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1、2022屆高考數(shù)學一輪復習 第九章 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 課堂達標53 古典概型 文 新人教版
1.(2018·蘭州模擬)將一顆骰子擲兩次,觀察出現(xiàn)的點數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n,向量p=(m,n),q=(3,6).則向量p與q共線的概率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由題意可得:基本事件(m,n)(m,n=1,2,…,6)的個數(shù)=6×6=36.
若p∥q,則6m-3n=0,得到n=2m.滿足此條件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三個基本事件.因此向量p與q共線的概率為P==.
[答案] D
2.從2名男生和2名女生中任意
2、選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 設2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,共有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B1 12種情況,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2 4種情況,則發(fā)生的概率為P==,故選A.
[答案] A
3.(2017·課標Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨
3、機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( )
A. B.
C. D.
[解析]如下表所示,表中的點橫坐標表示第一次取到的數(shù),縱坐標表示第二次取到的數(shù)
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3
4、)
(5,4)
(5,5)
總計有25種情況,滿足條件的有10種所以所求概率為=.
[答案] D
4.(2018·哈爾濱模擬)設a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},則函數(shù)f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[1,2]上有零點的概率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 已知f′(x)=3x2+a>0,
所以f(x)在R上遞增,若f(x)在[1,2]上有零點,
則需經(jīng)驗證有(1,2),(1,4),(1,8),(2,4),(2,8),(2,12),(3,4),(3,8),(3,12),(4,8),(4,12),共11對滿足條件,而總的情況有16種,故所求
5、概率為.
[答案] C
5.在平面直角坐標系xOy中,不等式組表示的平面區(qū)域為W,從W中隨機取點M(x,y).若x∈Z,y∈Z,則點M位于第二象限的概率為( )
A. B.
C.1- D.1-
[解析] 畫出平面區(qū)域,列出平面區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點如下:
(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共12個,其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2),共2個,所以所求概率P=.
[答案] A
6.拋擲兩枚均勻的骰子,得到的點數(shù)分別為a,b,那么直線+=1的斜率k≥-的概率
6、為( )
A. B.
C. D.
[解析] 記a,b的取值為數(shù)對(a,b),由題意知a,b的所有可能取值有(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),(3,1),(3,2),…,(3,6),(4,1),(4,2),…,(4,6),(5,1),(5,2),…,(5,6),(6,1),(6,2),…,(6,6),共36種.由直線+=1的斜率k=-≥-,知≤,那么滿足題意的a,b可能的取值為(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有9種,所以所求概率為=.
[答案] D
7
7、.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a,b,則直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點的概率為______.
[解析] 依題意,將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36種,其中滿足直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點,即滿足≤,a2≤b2的數(shù)組(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6),共6+5+4+3+2+1=21種,因此所求的概率等于=.
[答案]
8.投擲兩顆骰子,得到其向上的點數(shù)分別為m和n,則復數(shù)(m+ni)(n-mi)為實數(shù)的概率為_____
8、_.
[解析] 因為(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i,所以要使其為實數(shù),須n2-m2,即m=n.由已知得,事件的總數(shù)為36,m=n,有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)共6個,所以所求概率為P==.
[答案]
9.(2018·宣武模擬)曲線C的方程為+=1,其中m,n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數(shù),事件A=“方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓”,那么P(A)=__________.
[解析] 試驗中所含基本事件個數(shù)為36;若想表示橢圓,由m>n,有(2,1),(3,1),…(6,5),共1+2+3+4+5=15種情況,因此P(A)
9、==.
[答案]
10.(2018·太原模擬)某工廠對一批共50件的機器零件進行分類檢測,其重量(克)統(tǒng)計如下:
重量段
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
件數(shù)
5
m
12
n
規(guī)定重量在82克及以下的為甲型,重量在85克及以上的為乙型,已知該批零件有甲型2件.
(1)從該批零件中任選1件,若選出的零件重量在[95,100]內(nèi)的概率為0.26,求m的值.
(2)從重量在[80,85)的5件零件中,任選2件,求其中恰有1件為甲型的概率.
[解] (1)由題意可得n=0.26×50=13,
則m=50-5-12-13=20.
10、(2)設“從重量在[80,85)的5件零件中,任選2件,其中恰有1件為甲型”為事件A,記這5件零件分別為a,b,c,d,e,其中甲型為a,b.
從這5件零件中任選2件,所有可能的情況為ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種.
其中恰有1件為甲型的情況有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6種.所以P(A)==.
即從重量在[80,85)的5件零件中,任選2件,其中恰有1件為甲型的概率為.
[B能力提升練]
1.(2018·太原二模)記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m,n,向量a=(m,n),與向量b=(1,0)的夾角為α,則α∈的概率為( )
A
11、. B.
C. D.
[解析] 法一:依題意,向量a=(m,n)共有6×6=36(個),其中滿足向量a=(m,n)與向量b=(1,0)的夾角α∈,即n<m的(m,n)可根據(jù)n的具體取值進行分類計數(shù):第一類,當n=1時,m有5個不同的取值;第二類,當n=2時,m有4個不同的取值;第三類,當n=3時,m有3個不同的取值;第四類,當n=4時,m有2個不同的取值;第五類,當n=5時,m有1個取值,
因此滿足向量a=(m,n)與向量b=(1,0)的夾角α∈的(m,n)共有1+2+3+4+5=15(個),所以所求概率為=.
法二:依題意可得向量a=(m,n)共有6×6=36(個),其中滿
12、足向量a=(m,n)
與向量b=(1,0)的夾角α∈,即n<m的向量a=(m,n)有=15(個),所以所求概率為=.
[答案] B
2.(2018·江南十校聯(lián)考)已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}.定義映射f:M→N,則從中任取一個映射滿足自由點A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))構成△ABC且AB=BC的概率為( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵集合M={1,2,3},N={1,2,3,4},
∴映射f:M→N有43=64種,
∵由點A(1,f(1)),B(2,f(2)),
C(3,f(3))構成△ABC且AB=B
13、C,
∴f(1)=f(3)≠f(2),
∵f(1)=f(3)有4種選擇,f(2)有3種選擇,
∴從中任取一個映射滿足由點A(1,f(1)),
B(2,f(2)),C(3,f(3))構成△ABC且AB=BC的事件有4×3=12種,
∴所求概率為=.
[答案] C
3.某學校成立了數(shù)學、英語、音樂3個課外興趣小組,3個小組分別有39、32、33個成員,一些成員參加了不止一個小組,具體情況如圖所示.現(xiàn)隨機選取一個成員,他屬于至少2個小組的概率是____,他屬于不超過2個小組的概率是____.
[解析] “至少2個小組”包含“2個小組”和“3個小組”兩種情況,故他屬于至少2個小組的
14、概率為P==.
“不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”,其對立事件是“3個小組”.
故他屬于不超過2個小組的概率是P=1-=.
[答案] ;
4.現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者,分別用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的數(shù)學成績優(yōu)秀,B1,B2的物理成績優(yōu)秀,C1,C2的化學成績優(yōu)秀.從中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名,組成一個小組代表學校參加競賽,則A1和B1不全被選中的概率為______.
[解析] 從這7人中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名,
所以可能的結果組成的12個基本事件為:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(
15、A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2).
設“A1和B1不全被選中”為事件N,
則其對立事件表示“A1和B1全被選中”,
由于={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},
所以P()==,
由對立事件概率計算公式得P(N)=1-P()=1-=.
[答案]
5.一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字,現(xiàn)隨機投擲兩次,正四面體面朝下的數(shù)字分別為b,c.
(1)z=(b-3)2+(
16、c-3)2,求z=4的概率;
(2)若方程x2-bx-c=0至少有一根x∈,就稱該方程為“漂亮方程”,求方程為“漂亮方程”的概率.
[解析] (1)因為是投擲兩次,因此基本事件(b,c):
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16個.
當z=4時,(b,c)的所有取值為(1,3),(3,1),
所以P(z=4)==.
(2)①若方程一根為x=1,則1-b-c=0,
即b+c=1,不成立.
②若方程一根為x=2,則4-2b-c
17、=0,
即2b+c=4,所以
③若方程一根為x=3,則9-3b-c=0,
即3b+c=9,所以
④若方程一根為x=4,則16-4b-c=0,
即4b+c=16,所以由①②③④知,
(b,c)的所有可能取值為(1,2),(2,3),(3,4).
所以方程為“漂亮方程”的概率為P=.
[C尖子生專練]
(2018·鄭州市第二次質量預測)最新高考改革方案已在上海和江蘇開始實施,某教育機構為了解我省廣大師生對新高考改革方案的看法,對某市部分學校500名師生進行調查,統(tǒng)計結果如下:
贊成改革
不贊成改革
無所謂
教師
120
y
40
學生
x
z
130
18、在全體師生中隨機抽取1名“贊成改革”的人是學生的概率為0.3,且z=2y.
(1)現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進行問卷調查,則應抽取“不贊成改革”的教師和學生人數(shù)各是多少?
(2)在(1)中所抽取的“不贊成改革”的人中,隨機選出三人進行座談,求至少有一名教師被選出的概率.
[解] (1) 由題意知=0.3,∴x=150,所以y+z=60,因為z=2y,所以y=20,z=40,則應抽取教師人數(shù)×20=2,應抽取學生人數(shù)×40=4.
(2)所抽取的“不贊成改革”的2名教師記為a,b,4名學生記為1,2,3,4,隨機選出三人的不同選法有(a,b,1),(a,b,2),(a
19、,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2)(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共20種,
至少有一名教師的選法有(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2)(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4)共16種,至少有一名教師被選出的概率P==.