（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 2 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教學(xué)案

第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件的概念若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件pq且 pp是q的必要不充分條件pq且qpp是q的充要條件pqp是q的既不充分也不必要條件pq且qp疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“x22x30”是命題()(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則q”()(3)若原命題為真，則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真()(4)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件()(5)q不是p的必要條件時，“p q”成立()答案：(1)×(2)×(3)(4)(5)教材衍化1(選修21P12A組T2改編)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是_，是_命題(填“真”或“假”)解析：根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若xy，則x2y2”答案：若xy，則x2y2假2(選修21P12A組T3改編)設(shè)xR，則“2x0”是“(x1)21”的_條件解析：2x0，則x2，(x1)21，則1x11，即0x2，據(jù)此可知，“2x0”是“(x1)21”的必要不充分條件答案：必要不充分易錯糾偏(1)命題的條件與結(jié)論不明確；(2)對充分必要條件判斷錯誤1命題“若a2b20，a，bR，則ab0”的逆否命題是_答案：若a0或b0，a，bR，則a2b202條件p：x>a，條件q：x2.(1)若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是_；(2)若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是_解析：設(shè)Ax|x>a，Bx|x2，(1)因為p是q的充分不必要條件，所以AB，所以a2；(2)因為p是q的必要不充分條件，所以BA，所以a<2.答案：(1)a2(2)a<2四種命題的相互關(guān)系及真假判斷 (1)(2020·浙江重點中學(xué)模擬)已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的()A逆命題 B否命題C逆否命題 D否定(2)(2020·溫州模擬)命題“若x2y20，x，yR，則xy0”的逆否命題是()A若xy0，x，yR，則x2y20B若xy0，x，yR，則x2y20C若x0且y0，x，yR，則x2y20D若x0或y0，x，yR，則x2y20【解析】(1)命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題，故選B.(2)將原命題的條件和結(jié)論否定，并互換位置即可由xy0知x0且y0，其否定是x0或y0.【答案】(1)B(2)D (1)寫一個命題的其他三種命題時需關(guān)注2點對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提提醒四種命題的關(guān)系具有相對性，一旦一個命題定為原命題，相應(yīng)的也就有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”(2)判斷命題真假的2種方法直接判斷：判斷一個命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可間接判斷：當(dāng)一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假 1命題“若a2>b2，則a>b”的否命題是()A若a2>b2，則abB若a2b2，則abC若ab，則a2>b2 D若ab，則a2b2解析：選B.根據(jù)命題的否命題若“p，則q”知選B.2下列命題中為真命題的是()A命題“若x1，則x21”的否命題B命題“若xy，則x|y|”的逆命題C命題“若x1，則x2x20”的否命題D命題“若1，則x1”的逆否命題解析：選B.對于A，命題“若x1，則x21”的否命題為“若x1，則x21”，易知當(dāng)x2時，x241，故為假命題；對于B，命題“若xy，則x|y|”的逆命題為“若x|y|，則xy”，分析可知為真命題；對于C，命題“若x1，則x2x20”的否命題為“若x1，則x2x20”，易知當(dāng)x2時，x2x20，故為假命題；對于D，命題“若1，則x1”的逆否命題為“若x1，則1”，易知為假命題，故選B.充分條件、必要條件的判斷(高頻考點)充分條件、必要條件的判斷是高考命題的熱點，常以選擇題的形式出現(xiàn)，作為一個重要載體，考查的知識面很廣，幾乎涉及數(shù)學(xué)知識的各個方面主要命題角度有：(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系；(2)與命題的真假性相交匯命題角度一判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系 (1)(2019·高考浙江卷)設(shè)a>0，b>0，則“ab4”是“ab4”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面，直線m，n滿足m，n，則“mn”是“m”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【解析】(1)通解：因為a>0，b>0，所以ab2，由ab4可得24，解得ab4，所以充分性成立；當(dāng)ab4時，取a8，b，滿足ab4，但ab>4，所以必要性不成立，所以“ab4”是“ab4”的充分不必要條件故選A.優(yōu)解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)b4a，b的圖象，如圖，則不等式ab4與ab4表示的平面區(qū)域分別是直線ab4及其左下方(第一象限中的部分)與曲線b及其左下方(第一象限中的部分)，易知當(dāng)ab4成立時，ab4成立，而當(dāng)ab4成立時，ab4不一定成立故選A.(2)若m，n，mn，由線面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直線m與n可能異面，故“mn”是“m”的充分不必要條件故選A.【答案】(1)A(2)A角度二與命題的真假性相交匯命題 (2020·杭州模擬)下列有關(guān)命題的說法正確的是()A“x1”是“x25x60”的必要不充分條件Bp：ABA；q：AB，則p是q的充分不必要條件C已知數(shù)列an，若p：對于任意的nN*，點Pn(n，an)都在直線y2x1上；q：an為等差數(shù)列，則p是q的充要條件D“x<0”是“l(fā)n(1x)<0”的必要不充分條件【解析】選項A：當(dāng)x1時，x25x60，所以x1是x25x60的充分條件，故A錯選項B：因為ABAAB(如AB)，而ABABA，從而p q，qp，所以p是q的必要不充分條件，故B錯選項C：因為Pn(n，an)在直線y2x1上所以an2n1(nN*)，則an1an2(n1)1(2n1)2，又由n的任意性可知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，即pq.但反之則不成立，如：令ann，則an為等差數(shù)列，但點(n，n)不在直線y2x1上，從而q p.從而可知p是q的充分不必要條件，故C錯選項D：利用充分條件和必要條件的概念判斷因為ln(x1)<00<x1<11<x<0，所以“x<0”是“l(fā)n(x1)<0”的必要不充分條件故D正確【答案】D判斷充要條件的3種常用方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假(2)等價法：利用AB與BA，BA與AB，AB與BA的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件 提醒判斷充要條件需注意3點(1)要分清條件與結(jié)論分別是什么(2)要從充分性、必要性兩個方面進行判斷(3)直接判斷比較困難時，可舉出反例說明1(2020·杭州市富陽二中高三開學(xué)檢測)若a，b為實數(shù)，則“ 3a<3b”是“>”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選D.根據(jù)題意，若“3a<3b”，則有a<b，而“>”不一定成立，如a3，b1；若“>”，則有|a|<|b|，“3a<3b”不一定成立，如a1，b3，故“3a<3b”是“>”的既不充分也不必要條件2(2020·“超級全能生”高考浙江省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin x，x0，2)，則“f(x)0”是“f(x2)0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B.由f(x)0x0，由f(x2)0x20，x0，因為0，0，由集合性質(zhì)可知為必要不充分條件充分條件、必要條件的應(yīng)用(1)已知p：|x1|2，q：xa，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是()Aa1 Ba3Ca1 Da1(2)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若“xP”是“xS”的必要條件，則m的取值范圍為_【解析】(1)由|x1|2，解得x1或x3，因為p是q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，從而可得(a，)是(，3)(1，)的真子集，所以a1，故選D.(2)由x28x200，得2x10，所以Px|2x10，由xP是xS的必要條件，知SP.則所以0m3.所以當(dāng)0m3時，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0，3【答案】(1)D(2)0，3(變問法)本例(2)條件不變，若“xP”是“xS”的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍解：由例題知Px|2x10，因為“xP”是“xS”的必要不充分條件，所以PS且S/ P.所以2，101m，1m所以或所以m9，即m的取值范圍是9，)利用充要條件求參數(shù)應(yīng)關(guān)注2點(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解(2)端點取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍提醒含有參數(shù)的問題，要注意分類討論 (2020·金華一模)已知命題p：實數(shù)m滿足m212a2<7am(a>0)，命題q：實數(shù)m滿足方程1表示焦點在y軸上的橢圓若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為_解析：由a>0，m27am12a2<0，得3a<m<4a，即命題p：3a<m<4a，a>0.由1表示焦點在y軸上的橢圓，可得2m>m1>0，解得1<m<，即命題q：1<m<.因為p是q的充分不必要條件，所以，解得a，所以實數(shù)a的取值范圍是.答案：基礎(chǔ)題組練1下列命題是真命題的是()A若，則xy B若x21，則x1C若xy，則 D若xy，則x2y2解析：選A.由得xy，A正確；由x21得x±1，B錯誤；由xy，不一定有意義，C錯誤；由xy不一定能得到x2y2，如x2，y1，D錯誤，故選A.2命題“若x1，則x0”的逆否命題是()A若x0，則x1 B若x0，則x1C若x0，則x1 D若x0，則x1解析：選A.依題意，命題“若x1，則x0”的逆否命題是“若x0，則x1”，故選A.3設(shè)a，b是實數(shù)，則“ab>0”是“ab>0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選D.特值法：當(dāng)a10，b1時，ab0，ab0，故ab0 ab0；當(dāng)a2，b1時，ab0，但ab0，所以ab0 ab0.故“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要條件4(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)若“0<x<1”是“(xa)x(a2)0”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A1，0B(1，0)C(，01，)D(，10，)解析：選A.由(xa)x(a2)0得axa2，要使“0<x<1”是“(xa)x(a2)0”的充分不必要條件，則，所以1a0.5(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知a，bR，條件p：“a>b”，條件q：“2a>2b1”，則p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選A.由條件p：“a>b”，再根據(jù)函數(shù)y2x是增函數(shù)，可得2a>2b，所以2a>2b1，故條件q：“2a>2b1”成立，故充分性成立但由條件q：“2a>2b1”成立，不能推出條件p：“a>b”成立，例如由20>201成立，不能推出0>0，故必要性不成立故p是q的充分不必要條件，故選A.6已知a，bR，則使|a|b|>4成立的一個充分不必要條件是()A|a|b|4B|a|4C|a|2且|b|2Db<4解析：選D.由b<4可得|a|b|>4，但由|a|b|>4得不到b<4，如a1，b5.7已知直線l，m，其中只有m在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B.當(dāng)l時，直線l與平面內(nèi)的直線m平行、異面都有可能，所以lm不一定成立；當(dāng)lm時，根據(jù)直線與平面平行的判定定理知直線l，即“l(fā)”是“l(fā)m”的必要不充分條件，故選B.8在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“sin Asin B”是“ab”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C.設(shè)ABC外接圓的半徑為R，若sin Asin B，則2Rsin A2Rsin B，即ab；若ab，則，即sin Asin B，所以在ABC中，“sin Asin B”是“ab”的充要條件，故選C.9設(shè)向量a(1，x1)，b(x1，3)，則“x2”是“ab”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A.依題意，注意到ab的充要條件是1×3(x1)(x1)，即x±2.因此，由x2可得ab，“x2”是“ab”的充分條件；由ab不能得到x2，“x2”不是“ab”的必要條件，故“x2”是“ab”的充分不必要條件，選A.10下列選項中，p是q的必要不充分條件的是()Ap：x1，q：x2xBp：|a|>|b|，q：a2>b2Cp：x>a2b2，q：x>2abDp：ac>bd，q：a>b且c>d解析：選D.A中，x1x2x，x2xx0或x1/ x1，故p是q的充分不必要條件；B中，因為|a|>|b|，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要條件；C中，因為a2b22ab，由x>a2b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要條件；D中，取a1，b1，c0，d3，滿足ac>bd，但是a<b，c>d，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>dac>bd，故p是q的必要不充分條件綜上所述，故選D.11對于原命題：“已知a、b、cR，若ac2bc2，則ab”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題，真命題的個數(shù)為_解析：原命題為真命題，故逆否命題為真；逆命題：若ab，則ac2bc2為假命題，故否命題為假命題，所以真命題個數(shù)為2.答案：212函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對稱的充要條件是_解析：已知函數(shù)f(x)x22x1的圖象關(guān)于直線x1對稱，則m2；反之也成立所以函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對稱的充要條件是m2.答案：m213已知：xa，：|x1|<1.若是的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：xa，可看作集合Ax|xa，因為：|x1|<1，所以0<x<2，所以可看作集合Bx|0<x<2又因為是的必要不充分條件所以BA，所以a0.答案：(，014設(shè)平面與平面相交于直線m，直線a在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且bm，則“ab”是“”的_條件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要，既不充分也不必要)解析：因為，bm，所以b，又直線a在平面內(nèi)，所以ab；又直線a，m不一定相交，所以“ab”是“”的必要不充分條件答案：必要不充分15若命題“ax22ax3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知ax22ax30恒成立，當(dāng)a0時，30成立；當(dāng)a0時，得解得3a<0，故3a0.答案：3，016已知p：2，q：1mx1m(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：法一：由2，得2x10，所以綈p對應(yīng)的集合為x|x>10或x<2，設(shè)Ax|x>10或x<21mx1m(m>0)，所以綈q對應(yīng)的集合為x|x>m1或x<1m，m>0，設(shè)Bx|x>m1或x<1m，m>0因為p是q的必要而不充分條件，所以BA，所以且不能同時取得等號解得m9，所以實數(shù)m的取值范圍為9，)法二：因為p是q的必要而不充分條件，所以q是p的必要而不充分條件即p是q的充分而不必要條件，因為q對應(yīng)的集合為x|1mx1m，m>0，設(shè)Mx|1mx1m，m>0，又由2，得2x10，所以p對應(yīng)的集合為x|2x10，設(shè)Nx|2x10由p是q的充分而不必要條件知NM，所以且不能同時取等號，解得m9.所以實數(shù)m的取值范圍為9，)答案：9，)17給出下列命題：已知集合A1，a，B1，2，3，則“a3”是“AB”的充分不必要條件；“x0”是“l(fā)n(x1)0”的必要不充分條件；“函數(shù)f(x)cos2axsin2ax的最小正周期為”是“a1”的充要條件；“平面向量a與b的夾角是鈍角”的充要條件是“a·b0”其中正確命題的序號是_(把所有正確命題的序號都寫上)解析：因為“a3”可以推出“AB”，但“AB”不能推出“a3”，所以“a3”是“AB”的充分不必要條件，故正確；“x0”不能推出“l(fā)n(x1)0”，但“l(fā)n(x1)0”可以推出“x0”，所以“x0”是“l(fā)n(x1)0”的必要不充分條件，故正確；f(x)cos2axsin2axcos 2ax，若其最小正周期為，則a±1，因此“函數(shù)f(x)cos2axsin2ax的最小正周期為”是“a1”的必要不充分條件，故錯誤；“平面向量a與b的夾角是鈍角”可以推出“a·b0”，但由“a·b0”，得“平面向量a與b的夾角是鈍角或平角”，所以“a·b0”是“平面向量a與b的夾角是鈍角”的必要不充分條件，故錯誤正確命題的序號是.答案：綜合題組練1設(shè)R，則“<”是“sin <”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選A.因為0，sin ，kZ，kZ，所以“”是“sin ”的充分而不必要條件2已知集合A，Bx|1<x<m1，xR，若xB成立的一個充分不必要條件是xA，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：因為Ax|1<x<3，xB成立的一個充分不必要條件是xA，所以AB，所以m1>3，即m>2.答案：m23已知函數(shù)f(x)在(，)上是增函數(shù)，a，bR，對命題“若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)寫出否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫出逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論解：(1)否命題：已知函數(shù)f(x)在(，)上是增函數(shù)，a，bR，若ab<0，則f(a)f(b)<f(a)f(b)該命題是真命題，證明如下：因為ab<0，所以a<b，b<a.又因為f(x)在(，)上是增函數(shù)所以f(a)<f(b)，f(b)<f(a)，因此f(a)f(b)<f(a)f(b)，所以否命題為真命題(2)逆否命題：已知函數(shù)f(x)在(，)上是增函數(shù)，a，bR，若f(a)f(b)<f(a)f(b)，則ab<0.真命題，可通過證明原命題為真來證明它因為ab0，所以ab，ba，因為f(x)在(，)上是增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，故原命題為真命題，所以逆否命題為真命題4已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件解：因為mx24x40是一元二次方程，所以m0.又另一方程為x24mx4m24m50，且兩方程都要有實根，所以解得m.因為兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù)，所以所以m為4的約數(shù)又因為m，所以m1或1.當(dāng)m1時，第一個方程x24x40的根為非整數(shù)；而當(dāng)m1時，兩方程的根均為整數(shù)，所以兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m1.5已知p：x27x120，q：(xa)(xa1)0.(1)是否存在實數(shù)a，使p是q的充分不必要條件，若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由(2)是否存在實數(shù)a，使p是q的充要條件，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由解：因為p：3x4，q：axa1.(1)因為p是q的充分不必要條件，所以pq，且qp，所以qp，且p q，即q是p的充分不必要條件，故x|axa1x|3x4，所以或無解，所以不存在實數(shù)a，使p是q的充分不必要條件(2)若p是q的充要條件，則x|axa1x|3x4，所以解得a3.故存在實數(shù)a3，使p是q的充要條件15