《2022-2023版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機變量學案 新人教A版選修2-3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022-2023版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機變量學案 新人教A版選修2-3（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、2022-2023版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機變量學案 新人教A版選修2-3
學習目標 1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義.2.了解隨機變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系．
知識點一 隨機變量
思考1 拋擲一枚質地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結果，這種試驗結果能用數(shù)字表示嗎？
答案 可以，可用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上．
思考2 在一塊地里種10棵樹苗，成活的棵數(shù)為x，則x可取哪些數(shù)字？
答案 x＝0,1,2,3，…，10.
梳理 (1)定義
在隨機試驗中，可以確定一個對應關系，使得每一個試驗
2、結果都用一個確定的數(shù)字表示，數(shù)字隨著試驗結果的變化而變化，像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．
(2)隨機變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
知識點二 隨機變量與函數(shù)的關系
相同點
隨機變量和函數(shù)都是一種一一對應關系
區(qū)別
隨機變量是隨機試驗的結果到實數(shù)的一一對應，函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的一一對應
聯(lián)系
隨機試驗結果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數(shù)的值域
知識點三 離散型隨機變量
1．定義：所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量．
2．特征：
(1)可用數(shù)字表示．
(2)試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值．
(3)在試驗之
3、前不能確定取何值．
(4)試驗結果能一一列出．
1．離散型隨機變量的取值是任意的實數(shù)．( × )
2．隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．( √ )
3．離散型隨機變量是指某一區(qū)間內的任意值．( × )
類型一 隨機變量的概念
例1 下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量？并說明理由．
(1)某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量；
(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；
(3)明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；
(4)明年某天濟南—青島的某次列車到達青島站的時間．
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 隨機變量的概念
解 (1)某機場
4、一年中每天運送乘客的數(shù)量可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量．
(2)某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量．
(3)明年5月1日到10月1日期間，所查酒駕的人數(shù)可能為0,1,2,3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量．
(4)濟南—青島的某次列車到達青島站的時間每次都是隨機的，可能提前，可能準時，也可能晚點，故是隨機變量．
反思與感悟 隨機變量的辨析方法
(1)隨機試驗的結果具有可變性，即每次試驗對應的結果不盡相同．
(2)隨機試驗的結果的不確定性，即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這
5、次試驗會出現(xiàn)哪一個結果．
如果一個隨機試驗的結果對應的變量具有以上兩點，則該變量即為隨機變量．
跟蹤訓練1 擲均勻硬幣一次，隨機變量為( )
A．擲硬幣的次數(shù)
B．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)
C．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù)
D．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 隨機變量的概念
答案 B
解析 擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結果是正面向上或反面向上，以一個標準如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機試驗，那么正面向上的次數(shù)就是隨機變量ξ，ξ的取值是0,1.A項中，擲硬幣的次數(shù)就是1，不是隨機變量；C項中的標準模糊不清；D項中，出現(xiàn)正面向上的次
6、數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1，對應的是必然事件，試驗前便知是必然出現(xiàn)的結果，所以不是隨機變量．故選B.
類型二 離散型隨機變量的判定
例2 下面給出四個隨機變量：
①某高速公路上某收費站在未來1小時內經過的車輛數(shù)X是一個隨機變量；
②一個沿直線y＝x進行隨機運動的質點，它在該直線上的位置Y是一個隨機變量；
③某網站未來1小時內的點擊量；
④一天內的溫度η.
其中是離散型隨機變量的為( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 離散型隨機變量的概念
答案 C
解析?、偈?，因為1小時內經過該收費站的車輛可一一列出；②不是
7、，質點在直線y＝x上運動時的位置無法一一列出；③是，1小時內網站的訪問次數(shù)可一一列出；④不是，1天內的溫度η是該天最低溫度和最高溫度這一范圍內的任意實數(shù)，無法一一列出．故選C.
反思與感悟 “三步法”判定離散型隨機變量
(1)依據(jù)具體情境分析變量是否為隨機變量．
(2)由條件求解隨機變量的值域．
(3)判斷變量的取值能否一一列舉出來，若能，則是離散型隨機變量；否則，不是離散型隨機變量．
跟蹤訓練2 ①某座大橋一天經過的某品牌轎車的輛數(shù)為ξ；②某網站中歌曲《愛我中華》一天內被點擊的次數(shù)為ξ；③體積為1 000 cm3的球的半徑長；④射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，
8、用ξ表示該射手在一次射擊中的得分．上述問題中的ξ是離散型隨機變量的是( )
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 離散型隨機變量的概念
答案 B
解析 由題意知③中的球的半徑是固定的，可以求出來，所以不是隨機變量，而①②④是離散型隨機變量．
類型三 用隨機變量表示隨機試驗的結果
例3 寫出下列隨機變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結果．
(1)袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，取后不放回，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)；
(2)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從
9、中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)為X.
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的結果
解 (1)設所需的取球次數(shù)為X，則X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，第i次取到白球，這里i＝1,2,3,4，…，11.
(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.
X＝0表示取5個球全是紅球；
X＝1表示取1個白球，4個紅球；
X＝2表示取2個白球，3個紅球；
X＝3表示取3個白球，2個紅球．
反思與感悟 解答此類問題的關鍵在于明確隨機變量的所有可能的取值，以及其取每一個值時對應的意義，即一個隨機變量的取值可能對應一個或多個隨機試驗的結果
10、，解答過程中不要漏掉某些試驗結果．
跟蹤訓練3 寫出下列隨機變量可能的取值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．
(1)從學校回家要經過3個紅綠燈路口，可能遇到紅燈的次數(shù)ξ；
(2)電臺在每個整點都報時，報時所需時間為0.5分鐘，某人隨機打開收音機對時間，他所等待的時間為ξ分鐘．
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的取值
解 (1)ξ可取0,1,2,3，
ξ＝0表示遇到紅燈的次數(shù)為0；
ξ＝1表示遇到紅燈的次數(shù)為1；
ξ＝2表示遇到紅燈的次數(shù)為2；
ξ＝3表示遇到紅燈的次數(shù)為3.
(2)ξ的可能取值為區(qū)間[0,59.5]內任何一個值，每一個可能取
11、值表示他所等待的時間．
1．下列變量中，不是隨機變量的是( )
A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)
B．標準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度
C．拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和
D．某電話總機在時間區(qū)間(0，T)內收到的呼叫次數(shù)
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 隨機變量的概念
答案 B
解析 B中水沸騰時的溫度是一個確定的值．
2．10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是( )
A．取到產品的件數(shù) B．取到正品的概率
C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 隨機變量的概念
答案 C
解析 對于
12、A中取到產品的件數(shù)，是一個常量不是變量，B，D也是一個常量，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機變量．
3．下列敘述中，是離散型隨機變量的為( )
A．某人早晨在車站等出租車的時間
B．把一杯開水置于空氣中，讓它自然冷卻，每一時刻它的溫度
C．射擊十次，命中目標的次數(shù)
D．袋中有2個黑球，6個紅球，任取2個，取得1個紅球的可能性
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 離散型隨機變量的概念
答案 C
4．從標有1～10的10支竹簽中任取2支，設所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機變量X可能取得的值有________個．
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點
13、 離散型隨機變量的取值
答案 17
解析 X的可能取值為3,4,5，…，19，共17個．
5．甲、乙兩隊員進行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”．用ξ表示需要比賽的局數(shù)，寫出“ξ＝6”時表示的試驗結果．
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的結果
解 根據(jù)題意可知，ξ＝6表示甲在前5局中勝3局且在第6局中勝出或乙在前5局中勝3局且在第6局中勝出．
1．所謂的隨機變量就是試驗結果和實數(shù)之間的一個對應關系，隨機變量是將試驗的結果數(shù)量化，變量的取值對應于隨機試驗的某一個隨機事件．
2．寫隨機變量表示的結果，要看三個特征：(1)可用數(shù)來表示；(2)試驗之前可以判
14、斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗之前不能確定取值．
一、選擇題
1．將一枚均勻骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是( )
A．兩次擲得的點數(shù)
B．兩次擲得的點數(shù)之和
C．兩次擲得的最大點數(shù)
D．第一次擲得的點數(shù)減去第二次擲得的點數(shù)的差
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 隨機變量的概念
答案 A
解析 兩次擲得的點數(shù)的取值是一個數(shù)對，不是一個數(shù)．
2．拋擲兩枚骰子一次，X為第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚擲出的點數(shù)之差，則X的所有可能的取值為( )
A．0≤X≤5，x∈N
B．－5≤X≤0，x∈Z
C．－1≤X≤6，x∈N
D．－5≤X≤5，x∈Z
考
15、點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的取值
答案 D
解析 兩次擲出點數(shù)均可取1～6所有整數(shù)，
所以X∈[－5,5]，x∈Z.
3．下列變量中，離散型隨機變量的個數(shù)為( )
①在2 012張已編號(從1號到2 012號)的卡片中取一張，被取出的號碼為ξ；
②在2 012張已編號(從1號到2 012號)的卡片中任取三張，被取出的號碼和為X；
③某加工廠加工的某種銅管，外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差Y；
④投擲一枚骰子，正面向上的點數(shù)為ξ.
A．1 B．2 C．3 D．4
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 離散型隨機變量的概念
答案 C
解析
16、③中Y取值在某一區(qū)間內，不是離散型隨機變量．
4．某人進行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝5”表示的試驗結果是( )
A．第5次擊中目標
B．第5次未擊中目標
C．前4次均未擊中目標
D．第4次擊中目標
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的結果
答案 C
解析 ξ＝5表示前4次均未擊中目標，故選C.
5．拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)的差為X，則“X>4”表示的試驗的結果為( )
A．第一枚為5點，第二枚為1點
B．第一枚大于4點，第二枚也大于4點
C．第一枚為6點，第二枚
17、為1點
D．第一枚為4點，第二枚為1點
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的結果
答案 C
6．設一汽車在開往目的地的道路上需經過5盞信號燈，Y表示汽車首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù)，則表示“遇到第5盞信號燈時首次停下”的事件是( )
A．Y＝5 B．Y＝4
C．Y＝3 D．Y＝2
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的取值
答案 B
7．一串鑰匙有6枚，只有一枚能打開鎖，依次試驗，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗次數(shù)X的最大可能取值為( )
A．6 B．5 C．4 D．2
考點 離散型隨機變量的可能取
18、值
題點 離散型隨機變量的取值
答案 B
解析 由于是逐次試驗，可能前5次都打不開鎖，那么剩余的鑰匙一定能開鎖，故選B.
8．一用戶在打電話時忘了號碼的最后四位數(shù)字，只記得最后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5，于是他隨機撥最后四位數(shù)字(兩兩不同)，設他撥到所要號碼時已撥的次數(shù)為ξ，則隨機變量ξ的所有可能取值的種數(shù)為( )
A．24 B．20 C．4 D．18
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的取值
答案 A
解析 由于后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位數(shù)字的不同排列，故有A＝24種．
9．對一批產品逐個進行檢測，第一次檢測到
19、次品前已檢測的產品個數(shù)為ξ，則ξ＝k表示的試驗結果為( )
A．第k－1次檢測到正品，而第k次檢測到次品
B．第k次檢測到正品，而第k＋1次檢測到次品
C．前k－1次檢測到正品，而第k次檢測到次品
D．前k次檢測到正品，而第k＋1次檢測到次品
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的結果
答案 D
解析 由題意，得ξ＝k表示第一次檢測到次品前已檢測的產品個數(shù)為k，因此前k次檢測到的都是正品，第k＋1次檢測到的是次品，故選D.
二、填空題
10．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是________．(填序號)
①某賓館每天入住的旅客數(shù)量X；
②廣州某水文站
20、觀測到一天中珠江的水位X；
③深圳歡樂谷一日接待游客的數(shù)量X；
④虎門大橋一天經過的車輛數(shù)X.
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 離散型隨機變量的概念
答案?、?
11．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出1個球，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為________．
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的取值
答案 1,2,3,4,5,6,7
解析 由于取到是白球時，取球停止，所以取球次數(shù)可以是1,2,3，…，7.
12．一木箱中裝有8個同樣大小的籃球，分別編號為1,2,3,4,5,6,7,8，
21、現(xiàn)從中隨機取出3個籃球，以ξ表示取出的籃球的最大號碼，則ξ＝8表示的試驗結果有________種．
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的結果
答案 21
解析 ξ＝8表示在3個籃球中，一個編號是8，另外兩個從剩余7個號中選2個，有C種方法，即21種．
三、解答題
13．某車間三天內每天生產10件某產品，其中第一天、第二天分別生產了1件、2件次品，而質檢部門每天要在生產的10件產品中隨機抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當天的產品不能通過．若廠內對車間生產的產品采用記分制，兩天全不通過檢查得0分，通過一天、兩天分別得1分、2分．設該車間在這兩天內總得分為ξ，寫出ξ的
22、可能取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結果．
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的取值
解 ξ的可能取值為0,1,2.
ξ＝0表示在兩天檢查中均發(fā)現(xiàn)了次品；
ξ＝1表示在兩天檢查中有1天沒有檢查到次品，1天檢查到了次品；
ξ＝2表示在兩天檢查中都沒有發(fā)現(xiàn)次品．
四、探究與拓展
14．在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則選手甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值是____________．
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的取值
答案 －300，－100,100,300
解
23、析 ∵答對的個數(shù)可以取0,1,2,3，所對應的得分為－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.
15．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)為ξ.
(1)列表說明可能出現(xiàn)的結果與對應的ξ的值；
(2)若規(guī)定抽取3個球中，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結果都加上6分．求最終得分η的可能取值，并判定η的隨機變量類型．
考點 離散型隨機變量的可能取值
題點 離散型隨機變量的取值
解 (1)
ξ
0
1
2
3
結果
取得3個黑球
取得1個白球2個黑球
取得2個白球1個黑球
取得3個白球
(2)由題意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3}，所以η對應的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值為{6,11,16,21}，顯然η為離散型隨機變量．
2022-2023版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機變量學案 新人教A版選修2-3
