2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版

第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,3,10，的指數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第24頁(yè))1有理數(shù)指數(shù)冪(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)yaxa10a1圖像定義域R值域(0，)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y1當(dāng)x0時(shí)，0y1；當(dāng)x0時(shí)，y1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)1指數(shù)函數(shù)圖像的畫(huà)法畫(huà)指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，.2指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為cd1ab0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a1與0a1來(lái)研究一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函數(shù)yax21(a1)的值域是(0，)()(4)若aman(a0且a1)，則mn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1函數(shù)f(x)21x的大致圖像為()AB C DAf(x)21x，又f(0)2，f(1)1，故排除B，C，D，故選A.2若函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則f(1)_.由題意知a2，所以a，所以f(x)，所以f(1).3化簡(jiǎn)(x0，y0)_.答案2x2y4已知a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_cbay是減函數(shù)，則ab1，又c1，cba.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第25頁(yè))考點(diǎn)1指數(shù)冪的運(yùn)算指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答1.化簡(jiǎn)·(a0，b0)_.原式2×213×101.2計(jì)算：0.00210(2)10_.原式50011010201.3化簡(jiǎn)：÷×_(a0)a2原式÷×a(a2b)××a2.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一考點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用(1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過(guò)平移、對(duì)稱、翻折變換得到其圖像(2)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解(1)函數(shù)f(x)axb的圖像如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)若曲線y|3x1|與直線ym有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(1)D(2)(0,1)(1)由f(x)axb的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1.函數(shù)f(x)axb的圖像是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.故選D.(2)曲線y|3x1|的圖像是由函數(shù)y3x的圖像向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線ym的圖像是平行于x軸的一條直線，它的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y|3x1|與直線ym有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是(0,1)母題探究1(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?|x|1m有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(0，)作出函數(shù)y3|x|1與ym的圖像如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍是(0，)2(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y|3x1|m的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(，1作出函數(shù)y|3x1|m的圖像如圖所示由圖像知m1，即m(，1應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖像的技巧(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖像一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖像是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過(guò)平移、對(duì)稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論1.函數(shù)f(x)1e|x|的圖像大致是()ABCDAf(x)1e|x|是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，又e|x|1，f(x)0，符合條件的圖像只有A.2函數(shù)yaxb(a0，且a1)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則ab的取值范圍是_(0,1)因?yàn)楹瘮?shù)yaxb的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以函數(shù)yaxb單調(diào)遞減且其圖像與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上令x0，則ya0b1b，由題意得解得故ab(0,1)3已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2 019a2 020b，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有_(填序號(hào))作出y2 019x及y2 020x的圖像如圖所示，由圖可知ab0，ab0或ab0時(shí)，有2 019a2 020b，故不可能成立考點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用主要是利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題，而指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按0a1和a1進(jìn)行分類(lèi)討論比較指數(shù)式的大小(1)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，則()AabcBacbCcabDbca(2)設(shè)函數(shù)f(x)x2a與g(x)ax(a1且a2)在區(qū)間(0，)上具有不同的單調(diào)性，則M(a1)0.2與N的大小關(guān)系是()AMNBMNCMNDMN(1)A(2)D(1)由0.20.6,0.41，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像可知0.40.20.40.6，即bc.因?yàn)閍20.21，b0.40.21，所以ab.綜上，abc.(2)因?yàn)閒(x)x2a與g(x)ax(a1且a2)在區(qū)間(0，)上具有不同的單調(diào)性，所以a2，所以M(a1)0.21，N1，所以MN.故選D.指數(shù)式的大小比較，依據(jù)的就是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，原則上化為同底的指數(shù)式，并要注意底數(shù)范圍是(0,1)還是(1，)，若不能化為同底，則可化為同指數(shù)，或利用中間變量比較，如本例(1)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式(1)已知函數(shù)f(x)a的圖像過(guò)點(diǎn)，若f(x)0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_(2)方程4x|12x|11的解為_(kāi)(1)(2)xlog23(1)f(x)a的圖像過(guò)點(diǎn)，a，即a.f(x).f(x)0，0，24x13，即14x2，0x.(2)當(dāng)x0時(shí)，原方程化為4x2x120，即(2x)22x120.(2x3)(2x4)0，2x3，即xlog23.當(dāng)x0時(shí)，原方程化為4x2x100.令t2x，則t2t100(0t1)由求根公式得t均不符合題意，故x0時(shí)，方程無(wú)解(1)af(x)ag(x)f(x)g(x)(2)af(x)ag(x)，當(dāng)a1時(shí)，等價(jià)于f(x)g(x)；當(dāng)0a1時(shí)，等價(jià)于f(x)g(x)(3)有些含參指數(shù)不等式，需要分離變量，轉(zhuǎn)化為求有關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)(，1設(shè)ux22x1，y在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間即為函數(shù)ux22x1的增區(qū)間又ux22x1的增區(qū)間為(，1，所以f(x)的減區(qū)間為(，1逆向問(wèn)題已知函數(shù)f(x)2|2xm|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間2，)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是_(，4令t|2xm|，則t|2xm|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減而y2t在R上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù)f(x)2|2xm|在2，)上單調(diào)遞增，則有2，即m4，所以m的取值范圍是(，4求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)函數(shù)f(x)a(a，bR)是奇函數(shù)，且圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)A(1,1)B(2,2)C(3,3)D(4,4)(2)若不等式12x4x·a0在x(，1時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1)A(2)(1)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，定義域是R，則f(0)a0，函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，則f(ln 3)a.結(jié)合可得a1，b2，則f(x)1.因?yàn)閑x0，所以ex11，所以02，所以111，即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1,1)(2)從已知不等式中分離出實(shí)數(shù)a，得a.因?yàn)楹瘮?shù)y和y在R上都是減函數(shù)，所以當(dāng)x(，1時(shí)，所以，從而得.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a.指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問(wèn)題，應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是單調(diào)性，注意利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化1.函數(shù)y的值域是()A(，4)B(0，)C(0,4D4，)C設(shè)tx22x1，則y.因?yàn)?1，所以y為關(guān)于t的減函數(shù)因?yàn)閠(x1)222，所以0y4，故所求函數(shù)的值域?yàn)?0,42已知實(shí)數(shù)a1，函數(shù)f(x)若f(1a)f(a1)，則a的值為_(kāi)當(dāng)a1時(shí)，41a21，所以a；當(dāng)a1時(shí)，代入可知不成立，所以a的值為.3設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(3,1)當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)1可化為71，即8，即，a3.又a0，3a0.當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)1可化為1.0a1，綜上，a的取值范圍為(3,1)- 10 -