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1、2022屆高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題四 概率與統(tǒng)計規(guī)范答題示范學案 理
【典例 】 (12分)(2017·全國Ⅲ卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25
2、,30)
[30,35)
[35,40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?
[信息提取]
?看到求X的分布列,想到依據(jù)題目中的信息確定X的取值及相應(yīng)概率;
?看到求Y的數(shù)學期望達到最大值,想到利用數(shù)學期望公式,列出關(guān)于進貨量n的函數(shù)關(guān)系式,由函數(shù)的單調(diào)性求解.
[規(guī)范解答]
(1)由題意知,X所有的可能取值為20
3、0,300,500,1分
由表格數(shù)據(jù)知,
(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200≤n≤500.
當300≤n≤500時,
若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n,
若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
……………………………………………………8分
當200≤n<300時,
若最高氣溫
4、不低于20,則Y=6n-4n=2n;
若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
……………………………………………………10分
所以n=300時,Y的數(shù)學期望達到最大值,最大值為520元.
……………………………………………………12分
[高考狀元滿分心得]
?寫全得分步驟:對于解題過程中是得分點的步驟,有則給分,無則沒分,所以對于得分點步驟一定要寫全.如第(1)問中,寫出X所有可能取值得分,第(2)問中分當300≤n≤500時和200≤n<300時進行分析才
5、能得滿分.
?寫明得分關(guān)鍵:對于解題過程中的關(guān)鍵點,有則給分,無則沒分,所以在答題時一定要寫清得分關(guān)鍵點,如第(1)問應(yīng)寫出求分布列的過程,第(2)問應(yīng)寫出不同范圍內(nèi)Y的數(shù)學期望.
[解題程序]
第一步:確定隨機變量的取值;
第二步:求每一個可能值的概率,列出隨機變量的分布列;
第三步:根據(jù)題目所要解決的問題,確定自變量及其取值范圍;
第四步:確定利潤Y與進貨量的函數(shù)關(guān)系;
第五步:求出利潤的數(shù)學期望E(Y)與進貨量n的關(guān)系;
第六步:利用函數(shù)的性質(zhì),求E(Y)的最大值;
第七步:反思回顧、查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范.
【鞏固提升】 某大型水果超市每天以10元/千克的價格
6、從水果基地購進若干A水果,然后以15元/千克的價格出售,若有剩余,則將剩余的水果以8元/千克的價格退回水果基地,為了確定進貨數(shù)量,該超市記錄了A水果最近50天的日需求量(單位:千克),整理得下表:
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
頻數(shù)
5
10
8
8
7
7
5
以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.
(1)若該超市一天購進A水果150千克,記超市當天A水果獲得的利潤為X(單位:元),求X的分布列及其數(shù)學期望;
(2)若該超市計劃一天購進A水果150千克或160千克,請以當天A水果獲得的利潤的期望值為決策依
7、據(jù),在150千克與160千克之中選其一,應(yīng)選哪一個?若受市場影響,剩余的水果以7元/千克的價格退回水果基地,又該選哪一個?
解 (1)若A水果日需求量為140千克,
則X=140×(15-10)-(150-140)×(10-8)=680(元),且P(X=680)==0.1.
若A水果日需求量不小于150千克,
則X=150×(15-10)=750(元),且P(X=750)=1-0.1=0.9.
故X的分布列為
X
680
750
P
0.1
0.9
E(X)=680×0.1+750×0.9=743(元).
(2)設(shè)該超市一天購進A水果160千克,當天的利潤為Y(單位:
8、元),
則Y的可能取值為140×5-20×2,150×5-10×2,160×5,
即660,730,800,
Y的分布列為
Y
660
730
800
P
0.1
0.2
0.7
E(Y)=660×0.1+730×0.2+800×0.7=772(元).
因為772>743,所以該超市應(yīng)購進160千克.
若剩余的水果以7元/千克的價格退回水果基地,同理可得X,Y的分布列分別為
X
670
750
P
0.1
0.9
Y
640
720
800
P
0.1
0.2
0.7
因為670×0.1+750×0.9<640×0.1+720×0.2+800×0.7,
所以該超市還是應(yīng)購進160千克.