2022年高中數(shù)學(xué)選修2-1教案：2-2 空間向量及運(yùn)算

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1、2022年高中數(shù)學(xué)選修2-1教案：2-2 空間向量及運(yùn)算 1．了解空間向量的有關(guān)概念，會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律．(重點(diǎn)) 2．理解直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量．會(huì)利用兩個(gè)空間向量共線(xiàn)的充要條件解決有關(guān)問(wèn)題(難點(diǎn)) 3．會(huì)求簡(jiǎn)單空間向量的夾角，能夠利用空間向量的數(shù)量積的定義求兩個(gè)向量的數(shù)量積(易混點(diǎn)) 知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的概念 定義 在空間中，既有大小又有方向的量，叫作空間向量 表示方法 ①用有向線(xiàn)段表示，A叫作向量的起點(diǎn)，B叫作向量的終點(diǎn) 自由向量 數(shù)學(xué)中所討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，稱(chēng)之為自由向量 長(zhǎng)度或模 與平面向量一樣，空間

2、向量或a的大小也叫作向量的長(zhǎng)度或模，用||或|a|表示 夾角 定義 如圖，兩非零向量a，b，過(guò)空間中任意一點(diǎn)O，作向量a，b的相等向量和，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉 范圍 規(guī)定0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 當(dāng)〈a，b〉＝時(shí)，向量a與b垂直，記作a⊥b 向量平行 當(dāng)〈a，b〉＝0或π時(shí)，向量a與b平行，記作a∥b 知識(shí)點(diǎn)二 空間向量的運(yùn)算 運(yùn)算 定義(或法則) 運(yùn)算律 空間向量的加減法 加法 設(shè)a和b是空間兩個(gè)向量，過(guò)一點(diǎn)O作a和b的相等向量和，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)OC對(duì)應(yīng)的向量就是a與b的和，記作a

3、＋b，如圖所示 ①結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ②交換律：a＋b＝b＋a 減法 與平面向量類(lèi)似，a與b的差定義為a＋(－b)，記作a－b，其中－b是b的相反向量 空間向量 的數(shù)乘 空間向量a與一個(gè)實(shí)數(shù)λ的乘積是一個(gè)向量，記作λa，滿(mǎn)足： ①|(zhì)λa|＝|λ||a| ②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a方向相同； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a方向相反； 當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 ①λa＝aλ(λ∈R) ②λ(a＋b)＝λa＋λb (λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R) ③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)． 空間向量 的數(shù)量積 空間兩個(gè)向量a和b的數(shù)量積是一

4、個(gè)數(shù)，等于|a||b|cos〈a，b〉，記作a·b ①交換律：a·b＝b·a ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c ③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R) 與數(shù)量積 有關(guān)的 結(jié)論 ①|(zhì)a|＝ ②a⊥b?a·b＝0 ③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) 考點(diǎn)一 空間向量的有關(guān)概念 例1(1)在如圖2-1-1所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，與向量相等的向量有________個(gè)(不含)． (2)下列說(shuō)法中，正確的是(　　) A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同 B．若非零向量和是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線(xiàn) C．若a∥b，b∥

5、c，則a∥c D．零向量與任意向量平行 (3)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)為起止點(diǎn)的向量中，與向量平行的向量為_(kāi)_______，與相反的向量為_(kāi)_______． 【名師指津】 1．在空間中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對(duì)應(yīng)的概念完全一樣． 2．注意區(qū)別向量、向量的模、線(xiàn)段、線(xiàn)段的長(zhǎng)度等概念． 考點(diǎn)二直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量 例2　如圖 ，正方體ABCD-A1B1C1D1中， (1)以頂點(diǎn)為向量端點(diǎn)的所有向量中，直線(xiàn)AB的方向向量有哪些？ (2)在所有棱所在的向量中，寫(xiě)出平面ABCD的所有法向量． 【名師指津】 1．直線(xiàn)的方向向

6、量就是與直線(xiàn)平行的非零向量對(duì)模沒(méi)有限制，注意起點(diǎn)和終點(diǎn)都在直線(xiàn)上的向量也是符合題意的． 2．找平面的法向量要注意幾何體中的垂直關(guān)系，特別是成面面垂直關(guān)系． 練習(xí)1．根據(jù)本例的條件，寫(xiě)出平面BCC1B1的所有法向量． 考點(diǎn)三 空間的線(xiàn)性運(yùn)算 例3(1)(xx·合肥高二檢測(cè))已知空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．a(chǎn)＋b－c　　 B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c (2)化簡(jiǎn)(－)－(－)＝________. (3)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的共有(　

7、　) ①(＋)＋；②( ＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋. A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【名師指津】 1．在運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算律的應(yīng)用，在例題中，利用向量加法的結(jié)合律以及數(shù)乘向量的分配律簡(jiǎn)化了計(jì)算． 2．對(duì)向量式的化簡(jiǎn)，要結(jié)合圖形，充分利用圖形的性質(zhì)． 考點(diǎn)四 空間向量的共線(xiàn)定理的應(yīng)用 例4如圖2-2-3四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線(xiàn)？ 【名師指津】 1．判定向量a與b共線(xiàn)就是要找到實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb成立．要充分運(yùn)用

8、空間向量的運(yùn)算法則，同時(shí)結(jié)合空間圖形，化簡(jiǎn)得a＝λb，從而判定a與b共線(xiàn)． 2．向量共線(xiàn)定理是證明三點(diǎn)共線(xiàn)，線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題的重要依據(jù)，有關(guān)空間和平面幾何中的線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化為向量的共線(xiàn)問(wèn)題． 練習(xí)1．如圖2-2-4，已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，且＝，＝.求證：四邊形EFGH是梯形 思考 問(wèn)題1　空間向量與平面向量有什么關(guān)系？ 問(wèn)題2　直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量只有一個(gè)嗎？ 問(wèn)題3　如何求兩個(gè)空間向量的夾角？向量角與平面角有什么區(qū)別？ 問(wèn)題1　如何正確地理解空間向量的數(shù)量積？ 問(wèn)題2　在應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律

9、時(shí)要注意什么？ 問(wèn)題3　如何靈活地應(yīng)用空間向量的數(shù)量積公式？ 例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求： (1)〈，〉，〈，〉；(2)〈，〉，〈，〉． 【名師指津】 1．求空間向量夾角的關(guān)鍵是平移向量，使它們的起點(diǎn)相同．在平移的過(guò)程中，要充分利用已知圖形的特點(diǎn)，尋找線(xiàn)線(xiàn)平行，找出所求的角，這一過(guò)程可簡(jiǎn)單總結(jié)為：(1)通過(guò)平移找角，(2)在三角形中求角． 2．在利用平面角求向量角時(shí)，要注意兩種角的取值范圍，線(xiàn)線(xiàn)角的范圍是，而向量夾角的范圍是[0，π]，比如〈a，b〉與〈－a，b〉兩個(gè)角互補(bǔ)，而它們對(duì)應(yīng)的線(xiàn)線(xiàn)角卻是相等的． 練習(xí)2．在正四面體AB

10、CD中，(1)向量與的夾角為_(kāi)_______；(2)向量與的夾角為_(kāi)_______． 課堂練習(xí) 1．下列有關(guān)空間向量的說(shuō)法中，正確的是(　　) A．如果兩個(gè)向量的模相等，那么這兩個(gè)向量相等 B．如果兩個(gè)向量方向相同，那么這兩個(gè)向量相等 C．如果兩個(gè)向量平行且它們的模相等，那么這兩個(gè)向量相等 D．同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量 2．已知向量a0，b0是分別與a，b同方向的單位向量，那么下列式子正確的是(　　) A．a(chǎn)0＝b0　　　　　　 B．a(chǎn)0＝1 C．a(chǎn)0，b0共線(xiàn) D．|a0|＝|b0| 3．下列說(shuō)法中不正確的是(　　) A．平面α的一個(gè)法向量垂直于與平面α共面的所有向量 B．一個(gè)平面的所有法向量互相平行 C．如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直 D．如果a，b與平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個(gè)法向量 4．設(shè)a，b，c滿(mǎn)足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|＝________. 5．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，＝，＝2.設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示.