎn)分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．用分析法證明不等式的推論過(guò)程一定是(　　) A．正向、逆向均可進(jìn)行正確的推理 B．只能進(jìn)行逆向推理 C．只能進(jìn)行正向推理 D．有時(shí)能正向推理，有時(shí)能逆向推理 解析：選B　在用分析法證明不等式時(shí)，是從求證的不等式出發(fā)，逐步探索使結(jié)論成立的充分條件即可，故只需進(jìn)行逆向推理即可． 2．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，則a與b的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b

11、 解析：選B　∵a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex(x<0)，故b<1， ∴a>b. 3．已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，ab＞0，－＜－，則下列不等式中成立的是(　　) A．bc＜ad B．bc＞ad C.＞ D.＜ 解析：選B　將－＜－兩邊同乘以正數(shù)ab，得－bc＜－ad，所以bc＞ad. 4．已知x1>0，x1≠1，且xn＋1＝(n∈N*)，試證“數(shù)列{xn}對(duì)任意正整數(shù)n都滿(mǎn)足xnxn＋1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)，應(yīng)為(　　) A．對(duì)任意的正整數(shù)n，都有xn＝xn＋1 B．存在正整數(shù)n，使xn>xn＋1 C．存在正整數(shù)n

12、(n≥2)，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1 D．存在正整數(shù)n(n≥2)，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0 解析：選D　命題的結(jié)論是等價(jià)于“數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設(shè)是“數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”，由此可知選D. 5．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根 解析：選A　至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根，故做的假設(shè)是“方程x3

13、＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根”． 6．使不等式＋＞1＋成立的正整數(shù)a的最大值為(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：選C　用分析法可證a＝12時(shí)不等式成立，a＝13時(shí)不等式不成立． 7．已知a，b，c，d∈R＋且S＝＋＋＋，則下列判斷中正確的是(　　) A．0

14、：選C　因?yàn)榕c同號(hào)，由＋≤－2，知＜0，＜0，即ab＜0. 又若ab＜0，則＜0，＜0， 所以＋＝－ ≤－2 ＝－2， 綜上，ab＜0是＋≤－2成立的充要條件， 所以a＞0，b＜0是＋≤－2成立的一個(gè)充分不必要條件． 9．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＝c2，則an＋bn與cn的大小關(guān)系為(n≥3，n∈N＋)(　　) A．a(chǎn)n＋bn>cn B．a(chǎn)n＋bn

15、，N＝|cos α|，P＝|sin α＋cos α|，Q＝ ，則它們之間的大小關(guān)系為(　　) A．M>N>P>Q B．M>P>N>Q C．M>P>Q>N D．N>P>Q>M 解析：選D　∵α∈，∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|<|cos α|， ∴P＝|sin α＋cos α|＝(|sin α|＋|cos α|) >(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M. P＝|sin α|＋|cos α| <(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N. ∴N>P>M. ∵Q＝＝<＝P，Q＝>＝|sin α|＝M， ∴N>P>Q>M. 二

16、、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分．把答案填寫(xiě)在題中的橫線(xiàn)上) 11．用反證法證明“在△ABC中，若∠A是直角，則∠B一定是銳角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________________． 解析：“∠B一定是銳角”的否定是“∠B不是銳角”． 答案：∠B不是銳角 12．如果a＋b>a＋b，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是________． 解析：由知a≥0，知b≥0，而a＋b≠a＋b，知b≠a.此時(shí)a＋b－(a＋b)＝(－)2(＋)>0，不等式成立．故實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是a≥0，b≥0，a≠b. 答案：a≥0，b≥0，a≠b 13．已知a＋b>0，則＋與＋的大小關(guān)系是_______

17、_． 解析：＋－＝＋ ＝(a－b)＝. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0， ∴≥0. ∴＋≥＋. 答案：＋≥＋ 14．設(shè)0f>f>f. 答案：f>f>f>f 三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿(mǎn)分50分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)|a|＜1，|b|＜1，求證：|a＋b|＋|a－b|＜2. 證明：當(dāng)a＋b與a－b同號(hào)時(shí)，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝

18、2|a|＜2； 當(dāng)a＋b與a－b異號(hào)時(shí)，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－(a－b)|＝2|b|＜2. ∴|a＋b|＋|a－b|＜2. 16．(本小題滿(mǎn)分12分)已知：在△ABC中，∠CAB>90°，D是BC的中點(diǎn)，求證：ADBC，因?yàn)锽D＝DC＝BC， 所以在△ABD中，AD>BD，從而∠B>∠BAD. 同理∠C>∠CAD. 所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠C

19、AD. 即∠B＋∠C>∠A.因?yàn)椤螧＋∠C＝180°－∠A， 所以180°－∠A>∠A即∠A＜90°，與已知矛盾， 故AD＞BC不成立． 由(1)(2)知AD＜BC成立． 17．(本小題滿(mǎn)分12分)求證：1＋＋＋＋…＋<3. 證明：由<＝ (k是大于2的自然數(shù))，得 1＋＋＋＋…＋ <1＋1＋＋＋＋…＋＝1＋ ＝3－<3. 18．(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求f(x)的最小值m； (2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3. 解：(1)當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)； 當(dāng)－1≤x<2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)； 當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)． 綜上，f(x)的最小值m＝3. (2)證明：a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a＋b＋c＝3， 因?yàn)椋?a＋b＋c) ＝＋＋ ≥2＝2(a＋b＋c)， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，取等號(hào)， 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.