2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 課堂達(dá)標(biāo)54 幾何概型 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 課堂達(dá)標(biāo)54 幾何概型 文 新人教版 1．(2016·全國Ⅱ卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A.　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. [解析]　由題至少等15秒遇綠燈的概率為 P＝＝.故選B. [答案]　B 2．(2018·貴陽市監(jiān)測考試)在[－4,4]上隨機(jī)取一個實數(shù)m，能使函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上單調(diào)遞增的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　由題意，得f′(x)＝3x

2、2＋2mx＋3，要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率為＝，故選D. [答案]　D 3．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，則sin x＋cos x∈[1，]的概率是(　　) A. B. C. D. [解析]　因為x∈，所以x＋∈， 由sin x＋cos x＝sin∈[1，]，得≤sin≤1， 所以x∈，故要求的概率為＝. [答案]　B 4．(2018·石家莊模擬)已知O、A、B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測繪隊員在A、B之間的直線公路上任選一

3、點C作為測繪點，用測繪儀進(jìn)行測繪．O地為一磁場，距離其不超過 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準(zhǔn)確．則該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ [解析]　由題意知在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2，故該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是1－＝1－. [答案]　D 5．(2018·山西四校聯(lián)考)在面積為S的△ABC內(nèi)部任取一點P，則△PBC的面積大于的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)AB，AC上分別有點D，E滿足AD＝AB且AE＝AC， 則△A

4、DE∽△ABC，DE∥BC且DE＝BC. ∵點A到DE的距離等于點A到BC的距離的， ∴DE到BC的距離等于△ABC高的. 當(dāng)動點P在△ADE內(nèi)時，P到BC的距離大于DE到BC的距離， ∴當(dāng)P在△ADE內(nèi)部運動時，△PBC的面積大于， ∴所求概率為＝2＝. [答案]　D 6．(2018·佛山二模)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.記函數(shù)f(x)滿足條件為事件A，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　由題意，得 即表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，可知陰影部分的面積為8，所以所求概率為，故選C. [答案]　C

5、 7．如圖，正四棱錐S-ABCD的頂點都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點，則這點取自正四棱錐內(nèi)的概率為______． [解析]　設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝＝＝. [答案]　 8．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為______． [解析]　當(dāng)點P在BC上時，AP與BC有公共點，此時AP掃過△ABC，所以P＝＝＝. [答案]　 9．在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S-APC的體積大于的概率是______． [解析]　由題意可知 >，三棱錐S-A

6、BC的高與三棱錐S-APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，所以＝＝>，又＝，所以>，故所求的概率為(即為長度之比)． [答案]　 10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點M. (1)求四棱錐M-ABCD的體積小于的概率； (2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率． [解]　(1)正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)M-ABCD的高為h，令×S四邊形ABCD×h＝， ∵S四邊形ABCD＝1，∴h＝. 若體積小于，則h<，即點M在正方體的下半部分， ∴P＝＝. (2)∵V三棱柱＝×12

7、×1＝， ∴所求概率P1＝＝. [B能力提升練] 1．(2018·重慶適應(yīng)性測試)在區(qū)間[1,4]上任取兩個實數(shù)，則所取兩個實數(shù)之和大于3的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　依題意，記從區(qū)間[1,4]上取出的兩個實數(shù)為x，y，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(4－1)2＝9，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(4－1)2－×12＝，因此所求的概率為＝，選D. [答案]　D 2．(2018·昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，＋＋2 ＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是(　　) A. B. C.

8、D. [解析]　以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC， 則＋＝，因為＋＋2 ＝0， 所以＋＝－2 ，得＝－2， 由此可得，P是△ABC邊BC上的中線AO的中點，點P到BC的距離等于A到BC距離的，所以S△PBC＝S△ABC，所以將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為＝，故選D. [答案]　D 3．如圖所示，圖2中實線圍成的部分是長方體(圖1)的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則此長方體的體積是______． [解析]　設(shè)長方體的高為h，由幾何概型的概率計算公式可知，質(zhì)

9、點落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故長方體的體積為1×1×3＝3. [答案]　3 4．在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別各取一個數(shù)，記為m和n，則方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是__________． [解析]　∵方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，∴m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分，∴所求的概率為P＝. [答案]　 5．甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時刻是等可能的．如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為

10、2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率． [解]　設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0≤x≤24,0≤y≤24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件構(gòu)成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}． A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長是24的正方形及其內(nèi)部． 所求概率為P(A)＝＝＝＝. [C尖子生專練] 已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1. (1)若a，b分別表

11、示將一質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求y＝f(x)恰有一個零點的概率． (2)若a，b∈[1,6]，求滿足y＝f(x)有零點的概率． [解]　(1)設(shè)(a，b)表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個． 用A表示事件“y＝f(x)恰有一個零點”， 即Δ＝|－(a＋1)|2－4b2＝0， 則a＋1＝2b. 則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個， 所以P(A)＝＝. 即事件“y＝f(x)恰有一個零點”的概率為. (2)用B表示事件“y＝f(x)有零點”，即a＋1≥2b. 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，構(gòu)成事件B的區(qū)域為{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，如圖所示： 所以所求的概率為P(B)＝＝. 即事件“y＝f(x)有零點”的概率為.