（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 2 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教學(xué)案

《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 2 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 2 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教學(xué)案（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 1．命題 用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系． 3．充分條件、必要條件與充要條件的概念 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 p?q且 p p是q的必要不充分條件 pq且q?p p是q的充要條件 p?q p是q的既不充分也不必

2、要條件 pq且qp [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)“x2＋2x－3＜0”是命題．(　　) (2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則﹁q”．(　　) (3)若原命題為真，則這個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個(gè)為真．(　　) (4)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件．(　　) (5)q不是p的必要條件時(shí)，“p q”成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ [教材衍化] 1．(選修2－1P12A組T2改編)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是________，是________命題(填“

3、真”或“假”) 解析：根據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”． 答案：若x≤y，則x2≤y2　假 2．(選修2－1P12A組T3改編)設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________條件． 解析：2－x≥0，則x≤2，(x－1)2≤1，則－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，據(jù)此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 [易錯(cuò)糾偏] (1)命題的條件與結(jié)論不明確； (2)對(duì)充分必要條件判斷錯(cuò)誤． 1．命題“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝b＝0”的逆否命

4、題是________． 答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0 2．條件p：x>a，條件q：x≥2. (1)若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________； (2)若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是________． 解析：設(shè)A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}， (1)因?yàn)閜是q的充分不必要條件， 所以AB，所以a≥2； (2)因?yàn)閜是q的必要不充分條件， 所以BA，所以a<2. 答案：(1)a≥2　(2)a<2 　　　　　　四種命題的相互關(guān)系及真假判斷 (1)(2020·浙江重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知命題p：“正數(shù)a的平方不

5、等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的(　　) A．逆命題　　　　　 　　　 B．否命題 C．逆否命題 D．否定 (2)(2020·溫州模擬)命題“若x2＋y2＝0，x，y∈R，則x＝y(tǒng)＝0”的逆否命題是(　　) A．若x≠y≠0，x，y∈R，則x2＋y2＝0 B．若x＝y(tǒng)≠0，x，y∈R，則x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，則x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，則x2＋y2≠0 【解析】　(1)命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題，故選B. (2)將原命題的條

6、件和結(jié)論否定，并互換位置即可．由x＝y(tǒng)＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0. 【答案】　(1)B　(2)D (1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)需關(guān)注2點(diǎn) ①對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫． ②若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提． [提醒]　四種命題的關(guān)系具有相對(duì)性，一旦一個(gè)命題定為原命題，相應(yīng)的也就有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”． (2)判斷命題真假的2種方法 ①直接判斷：判斷一個(gè)命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可． ②間接判斷：當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假．　

7、 1．命題“若a2>b2，則a>b”的否命題是(　　) A．若a2>b2，則a≤b　　　　 B．若a2≤b2，則a≤b C．若a≤b，則a2>b2 D．若a≤b，則a2≤b2 解析：選B.根據(jù)命題的否命題若“﹁p，則﹁q”知選B. 2．下列命題中為真命題的是(　　) A．命題“若x＞1，則x2＞1”的否命題 B．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題 C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題 D．命題“若＞1，則x＞1”的逆否命題 解析：選B.對(duì)于A，命題“若x＞1，則x2＞1”的否命題為“若x≤1，則x2≤1”，易知當(dāng)x＝－2時(shí)，x2＝4＞1，故為假命題

8、；對(duì)于B，命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題為“若x＞|y|，則x＞y”，分析可知為真命題；對(duì)于C，命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，易知當(dāng)x＝－2時(shí)，x2＋x－2＝0，故為假命題；對(duì)于D，命題“若＞1，則x＞1”的逆否命題為“若x≤1，則≤1”，易知為假命題，故選B. 　　　　　　充分條件、必要條件的判斷(高頻考點(diǎn)) 充分條件、必要條件的判斷是高考命題的熱點(diǎn)，常以選擇題的形式出現(xiàn)，作為一個(gè)重要載體，考查的知識(shí)面很廣，幾乎涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面．主要命題角度有： (1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系； (2)與命題的真假性相交匯命題．

9、 角度一　判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系 (1)(2019·高考浙江卷)設(shè)a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直線m，n滿足m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　(1)通解：因?yàn)閍>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；當(dāng)ab≤4時(shí)，取a＝8，b＝，滿足ab≤4，但a

10、＋b>4，所以必要性不成立，所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件．故選A. 優(yōu)解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)b＝4－a，b＝的圖象，如圖，則不等式a＋b≤4與ab≤4表示的平面區(qū)域分別是直線a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)與曲線b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知當(dāng)a＋b≤4成立時(shí)，ab≤4成立，而當(dāng)ab≤4成立時(shí)，a＋b≤4不一定成立．故選A. (2)若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件．故選A. 【答案】　(1)A　(2)A 角度二　與

11、命題的真假性相交匯命題 (2020·杭州模擬)下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是(　　) A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件 B．p：A∩B＝A；q：AB，則p是q的充分不必要條件 C．已知數(shù)列{an}，若p：對(duì)于任意的n∈N*，點(diǎn)Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上；q：{an}為等差數(shù)列，則p是q的充要條件 D．“x<0”是“l(fā)n(1＋x)<0”的必要不充分條件 【解析】　選項(xiàng)A：當(dāng)x＝－1時(shí)，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分條件，故A錯(cuò)． 選項(xiàng)B：因?yàn)锳∩B＝AAB(如A＝B)， 而AB?A∩B＝A，從而p q，q?p，

12、 所以p是q的必要不充分條件，故B錯(cuò)． 選項(xiàng)C：因?yàn)镻n(n，an)在直線y＝2x＋1上． 所以an＝2n＋1(n∈N*)， 則an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2， 又由n的任意性可知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，即p?q. 但反之則不成立，如：令an＝n，則{an}為等差數(shù)列，但點(diǎn)(n，n)不在直線y＝2x＋1上，從而q p. 從而可知p是q的充分不必要條件，故C錯(cuò)． 選項(xiàng)D：利用充分條件和必要條件的概念判斷．因?yàn)閘n(x＋1)<0?0

13、要條件的3種常用方法 (1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假． (2)等價(jià)法：利用A?B與﹁B?﹁A，B?A與﹁A?﹁B，A?B與﹁B?﹁A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．　 [提醒]　判斷充要條件需注意3點(diǎn) (1)要分清條件與結(jié)論分別是什么． (2)要從充分性、必要性兩個(gè)方面進(jìn)行判斷． (3)直接判斷比較困難時(shí)，可舉出反例說(shuō)明． 1．(2020·杭州市富陽(yáng)二中高三開學(xué)檢測(cè))若a，b為實(shí)數(shù)，則“ 3a<3b”是“>”的(　　)

14、 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D.根據(jù)題意，若“3a<3b”，則有a”不一定成立，如a＝－3，b＝1；若“>”，則有|a|<|b|，“3a<3b”不一定成立，如a＝1，b＝－3，故“3a<3b”是“>”的既不充分也不必要條件． 2．(2020·“超級(jí)全能生”高考浙江省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin x，x∈[0，2π)，則“f(x)≥0”是“f(x2)≥0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.由f(x)≥0?x∈[0，π

15、]，由f(x2)≥0?x2∈[0，π]?x∈[0，]， 因?yàn)閇0，]?[0，π]，由集合性質(zhì)可知為必要不充分條件． 　　　　　　充分條件、必要條件的應(yīng)用 　(1)已知p：|x＋1|＞2，q：x＞a，且﹁p是﹁q的充分不必要條件，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≤－3 C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)≥1 (2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要條件，則m的取值范圍為________． 【解析】　(1)由|x＋1|＞2，解得x＞1或x＜－3， 因?yàn)棣鑠是﹁q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必

16、要條件， 從而可得(a，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集， 所以a≥1，故選D. (2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P. 則所以0≤m≤3. 所以當(dāng)0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件， 即所求m的取值范圍是[0，3]． 【答案】　(1)D　(2)[0，3] (變問(wèn)法)本例(2)條件不變，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}， 因?yàn)椤皒∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分條件， 所以P?S且S?/ P

17、. 所以[－2，10][1－m，1＋m]． 所以或 所以m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)． 利用充要條件求參數(shù)應(yīng)關(guān)注2點(diǎn) (1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解． (2)端點(diǎn)取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍． [提醒]　含有參數(shù)的問(wèn)題，要注意分類討論．　 　(2020·金華一模)已知命題p：實(shí)數(shù)m滿足m2＋12a2<7am(a>0)，命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為____

18、____． 解析：由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a0. 由＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓， 可得2－m>m－1>0，解得1

19、x2＜y2，如x＝－2，y＝－1，D錯(cuò)誤，故選A. 2．命題“若x＞1，則x＞0”的逆否命題是(　　) A．若x≤0，則x≤1 B．若x≤0，則x＞1 C．若x＞0，則x≤1 D．若x＜0，則x＜1 解析：選A.依題意，命題“若x＞1，則x＞0”的逆否命題是“若x≤0，則x≤1”，故選A. 3．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＋b>0”是“ab>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D.特值法：當(dāng)a＝10，b＝－1時(shí)，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0 ab＞0；當(dāng)a＝－2，b＝－1時(shí)，ab＞0，但a＋

20、b＜0，所以ab＞0 a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要條件． 4．(2020·金華市東陽(yáng)二中高三調(diào)研)若“0b”，條件q：“2a>

21、2b－1”，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.由條件p：“a>b”，再根據(jù)函數(shù)y＝2x是增函數(shù)，可得2a>2b，所以2a>2b－1，故條件q：“2a>2b－1”成立，故充分性成立． 但由條件q：“2a>2b－1”成立，不能推出條件p：“a>b”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p是q的充分不必要條件，故選A. 6．已知a，b∈R，則使|a|＋|b|>4成立的一個(gè)充分不必要條件是(　　) A．|a|＋|b|≥4 B．|a|≥4 C．|a|≥2且|b|≥2 D．b

22、<－4 解析：選D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5. 7．已知直線l，m，其中只有m在平面α內(nèi)，則“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.當(dāng)l∥α?xí)r，直線l與平面α內(nèi)的直線m平行、異面都有可能，所以l∥m不一定成立；當(dāng)l∥m時(shí)，根據(jù)直線與平面平行的判定定理知直線l∥α，即“l(fā)∥α”是“l(fā)∥m”的必要不充分條件，故選B. 8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“sin A＞sin B”是“a＞b”的(　　) A

23、．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，若sin A＞sin B，則2Rsin A＞2Rsin B，即a＞b；若a＞b，則＞，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要條件，故選C. 9．設(shè)向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，則“x＝2”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.依題意，注意到a∥b的充要條件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝

24、2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分條件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要條件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要條件，選A. 10．下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是(　　) A．p：x＝1，q：x2＝x B．p：|a|>|b|，q：a2>b2 C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d 解析：選D.A中，x＝1?x2＝x，x2＝x?x＝0或x＝1?/ x＝1，故p是q的充分不必要條件；B中，因?yàn)閨a|>|b|，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要條件；C中，因?yàn)閍2＋b2≥2ab，由

25、x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要條件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，滿足a＋c>b＋d，但是ad，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d?a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分條件．綜上所述，故選D. 11．對(duì)于原命題：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，則a＞b”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題，真命題的個(gè)數(shù)為________． 解析：原命題為真命題，故逆否命題為真； 逆命題：若a＞b，則ac2＞bc2為假命題，故否命題為假命題，所以真命題個(gè)數(shù)為2. 答案：2 12．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充

26、要條件是________． 解析：已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則m＝－2；反之也成立．所以函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是m＝－2. 答案：m＝－2 13已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}， 因?yàn)棣拢簗x－1|<1，所以0

27、內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“a⊥b”是“α⊥β”的________條件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要，既不充分也不必要)． 解析：因?yàn)棣痢挺拢琤⊥m，所以b⊥α，又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b；又直線a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 15．若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意知ax2－2ax－3≤0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，－3≤0成立；當(dāng)a≠0時(shí)，得解得－3≤a<0，故－3≤a≤0. 答案：[－3，0] 16．已知p：≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且

28、綈p是綈q的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． 解析：法一：由≤2，得－2≤x≤10， 所以綈p對(duì)應(yīng)的集合為{x|x>10或x<－2}， 設(shè)A＝{x|x>10或x<－2}． 1－m≤x≤1＋m(m>0)， 所以綈q對(duì)應(yīng)的集合為{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}， 設(shè)B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}． 因?yàn)棣鑠是﹁q的必要而不充分條件，所以BA， 所以且不能同時(shí)取得等號(hào)． 解得m≥9，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)． 法二：因?yàn)棣鑠是﹁q的必要而不充分條件， 所以q是p的必要而不充分條件． 即p是q的充分而不必要條件， 因?yàn)閝對(duì)

29、應(yīng)的集合為{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 設(shè)M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 又由≤2，得－2≤x≤10， 所以p對(duì)應(yīng)的集合為{x|－2≤x≤10}， 設(shè)N＝{x|－2≤x≤10}． 由p是q的充分而不必要條件知NM， 所以且不能同時(shí)取等號(hào)，解得m≥9. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞) 17．給出下列命題： ①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件； ②“x＜0”是“l(fā)n(x＋1)＜0”的必要不充分條件； ③“函數(shù)f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為π”是“a＝1”的充

30、要條件； ④“平面向量a與b的夾角是鈍角”的充要條件是“a·b＜0”．其中正確命題的序號(hào)是________．(把所有正確命題的序號(hào)都寫上) 解析：①因?yàn)椤癮＝3”可以推出“A?B”，但“A?B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件，故①正確；②“x＜0”不能推出“l(fā)n(x＋1)＜0”，但“l(fā)n(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“l(fā)n(x＋1)＜0”的必要不充分條件，故②正確；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，若其最小正周期為π，則＝π?a＝±1，因此“函數(shù)f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為π”是“a＝1”的必

31、要不充分條件，故③錯(cuò)誤；④“平面向量a與b的夾角是鈍角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a與b的夾角是鈍角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a與b的夾角是鈍角”的必要不充分條件，故④錯(cuò)誤．正確命題的序號(hào)是①②. 答案：①② [綜合題組練] 1．設(shè)θ∈R，則“<”是“sin θ<”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.因?yàn)椋?－＜θ－＜?0＜θ＜， sin θ＜?θ∈，k∈Z， ，k∈Z， 所以“＜”是“sin θ＜”的充分而不必要條件． 2．已知集合A＝，B＝{x|－1

32、3，即m>2. 答案：m＞2 3．已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，對(duì)命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”． (1)寫出否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論； (2)寫出逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論． 解：(1)否命題：已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)

33、a)＋f(－b)．該命題是真命題，證明如下： 因?yàn)閍＋b<0，所以a<－b，b<－a. 又因?yàn)閒(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．所以f(a)

34、－a)＋f(－b)， 故原命題為真命題，所以逆否命題為真命題． 4．已知兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件． 解：因?yàn)閙x2－4x＋4＝0是一元二次方程， 所以m≠0. 又另一方程為x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且兩方程都要有實(shí)根， 所以 解得m∈. 因?yàn)閮煞匠痰母际钦麛?shù)， 故其根的和與積也為整數(shù)， 所以 所以m為4的約數(shù)． 又因?yàn)閙∈， 所以m＝－1或1. 當(dāng)m＝－1時(shí)，第一個(gè)方程x2＋4x－4＝0的根為非整數(shù)； 而當(dāng)m＝1時(shí)，兩方程的根均為整數(shù)， 所以兩方程的根均為整數(shù)的充

35、要條件是m＝1. 5．已知p：x2－7x＋12≤0，q：(x－a)(x－a－1)≤0. (1)是否存在實(shí)數(shù)a，使﹁p是﹁q的充分不必要條件，若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使p是q的充要條件，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：因?yàn)閜：3≤x≤4，q：a≤x≤a＋1. (1)因?yàn)棣鑠是﹁q的充分不必要條件， 所以﹁p?﹁q，且﹁q﹁p，所以q?p，且p q， 即q是p的充分不必要條件， 故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x≤4}， 所以或無(wú)解， 所以不存在實(shí)數(shù)a，使﹁p是﹁q的充分不必要條件． (2)若p是q的充要條件，則{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x≤4}，所以 解得a＝3. 故存在實(shí)數(shù)a＝3，使p是q的充要條件． 15