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1、高中數(shù)學(xué) 單元測評一 統(tǒng)計案例 新人教A版選修1-2
一、選擇題:本大題共10小題,共50分.
1.在對兩個變量x,y進行回歸分析時有下列步驟:
①對所求出的回歸方程作出解釋;②收集數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,n;③求回歸方程;④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點圖.
則下列操作順序正確的是( )
A.①②④③ B.③②④①
C.②③①④ D.②④③①
解析:根據(jù)回歸分析的思想,可知對兩個變量x,y進行回歸分析時,應(yīng)先收集數(shù)據(jù)(xi,yi),然后繪制散點圖,再求回歸方程,最后對所求的回歸方程作出解釋,因此選D.
答案:D
2.若殘差平方和是325,總偏差平方和
2、是923,則隨機誤差對預(yù)報變量變化的貢獻率約為( )
A.64.8% B.60% C.35.2% D.40%
解析:相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量對預(yù)報變量變化的貢獻率,故隨機誤差對預(yù)報變量變化的貢獻率為×100%=×100%≈35.2%.
答案:C
3.已知呈線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y之間的關(guān)系如下表所示,則回歸直線一定過點( )
x
0.1
0.2
0.3
0.5
y
2.11
2.85
4.08
10.15
A.(0.1,2.11) B.(0.2,2.85)
C.(0.3,4.08) D.(0.275,4.797 5)
解析:回歸直線一定過點
3、(,),通過表格中的數(shù)據(jù)計算出和,易知選D.
答案:D
4.在建立兩個變量y與x的回歸模型中,分別選擇了4個不同模型,它們的相關(guān)指數(shù)R2如下四選項,其中擬合得最好的模型為( )
A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.75
B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.90
C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.25
D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.55
解析:相關(guān)指數(shù)R2的值越大,意味著殘差平方和越小,也就是說模型的擬合效果越好,故選B.
答案:B
5.下列說法:①對事件A與B的檢驗無關(guān),即兩個事件互不影響;②事件A與B關(guān)系越密切,K2就越大;③K2的大小是判定事件A與B是否相關(guān)的唯一數(shù)據(jù);④若判定兩事件A
4、與B有關(guān),則A發(fā)生B一定發(fā)生.
其中正確的個數(shù)為( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
解析:對于①,事件A與B的檢驗無關(guān),只是說兩事件的相關(guān)性較小,并不一定兩事件互不影響,故①錯誤;②正確;對于③,判斷A與B是否相關(guān)的方式很多,可以用列聯(lián)表,也可以借助圖形或概率運算,故③錯誤;對于④,兩事件A與B有關(guān),說明兩者同時發(fā)生的可能性相對來說較大,但并不是A發(fā)生了B一定發(fā)生,故④錯誤.正確的只有1個.
答案:A
6.觀察兩個變量(存在線性相關(guān)關(guān)系)得如下數(shù)據(jù):
x
-10
-6.99
-5.01
-2.98
3.98
5
7.99
8.01
y
-
5、9
-7
-5
-3
4.01
4.99
7
8
則兩變量間的線性回歸方程為( )
A.=x+1 B.=x
C.=2x+ D.=x+1
解析:由于線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點的中心(,),所以本題只需求出,,然后代入所給選項進行檢驗,即可得到答案.由表中數(shù)據(jù)可得,=0,=0,只有B項中的方程過(0,0)點,故選B.
答案:B
7.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
廣告費用x(萬元)
4
2
3
5
銷售額y(萬元)
49
26
39
54
根據(jù)上表可得回歸方程=x+中的為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為( )
6、
A.63.6萬元 B.65.5萬元
C.67.7萬元 D.72.0萬元
解析:由數(shù)據(jù)統(tǒng)計表可得=3.5,=42,據(jù)回歸直線的性質(zhì)得點(3.5,42)在回歸直線上,代入方程=9.4x+可得=9.1,故回歸直線方程為=9.4x+9.1,因此當(dāng)x=6時,估計銷售額=9.4×6+9.1=65.5萬元.
答案:B
8.設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是變量x和y的n個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖),以下結(jié)論中正確的是( )
A.x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率
B.x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間
C.當(dāng)n為偶數(shù)時,分布在
7、l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同
D.直線l過點(x,y)
解析:由于線性回歸方程可設(shè)為=+x,而系數(shù)的計算公式為=-,故應(yīng)選D.
答案:D
9.通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:
男
女
總計
愛好
40
20
60
不愛好
20
30
50
總計
60
50
110
由K2=算得
K2=≈7.8.
附表:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
參照附表,得到的正確結(jié)論是( )
A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項
8、運動與性別有關(guān)”
B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
解析:由已知條件可得K2≈7.8>6.635,可得P=0.01,∴有1-0.01=99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”.
答案:C
10.為預(yù)測某種產(chǎn)品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)取了8組觀察值.計算知xi=52,yi=228,x=478,xiyi=1 849,則y對x的回歸方程是( )
A.=11.47+2.62x B.=-11.47
9、+2.62x
C.=2.62+11.47x D.=11.47-2.62x
解析:由=,=-,直接計算得≈2.62,≈11.47,所以=2.62x+11.47.
答案:A
第Ⅱ卷(非選擇題,共70分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
11.如果由一個2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得k=4.073,那么有__________的把握認為兩變量有關(guān)系,已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.
解析:∵K2=k=4.071>3.841,又P(K2≥3.841)≈0.05,∴有95%的把握認為兩變量有關(guān)系.
答案:95%
12.某醫(yī)療研
10、究所為了檢驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用,把500名使用血清的人與另外500名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設(shè)H0:“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”,利用2×2列聯(lián)表計算得K2≈3.918,經(jīng)查對臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05,對此,四名同學(xué)作出了以下的判斷:
p:有95%的把握認為“能起到預(yù)防感冒的作用”;
q:如果某人未使用該血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒:
r:這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%;
s:這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.
則下列結(jié)論中,正確結(jié)論的序號是__________.
(1)p∧綈q;(2)綈p∧q;(3)(綈p∧綈q)∧(r
11、∨s);(4)(p∨綈r)∧(綈q∨s).
解析:由題意,K2≈3.918,P(K2≥3.841)≈0.05,所以只有第一位同學(xué)判斷正確.即有95%的把握認為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”由真值表知(1),(4)為真命題.
答案:(1)(4)
13.調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位:萬元)和年飲食支出y(單位:萬元),調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系,并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程:=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知,家庭年收入每增加1萬元,年飲食支出平均增加__________萬元.
解析:回歸直線方程中=bx+a字母b的意義表示隨著自變量增加或
12、減少1個單位的函數(shù)值的變化量,即函數(shù)的年平均變化率.即本題中收入每增加1萬元,飲食支出平均增加0.254萬元.
答案:0.254
14.某數(shù)學(xué)老師身高176 cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm,170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān),該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為__________cm.
解析:根據(jù)題意列表如下:身高y(單位:cm)
x
1
2
3
4
y
170
173
176
182
xiyi=1 772,=,=+170,x=30,所以===3.9,=-=+170-3.9×=165.5,所以線性回歸方程為=x+=3
13、.9x+165.5,將x=5代入得該老師孫子的身高估計值為3.9×5+165.5=185 cm.
答案:185
三、解答題:本大題共4小題,滿分50分.
15.(12分)抽測了10名15歲男生的身高x(單位:cm)和體重y(單位:kg),得到如下數(shù)據(jù):
x
157
153
151
158
156
159
160
158
160
162
y
45.5
44
42
46
44.5
45
46.5
47
45
49
(1)畫出散點圖;
(2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)身高與體重近似成什么關(guān)系嗎?
(3)如果近似成線性關(guān)系,試畫出一條直線來近似地表示
14、這種關(guān)系.
解:(1)散點圖如下圖所示:
(4分)
(2)從散點圖可知,當(dāng)身高增加時,體重也增加,而且這些點在一條直線附近擺動,因此身高與體重線性相關(guān).(8分)
(3)作出直線如下圖所示.(12分)
16.(12分)某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚?
學(xué)生
學(xué)科
A
B
C
D
E
數(shù)學(xué)成績(x)
88
76
73
66
63
物理成績(y)
78
65
71
64
61
(1)畫出散點圖;
(2)求物理成績y對數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程;
(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96分,試預(yù)測他的物理成績.
解:(1)散點圖如下圖所示
15、:
(4分)
(2)=×(88+76+73+66+63)=73.2.
=×(78+65+71+64+61)=67.8.
iyi=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25 054.
=882+762+732+662+632=27 174.
∴=≈0.625.
∴=-=67.8-0.625×73.2=22.05.
∴y對x的線性回歸方程是=0.625x+22.05.
(8分)
(3)當(dāng)x=96,則=0.625×96+22.05≈82.
所以預(yù)測他的物理成績是82分.(12分)
17.(12分)某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度
16、進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
積極參加班級工作
不太主動參加班級工作
合計
學(xué)習(xí)積極性高
18
7
25
學(xué)習(xí)積極性一般
6
19
25
合計
24
26
50
(1)如果隨機抽查這個班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系?并說明理由?
解:(1)積極參加班級工作的學(xué)生有24人,總?cè)藬?shù)為50人.概率為=;不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生有19人,概率為.(6分)
(2)由表中
17、數(shù)據(jù)可得
K2==≈11.5>10.828,
∴有99.9%的把握說學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系.(12分)
18.(14分)研究“剎車距離”對于安全行車及分析交通事故責(zé)任都有一定的作用,所謂“剎車距離”就是指行駛中的汽車,從剎車開始到停止,由于慣性的作用而又繼續(xù)向前滑行的一段距離.為了測定某種型號汽車的剎車性能(車速不超過140 km/h),對這種汽車進行測試,測得的數(shù)據(jù)如下表:
剎車時的車速(km/h)
0
10
20
30
40
50
60
剎車距離(m)
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
(1)以車速為x軸,以剎車距
18、離為y軸,在給定坐標系中畫出這些數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)觀察散點圖,估計函數(shù)的類型,并確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)表達式;
(3)該型號汽車在國道上發(fā)生了一次交通事故,現(xiàn)場測得剎車距離為46.5 m,請推測剎車時的速度為多少?請問在事故發(fā)生時,汽車是超速行駛還是正常行駛?
解:(1)散點圖如圖表示:
(4分)
(2)由圖象,設(shè)函數(shù)的表達式為y=ax2+bx+c(a≠0),將(0,0),(10,0.3)(20,1.0)代入,得
解得a=0.002,b=0.01,c=0.
所以,函數(shù)的表達式為y=0.002x2+0.01x(0≤x≤140).
經(jīng)檢驗,表中其他各值也符合此表達式.(10分)
(3)當(dāng)y=46.5時,即0.002x2+0.01x=46.5,
所以x2+5x-23 250=0.
解得x1=150,x2=-155(舍去).
故可推測剎車時的速度為150 km/h,而150>140,
因此發(fā)生事故時,汽車屬于超速行駛.
(14分)