2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)述的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積課時(shí)作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)述的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積課時(shí)作業(yè) 1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為(　　) A．12　　　　　　　 B．8 C．－8 D．2 解析：∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12. 答案：A 2．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 解析：由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得

2、m＝8，故選D. 答案：D 3．(2018·云南五市聯(lián)考)在如圖所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為線段BC上的點(diǎn)，則·的最小值為(　　) A．12 B．15 C．17 D．16 解析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,4)，D(2,4)，設(shè)E(x,0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是當(dāng)x＝1，即E為BC的中點(diǎn)時(shí)，·取得最小值15，故選B. 答案：B 4．(2018·昆明市檢測)已知a，b為單位向量，設(shè)a與b的夾角為，則a與a－b的夾角

3、為(　　) A. B． C. D． 解析：由題意，得a·b＝1×1×cos＝，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，所以cos〈a，a－b〉＝＝＝1－＝，所以〈a，a－b〉＝，故選B. 答案：B 5．在△ABC中，BC＝5，G，O分別為△ABC的重心和外心，且·＝5，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．上述三種情況都有可能 解析：設(shè)M為BC的中點(diǎn)，G在BC上的射影為H，A在BC上的射影為N，由·＝5，又BC＝5，知在上的投影為1，即MH＝1，∴HC＝1.5， 又＝＜，A在BC上的射影在MC的延長線上，∴△

4、ABC為鈍角三角形，故選B. 答案：B 6．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，則|c|＝__________. 解析：由題意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8. 答案：8 7．已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________. 解析：由題意，將b·c＝[t a＋(1－t)b]·b整理得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2. 答案：2 8．(2018·九江市模擬)若向量a＝(1,1)

5、與b＝(λ，－2)的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是________． 解析：根據(jù)題意，若向量a＝(1,1)與b＝(λ，－2)的夾角為鈍角，則a·b＜0，且a與b不共線， 即有a·b＝1×λ＋1×(－2)＝λ－2＜0，且1×λ≠1×(－2)， 解可得：λ＜2，且λ≠－2， 即λ的取值范圍是(－∞，－2)∪(－2,2)． 答案：(－∞，－2)∪(－2,2) 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解析：(1)若m⊥n，則m·n＝0. 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin

6、x－·cos x＝0，∴tan x＝1. (2)∵m與n的夾角為， ∴m·n＝|m||n|cos＝1×1×＝， 即sin x－cos x＝， ∴sin＝. 又∵x∈， ∴x－∈， ∴x－＝，即x＝. 10．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C. (1)求角C的大??； (2)若sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列，且·(－)＝18，求邊c的長． 解析：(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)， 對于△ABC，A＋B＝π－C

7、,0

8、t的值為(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故選B. 答案：B 2．(2018·合肥市質(zhì)檢)已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，則下列關(guān)系可能成立的是(　　) A．(a－b)⊥a B．(a－b)⊥(a＋b) C．(a＋b)⊥b D．(a＋b)⊥a 解析：|a|＝2，|b|＝1，設(shè)向量a，b的夾角為θ，若(a－b)⊥a，則(a－b)·a＝a2－a·b＝4－2cos θ＝0，解得cos θ＝2，顯然θ不存在，故A不成立；若(a－b)⊥(a＋b)，則(

9、a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝4－1＝3≠0，故B不成立；若(a＋b)⊥b，則(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋2cos θ＝0，解得cos θ＝－，即θ＝，故C成立；若(a＋b)⊥a，則(a＋b)·a＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝0，解得cos θ＝－2，顯然θ不存在，故D不成立．故選C. 答案：C 3．設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量運(yùn)算ab＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝，n＝，點(diǎn)P(x′，y′)在y＝sin x的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q(x，y)是函數(shù)y＝f(x)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足＝m＋n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)y＝f(x)的值域是(　　)

10、 A. B． C．[－1,1] D．(－1,1) 解析：由＝m＋n得(x，y)＝(2x′＋，sin x′)，∴， ∴y＝sin(－)∈[－，]，故選A. 答案：A 4．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－ B． C. D． 解析：如圖所示，＝＋.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，則·＝·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又||＝||＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.故選B. 答案：B 5．已知平面向量

11、a、b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝，若向量c滿足|a－b＋c|≤1，則|c|的最大值為________． 解析：由平面向量a、b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝， 可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1·1·cos〈a，b〉＝， 由0≤〈a，b〉≤π，可得〈a，b〉＝， 設(shè)a＝(1,0)，b＝(，)，c＝(x，y)， 則|a－b＋c|≤1，即有|(＋x，y－)|≤1， 即為(x＋)2＋(y－)2≤1， 故|a－b＋c| ≤1的幾何意義是在以(－，)為圓心，半徑等于1的圓上和圓內(nèi)部分， |c|的幾何意義是表示向量c的終點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，而原點(diǎn)在圓上， 則最大值為圓的直徑，即

12、為2. 答案：2 6．(2018·武漢市模擬)如圖，在等腰三角形ABC中，已知|AB|＝|AC|＝1，∠A＝120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且＝λ，＝μ，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ＝1.若線段EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則||的最小值為________． 解析：連接AM，AN，由·＝||·||cos＝－，＝(＋)＝(λ＋μ)，＝(＋)，＝－＝(1－λ)＋(1－μ)，||2＝[(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2]＝(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2，由λ＋4μ＝1?1－λ＝4μ，可得||2＝μ2－μ＋，∵λ，μ∈(0,1)，∴當(dāng)μ＝時(shí)，|

13、|2取最小值，||的最小值為，∴||的最小值為. 答案： 7．(2017·高考江蘇卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值． 解析：(1)因?yàn)閍＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cos x≠0. 于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos

14、x－sin x＝2cos. 因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋∈， 從而－1≤cos≤. 于是，當(dāng)x＋＝，即x＝0時(shí)，f(x)取到最大值3； 當(dāng)x＋＝π，即x＝時(shí)，f(x)取到最小值－2. 8．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.向量m＝(a，b)與n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積． 解析：(1)因?yàn)閙∥n， 所以asin B－bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，從而tan A＝， 由于00，所以c＝3. 故△ABC的面積為bcsin A＝.