2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理滾動訓(xùn)練二 新人教A版選修2-3

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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理滾動訓(xùn)練二 新人教A版選修2-3 一、選擇題 1.設(shè)二項式n的展開式各項系數(shù)的和為a,所有二項式系數(shù)的和為b,若a+2b=80,則n的值為(  ) A.8 B.4 C.3 D.2 考點 展開式中系數(shù)的和問題 題點 二項展開式中系數(shù)的和問題 答案 C 解析 由題意a=4n,b=2n,∵a+2b=80, ∴4n+2×2n-80=0, 即(2n)2+2×2n-80=0,解得n=3. 2.已知甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué);乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué),則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有(  

2、) A.150種 B.180種 C.300種 D.345種 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“在”與“不在”問題 答案 D 解析 由題知共有CCC+CCC=345(種)選法. 3.3對夫婦去看電影,6個人坐成一排,若女性的鄰座只能是其丈夫或其他女性,則不同的坐法種數(shù)為(  ) A.54 B.60 C.66 D.72 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案 B 解析 記3位女性為a,b,c,其丈夫依次為A,B,C,3位女性都相鄰的可能情形有兩類:第一類,男性在兩端(如BAabcC),有2A種坐法;第二類,男性在一端(如BCAabc),有2AA種坐

3、法,故共有A(2A+2)=36(種)坐法.僅有兩位女性相鄰的可能情形也有兩類:第一類,這兩人在一端(如abBACc);第二類,這兩人兩端都有其他人(如AabBCc),共有2A(1+1)=24(種)坐法.綜上,滿足題意的坐法共有36+24=60(種). 4.9名同學(xué)分別到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3個學(xué)習(xí)小組參加研究性學(xué)習(xí)活動,每組3人,則不同的分配方案種數(shù)為(  ) A.CCA B. C.CCC D.以上都不對 考點 排列組合綜合問題 題點 分組分配問題 答案 C 解析 分配方案分三步完成:第一步,從9名同學(xué)中選3人到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組,有C種方法;第二步,從其余的6名同學(xué)中選3人到物理學(xué)

4、習(xí)小組,有C種方法;第三步,剩余的3名同學(xué)到化學(xué)學(xué)習(xí)小組,有C種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,不同的分配方案共有CCC種. 5.(1+x)4的展開式中,含x2的項的系數(shù)為(  ) A.10 B.6 C.4 D.12 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求多項展開式中特定項的系數(shù) 答案 A 解析 根據(jù)乘法公式,得因式1+中的1和(1+x)4展開式中含x2的項相乘可得含x2的項;因式1+中的和(1+x)4展開式中含x3的項相乘可得含x2的項.(1+x)4展開式的通項為Tk+1=Cxk(k=0,1,…,4),故(1+x)4展開式中含x2的項為1·Cx2+·Cx3=10x2,即含x

5、2的項的系數(shù)為10. 6.從集合{1,2,3,…,10}中選出由5個數(shù)組成的子集,使得這5個數(shù)中任何兩個數(shù)的和不等于11,則這樣的子集共有(  ) A.10個 B.16個 C.20個 D.32個 考點 組合的應(yīng)用 題點 有限制條件的組合問題 答案 D 解析 因為這10個數(shù)中兩數(shù)之和為11的共有5組,即(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),所以從10個數(shù)中任取5個數(shù)組成一個子集,使得這5個數(shù)中任何兩個數(shù)的和不等于11的子集個數(shù)共有CCCCC=32(個). 7.把3盆不同的蘭花和4盆不同的玫瑰花擺放在如圖1,2,3,4,5,6,7,所示的位置上,其中3盆

6、蘭花不能放在一條直線上,則不同的擺放方法有(  ) A.2 680種 B.4 320種 C.4 920種 D.5 140種 考點 排列的應(yīng)用 題點 排列的簡單應(yīng)用 答案 B 解析 先將7盆花全排列,共有A種排法,其中3盆蘭花排在一條直線上的排法有5AA(種),故所求擺放方法有A-5AA=4 320(種). 8.在(ax+1)7的展開式中,x3的系數(shù)是x2的系數(shù)和x5的系數(shù)的等比中項,則實數(shù)a的值為(  ) A. B. C. D. 考點 展開式中系數(shù)的和問題 題點 多項展開式中系數(shù)的和問題 答案 A 解析 ∵(ax+1)7的二項展開式的通項為Tk+1=C

7、(ax)7-k,∴x3的系數(shù)是Ca3,x2的系數(shù)是Ca2,x5的系數(shù)是Ca5.∵x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x5的系數(shù)的等比中項,∴(Ca3)2=Ca2×Ca5,∴a=. 二、填空題 9.不等式A-n<7的解集為________. 考點 排列數(shù)公式 題點 解含有排列數(shù)的方程或不等式 答案 {3,4} 解析 由不等式A-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,整理得n2-4n-5<0,解得-1

8、a0+a2+a4+a6+a8=________. 考點 展開式中系數(shù)的和問題 題點 二項展開式中系數(shù)的和問題 答案 128 解析 由已知條件可得a5=C·(-m)3=-56m3=56,∴m=-1, 令x=1,則a0+a1+a2+…+a8=28,① 令x=-1,則a0-a1+a2-a3+…+a8=0,② 由①+②,得a0+a2+a4+a6+a8==128. 11.若(1-2x)2 017=a0+a1x+…+a2 017x2 017(x∈R),則++…+的值為________. 考點 展開式中系數(shù)的和問題 題點 二項展開式中系數(shù)的和問題 答案?。? 解析 (1-2x)2 0

9、17=a0+a1x+…+a2 017x2 017,令x=,則2 017=a0+++…+=0, 其中a0=1,所以++…+=-1. 12.將A,B,C,D,E,F(xiàn) 6個字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有________種.(用數(shù)字作答) 考點 排列的應(yīng)用 題點 排列的簡單應(yīng)用 答案 480 解析 按C的位置分類,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因為左右是對稱的,所以只看左的情況最后乘2即可.當(dāng)C在左邊第1個位置時,有A種排法,當(dāng)C在左邊第2個位置時有AA種排法,當(dāng)C在左邊第3個位置時,有AA+AA(種)排法.所以不同的排法共有2(A+AA+AA+AA)=

10、480(種). 三、解答題 13.學(xué)校選派5名同學(xué)參加“華約”“北約”“卓越聯(lián)盟”自主招生考試,每項考試至少選派1人參加,共有多少種不同的選派方法? 考點 排列組合綜合問題 題點 分組分配問題 解 可先分組,再分配,分兩個步驟完成.先把5名同學(xué)分成三組:①一組3人,另兩組各1人,有種方法;②一組1人,另兩組各2人,有種方法.再把三組學(xué)生分配到“華約”“北約”“卓越聯(lián)盟”參加考試,有A種方法.故不同的的選派方法共有A=150(種). 四、探究與拓展 14.若n∈N*,n<100,且n的展開式中存在常數(shù)項,則所有滿足條件的n的值的和是________. 考點 二項式定理的應(yīng)用 題

11、點 二項式定理的簡單應(yīng)用 答案 950 解析 n的展開式的通項為Tk+1=C(x3)n-k·k=Cx3n-5k,令3n-5k=0,得n=k.當(dāng)k=3,6,…,57時,n=5,10,…,95,故所有滿足條件的n的值的和是5+10+…+95==950. 15.已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且a2=60,求: (1)n的值; (2)-+-+…+(-1)n的值. 考點 二項式定理的應(yīng)用 題點 二項式定理的簡單應(yīng)用 解 (1)因為T3=C(-2x)2=a2x2, 所以a2=C(-2)2=60, 化簡可得n(n-1)=30,且n∈N*, 解得n=6. (2)Tk+1=C(-2x)k=akxk,所以ak=C(-2)k, 所以(-1)k=C, -+-+…+(-1)n =C+C+…+C=26-1=63.

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