（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 3 第3講 函數(shù)的奇偶性、對稱性教學案

第3講函數(shù)的奇偶性、對稱性1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論(1)f(x)為奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱；f(x)為偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)0，xD，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)3函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(bx)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線x對稱，特別地，當ab0時，函數(shù)yf(x)關(guān)于y軸對稱，此時函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)(2)若函數(shù)yf(x)滿足f(x)2bf(2ax)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(a，b)對稱，特別地，當a0，b0時，f(x)f(x)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于原點對稱，此時函數(shù)f(x)是奇函數(shù)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)f(x)0.()(2)偶函數(shù)的圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點()(3)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)()(4)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件()(5)若函數(shù)f(x)x2(a2)xb，xa，b的圖象關(guān)于直線x1對稱，則ab2.()答案：(1)(2)×(3)(4)(5)教材衍化1(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：選B.根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(x)f(x)且定義域關(guān)于原點對稱，A選項為奇函數(shù)，B選項為偶函數(shù)，C選項定義域為(0，)，不具有奇偶性，D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)故選B.2(必修1P45B組T6改編)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)，且在區(qū)間a，b(a<b<0)上的值域為3，4，則在區(qū)間b，a上的值域為_解析：法一：根據(jù)題意作出yf(x)的簡圖，由圖知函數(shù)f(x)在b，a上的值域為4，3法二：當xb，a時，xa，b，由題意得f(b)f(x)f(a)，即3f(x)4，所以4f(x)3，即在區(qū)間b，a上的值域為4，3答案：4，33(必修1P45B組T4改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x1，1)時，f(x)則f_解析：fff4×21.答案：1易錯糾偏(1)利用奇偶性求解析式時忽視定義域；(2)忽視奇函數(shù)的對稱性；(3)忽視定義域的對稱性1設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)x24x3，則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)_解析：設(shè)x<0，則x>0，所以f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，由奇函數(shù)的定義可知f(0)0，所以f(x)答案：2.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為5，5，若當x0，5時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為_解析：由題圖可知，當0<x<2時，f(x)>0；當2<x5時，f(x)<0，又f(x)是奇函數(shù)，所以當2<x<0時，f(x)<0，當5x<2時，f(x)>0.綜上，f(x)<0的解集為(2，0)(2，5答案：(2，0)(2，53已知f(x)ax2bx是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是_解析：因為f(x)ax2bx是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，所以a12a0，所以a.又f(x)f(x)，所以b0，所以ab.答案：判斷函數(shù)的奇偶性 (1)函數(shù)y的奇偶性是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)(2)(2020·“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|e|x|2e|e|x|，g(x)3sin 2x，下列描述正確的是()Af(g(x)是奇函數(shù)Bf(g(x)是偶函數(shù)Cf(g(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)Df(g(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【解析】(1)由9x2>0可得3<x<3，所以x4<0，f(x)，f(x)f(x)，所以函數(shù)y是奇函數(shù)，故選A.(2)由題意知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，f(g(x)f(g(x)f(g(x)，故f(g(x)是偶函數(shù)【答案】(1)A(2)B判定函數(shù)奇偶性的3種常用方法(1)定義法(2)圖象法(3)性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶奇復合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”提醒(1)“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應分段分別證明f(x)與f(x)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同關(guān)系時，才能判斷其奇偶性 1設(shè)f(x)exex，g(x)exex，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結(jié)論錯誤的是()A|g(x)|是偶函數(shù) Bf(x)g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)|是偶函數(shù) Df(x)g(x)是奇函數(shù)解析：選D.f(x)exexf(x)，f(x)為偶函數(shù)g(x)exexg(x)，g(x)為奇函數(shù)|g(x)|g(x)|g(x)|，|g(x)|為偶函數(shù)，A正確；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)為奇函數(shù)，B正確；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函數(shù)，C正確；f(x)g(x)2ex，f(x)g(x)2ex(f(x)g(x)，且f(x)g(x)2exf(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，D錯誤，故選D.2判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解：(1)因為函數(shù)f(x)的定義域為，不關(guān)于坐標原點對稱，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2)由，得2x2且x0，所以f(x)的定義域為2，0)(0，2，關(guān)于原點對稱所以f(x).所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)(3)易知函數(shù)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱，又當x0時，f(x)x2x，則當x0時，x0，故f(x)x2xf(x)；當x0時，f(x)x2x，則當x0時，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)奇偶性的應用 (1)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_(2)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于_【解析】(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)0恒成立，所以xln(x)xln(x)0恒成立，所以xln a0恒成立，所以ln a0，即a1.(2)f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.【答案】(1)1(2)3已知函數(shù)奇偶性可以解決的4個問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(x)0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的方程或方程(組)，進而得出參數(shù)的值(4)畫函數(shù)圖象：利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象 1已知函數(shù)f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，則f(a)的值為()A3 B0C1 D2解析：選B.設(shè)F(x)f(x)1x3sin x，顯然F(x)為奇函數(shù)，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，從而f(a)0.故選B.2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)則g(f(8)()A1 B2C1 D2解析：選A.因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(8)f(8)log392，所以gf(8)g(2)f(2)f(2)log331.3已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x(1x)，則x0時，f(x)_解析：當x0時，則x0，所以f(x)(x)(1x)又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)(x)(1x)，所以f(x)x(1x)答案：x(1x)函數(shù)的對稱性 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，當0<x<1時，f(x)2x1，則f(log29)()A B8C10 D(2)已知函數(shù)f(x)，其圖象關(guān)于點(3，2)對稱，則f(2)的值是_【解析】(1)f(x2)f(x)f(x)，所以f(x)的圖象的對稱軸為x1，f(log29)f，因為1<log2<2，故fff，其中0<log2<1，所以f2log21，故f(log29)，故選A.(2)因為函數(shù)f(x)a，所以函數(shù)的對稱中心為(b，a)又因為函數(shù)f(x)，其圖象關(guān)于點(3，2)對稱，所以a2，b3.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)，所以f(2).【答案】(1)A(2) (1)函數(shù)滿足f(xt)f(tx)(或f(x)f(2tx)，則函數(shù)關(guān)于直線xt對稱，若函數(shù)滿足f(x2t)f(x)，則函數(shù)f(x)以2t(t0)為周期(2)若函數(shù)yf(x)的對稱中心為(a，b)，根據(jù)函數(shù)yf(x)圖象上任意點關(guān)于該對稱中心的對稱點也在此函數(shù)圖象上，利用恒等式求解 1用mina，b表示a，b兩數(shù)中的最小值若函數(shù)f(x)min|x|，|xt|的圖象關(guān)于直線x對稱，則t的值為()A2 B2C1 D1解析：選D.由于函數(shù)f(x)是兩個函數(shù)y1|x|，y2|xt|中的較小者，因此f(x)在不同的定義域內(nèi)取值不同，故需作出其圖象求解在同一坐標系中，分別作出函數(shù)y|x|與y|xt|的草圖(如圖)由圖象知f(x)的圖象為圖中的實線部分(ABCOE)由于f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，于是，所以t1.2函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心是(4，1)，則a_解析：因為f(x)1，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心是(a1，1)由已知得a14，故a3.答案：3函數(shù)性質(zhì)的綜合應用(高頻考點)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性是函數(shù)的兩大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，以選擇題或填空題的形式考查，難度稍大，為中高檔題主要命題角度有：(1)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合；(2)函數(shù)的奇偶性與對稱性相結(jié)合角度一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合 (2020·金麗衢十二校聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(4)f(2)0，在區(qū)間(，3)與3，0上分別單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，則不等式xf(x)>0的解集為()A(，4)(4，)B(4，2)(2，4)C(，4)(2，0)D(，4)(2，0)(2，4)【解析】因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(4)f(4)f(2)f(2)0，又f(x)在(，3)，3，0上分別單調(diào)遞增與單調(diào)遞減，所以xf(x)>0的解集為(，4)(2，0)(2，4)，故選D.【答案】D角度二函數(shù)的奇偶性與對稱性相結(jié)合 在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)f(2x)若f(x)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，則f(x)()A在區(qū)間2，1上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4上是增函數(shù)B在區(qū)間2，1上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4上是減函數(shù)C在區(qū)間2，1上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4上是增函數(shù)D在區(qū)間2，1上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4上是減函數(shù)【解析】由f(x)f(2x)，函數(shù)f(x)關(guān)于x1對稱，又因為f(x)在R上是偶函數(shù)，所以f(x)關(guān)于y軸對稱又因為f(x)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，所以f(x)在0，1上為增函數(shù)，在1，0上為減函數(shù)，故函數(shù)圖象如圖所示由圖可知B正確【答案】B (1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、對稱性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題(2)掌握以下兩個結(jié)論，會給解題帶來方便：f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|)若奇函數(shù)在x0處有意義，則f(0)0. 1(2020·湖州模擬)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間1，0上是嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足f(e)0，f(2e)1，則不等式的解集為_解析：根據(jù)函數(shù)周期為2且為偶函數(shù)知，f(e)f(e2)0，f(2e)f(2e4)f(62e)1，因為0<62e<e2<1，且根據(jù)對稱性知函數(shù)在0，1上單調(diào)遞減，所以的解為62exe2，故填62e，e2答案：62e，e22偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，f(3)3，則f(1)_解析：因為f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，所以f(4x)f(x)，所以f(41)f(1)f(3)3，即f(1)3.因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以f(1)f(1)3.答案：3核心素養(yǎng)系列3邏輯推理、數(shù)學運算奇偶函數(shù)的二次結(jié)論及應用結(jié)論一：若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且g(x)f(x)c，則必有g(shù)(x)g(x)2c.結(jié)論簡證由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以g(x)g(x)f(x)cf(x)c2c. 對于函數(shù)f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是()A4和6B3和1C2和4 D1和2【解析】設(shè)g(x)asin xbx，則f(x)g(x)c，且函數(shù)g(x)為奇函數(shù)注意到cZ，所以f(1)f(1)2c為偶數(shù)故選D.【答案】D由上述例題可知，這類問題的求解關(guān)鍵在于觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出一個奇函數(shù)有些問題是直觀型的，直接應用即可，但有些問題是復雜型的，需要變形才能成功 結(jié)論二：若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)f(xa)h的圖象關(guān)于點(a，h)對稱結(jié)論簡證函數(shù)g(x)f(xa)h的圖象可由f(x)的圖象平移得到，不難知結(jié)論成立 函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為()A(4，6) B(2，3)C(4，3) D(2，6)【解析】設(shè)g(x)，則g(x)g(x)，故g(x)為奇函數(shù)易知f(x)3g(x2)3，所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(2，3)故選B.【答案】B此類問題求解的關(guān)鍵是從所給函數(shù)式中分離(或變形)出奇函數(shù)，進而得出圖象的對稱中心，然后利用圖象的對稱性實現(xiàn)問題的求解 結(jié)論三：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(|x|)結(jié)論簡證當x0時，|x|x，所以f(|x|)f(x)；當x<0時，f(|x|)f(x)，由于函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，故f(|x|)f(x)綜上，若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(|x|) (1)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1|x|)，則使得f(x)>f(2x1)成立的x的取值范圍是_；(2)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)x38(x0)，則f(x2)>0的條件為_【解析】(1)易知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)為偶函數(shù)當x0時，f(x)ln(1x)，易知此時f(x)單調(diào)遞增所以f(x)>f(2x1)f(|x|)>f(|2x1|)，所以|x|>|2x1|，解得<x<1.(2)由f(x)x38(x0)，知f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且f(2)0.所以，由已知條件可知f(x2)>0f(|x2|)>f(2)所以|x2|>2，解得x<0或x>4.【答案】(1)(2)x|x<0或x>4基礎(chǔ)題組練1(2020·舟山市普陀三中高三期中)下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在(0，)上單調(diào)遞增的是()Ayx2 Byx3Cylog2x Dy3x解析：選B.A.函數(shù)yx2為偶函數(shù)，不滿足條件B函數(shù)yx3為奇函數(shù)，在(0，)上單調(diào)遞增，滿足條件Cylog2x的定義域為(0，)，為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件D函數(shù)y3x為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件2(2020·衢州高三年級統(tǒng)一考試)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x3ln(1x)，則當x0時，f(x)()Ax3ln(1x) Bx3ln(1x)Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)解析：選C.當x<0時，x>0，f(x)(x)3ln(1x)，因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以當x0時，f(x)f(x)(x)3ln(1x)，所以f(x)x3ln(1x)3若f(x)(exex)(ax2bxc)是偶函數(shù)，則一定有()Ab0 Bac0Ca0且c0 Da0，c0且b0解析：選C.設(shè)函數(shù)g(x)exex.g(x)exexg(x)，所以g(x)是奇函數(shù)因為f(x)g(x)(ax2bxc)是偶函數(shù)所以h(x)ax2bxc為奇函數(shù)即h(x)h(x)0恒成立，有ax2c0恒成立所以ac0.當acb0時，f(x)0，也是偶函數(shù)，故選C.4設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(2x)f(x)，若當x1時，f(x)ln x，則有()Af<f(2)<f Bf<f(2)<fCf<f<f(2) Df(2)<f<f解析：選C.由f(2x)f(x)可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，所以ff，ff，又當x1時，f(x)ln x單調(diào)遞增，所以f<f<f(2)，即f<f<f(2)，故選C.5若函數(shù)f(x)ln(ax)是奇函數(shù)，則a的值為()A1 B1C±1 D0解析：選C.因為f(x)ln(ax)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)0.即ln(ax)ln(ax)0恒成立，所以ln(1a2)x210，即(1a2)x20恒成立，所以1a20，即a±1.6(2020·杭州四中第一次月考)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(2)0，則不等式0的解集為()A(，2(0，2 B2，0)2，)C(，22，) D2，0)(0，2解析：選D.因為函數(shù)f(x)在(0，)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(2)0，所以函數(shù)f(x)在(0，2)上的函數(shù)值為正，在(2，)上的函數(shù)值為負，當x>0時，不等式0等價于3f(x)2f(x)0，又f(x)是奇函數(shù)，所以有f(x)0，所以有0<x2，同理當x<0時，可解得2x<0.綜上，不等式0的解集為2，0)(0，2，故選D.7若f(x)k·2x2x為偶函數(shù)，則k_，若f(x)為奇函數(shù)，則k_解析：f(x)為偶函數(shù)時，f(1)f(1)，即22k，解得k1.f(x)為奇函數(shù)時，f(0)0，即k10，所以k1(或f(1)f(1)，即22k，解得k1)答案：118若關(guān)于x的函數(shù)f(x)(t>0)的最大值為M，最小值為N，且MN4，則實數(shù)t的值為_解析：因為f(x)ttg(x)，其中g(shù)(x)是奇函數(shù)，MNtg(x)tg(x)2t4t2.答案：29(2020·杭州市富陽二中高三質(zhì)檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(1x)f(1x)；在1，)上為增函數(shù)，若x時，f(ax)<f(x1)成立，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：根據(jù)題意，可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，因為其在1，)上為增函數(shù)，則在(，1)上是減函數(shù)，并且自變量離1越近，則函數(shù)值越小，由f(ax)<f(x1)可得，|ax1|<|x11|，化簡得|ax1|<|x2|，因為x，所以|x2|2x，所以該不等式可以化為x2<ax1<2x，即不等式組在x上恒成立，從而有，解得0<a<2，故答案為(0，2)答案：(0，2)10(2020·溫州調(diào)研)已知f(x)是定義在2，2上的奇函數(shù)，當x(0，2時，f(x)2x1，函數(shù)g(x)x22xm.如果對于任意x12，2，存在x22，2，使得g(x2)f(x1)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：當x(0，2時，f(x)2x1(0，3，又f(x)是定義在2，2上的奇函數(shù)，所以f(0)0，當x2，0)時，f(x)3，0)，所以函數(shù)f(x)的值域是3，3當x2，2時，g(x)x22xmm1，m8由任意x12，2，存在x22，2，使得g(x2)f(x1)，可得3，3m1，m8，所以5m2.答案：5，211已知函數(shù)f(x)2xk·2x，kR.(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求實數(shù)k的值；(2)若對任意的x0，)，都有f(x)>2x成立，求實數(shù)k的取值范圍解：(1)因為f(x)2xk·2x是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，kR，即2xk·2x(2xk·2x)，所以(k1)·(122x)0對一切kR恒成立，所以k1.(2)因為x0，)，均有f(x)>2x，即2xk·2x>2x對x0，)恒成立，所以1k<22x對x0，)恒成立，所以1k<(22x)min，因為y22x在0，)上單調(diào)遞增，所以(22x)min1.所以1k<1，解得k>0.所以實數(shù)k的取值范圍為(0，)12(2020·紹興一中高三期中)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)(x1)21，求滿足ff(a)的實數(shù)a的個數(shù)解：令f(a)x，則ff(a)變形為f(x)；當x0時，f(x)(x1)21，解得x11，x21；因為f(x)為偶函數(shù)，所以當x<0時，f(x)的解為x31，x41；綜上所述，f(a)1，1，1，1；當a0時，f(a)(a1)211，方程無解；f(a)(a1)211，方程有2解；f(a)(a1)211，方程有1解；f(a)(a1)211，方程有1解；故當a0時，方程f(a)x有4解，由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當a<0時，方程f(a)x也有4解，綜上所述，滿足ff(a)的實數(shù)a的個數(shù)為8.綜合題組練1已知f(x)是奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x23x2.若當x1，3時，nf(x)m恒成立，則mn的最小值為()A. B2C. D.解析：選A.設(shè)x0，則x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)2x23x2.所以在1，3上，當x時，f(x)max；當x3時，f(x)min2.所以m且n2.故mn.2(2020·寧波效實中學高三月考)對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a0，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，都有f(x)f(2ax)，則稱f(x)為準偶函數(shù)下列函數(shù)中是準偶函數(shù)的是()Af(x) Bf(x)x2Cf(x)tan x Df(x)cos(x1)解析：選D.由f(x)為準偶函數(shù)的定義可知，若f(x)的圖象關(guān)于xa(a0)對稱，則f(x)為準偶函數(shù)，A，C中兩函數(shù)的圖象無對稱軸，B中函數(shù)圖象的對稱軸只有x0，而D中f(x)cos(x1)的圖象關(guān)于xk1(kZ)對稱3已知函數(shù)f(x)a.若f(x)為奇函數(shù)，則a_解析：法一：因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，即a，則2a1，所以a.法二：因為f(x)為奇函數(shù)，定義域為R，所以f(0)0.所以a0，所以a.經(jīng)檢驗，當a時，f(x)是一個奇函數(shù)答案：4已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)，則f(1)，g(0)，g(1)之間的大小關(guān)系是_解析：在f(x)g(x)中，用x替換x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.聯(lián)立方程組解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)>g(0)>g(1)答案：f(1)>g(0)>g(1)5(2020·杭州學軍中學高三質(zhì)檢)已知函數(shù)yf(x)在定義域1，1上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)(1)求證：對任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)·(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)證明：若x1x20，顯然不等式成立若x1x20，則1x1x21，因為f(x)在1，1上是減函數(shù)且為奇函數(shù)，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，則1x1x21，同理可證f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立綜上得證，對任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)·(x1x2)0恒成立(2)因為f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定義域1，1上是減函數(shù)，得即解得0a1.故所求實數(shù)a的取值范圍是0，1)6(2020·寧波市余姚中學高三模擬)設(shè)常數(shù)aR，函數(shù)f(x)(ax)|x|.(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于x的不等式mx2m>ff(x)對所有的x2，2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)(1x)|x|，當x0時，f(x)(1x)x，所以f(x)在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)；當x<0時，f(x)(x1)x，所以f(x)在(，0)內(nèi)是減函數(shù)；綜上可知，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(，0)，.(2)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(1)f(1)，即(a1)·1(a1)·1，解得a0.所以f(x)x|x|，ff(x)x3|x|；所以mx2m>ff(x)x3|x|，即m>對所有的x2，2恒成立因為x2，2，所以x211，5所以x212.所以m>.所以實數(shù)m的取值范圍為.18