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1、2022年高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題五 立體幾何 專題對點練17 空間中的垂直、夾角及幾何體的體積 文
1.
(2018江蘇,15)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求證:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
2.
如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.
3.由四棱柱ABCD-A1
2、B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點,E為AD的中點,A1E⊥平面ABCD.
(1)證明:A1O∥平面B1CD1;
(2)設(shè)M是OD的中點,證明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
4.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.
(1)設(shè)M是PC上的一點,證明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱錐P-ABCD的體積.
5.
如圖,在四棱錐P-
3、ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O為AC的中點,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M為PD的中點.
(1)證明:AD⊥平面PAC;
(2)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.
6.(2018北京,文18)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點.
求證:(1)PE⊥BC;
(2)平面PAB⊥平面PCD;
(3)EF∥平面PCD.
7.如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90
4、°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于點E,把△DEC沿CE折到D'EC的位置,使D'A=2,如圖②.若G,H分別為D'B,D'E的中點.
(1)求證:GH⊥D'A;
(2)求三棱錐C-D'BE的體積.
8.
如圖,在四棱錐S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.
(1)證明:SD⊥平面SAB;
(2)求四棱錐S-ABCD的高.
專題對點練17答案
1.證明 (1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.
因為AB?平面A1B1C,A1B1
5、?平面A1B1C,
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.
又因為AA1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,
因此AB1⊥A1B.
又因為AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,
所以AB1⊥BC.
又因為A1B∩BC=B,A1B?平面A1BC,BC?平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.
因為AB1?平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
2.(1)證明 延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.
因為平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,
所以AC⊥平面BCK,
因此BF
6、⊥AC.
又因為EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,
所以△BCK為等邊三角形,且F為CK的中點,則BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.
(2)解 因為BF⊥平面ACK,
所以∠BDF是直線BD與平面ACFD所成的角.
在Rt△BFD中,BF=,DF=,
得cos∠BDF=,
所以,直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為.
3.證明 (1)取B1D1的中點O1,連接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1O∥O1C.
又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD
7、1,所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因為AC⊥BD,E,M分別為AD和OD的中點,所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以A1E⊥BD,因為B1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1?平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
4.(1)證明 在△ABD中,因為AD=4,BD=8,AB=4,
所以AD2+BD2=AB2.所以AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,
所以B
8、D⊥平面PAD.又BD?平面MBD,
故平面MBD⊥平面PAD.
(2)解 過點P作PO⊥AD交AD于點O,
因為平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD,所以PO為四棱錐P-ABCD的高.
又△PAD是邊長為4的等邊三角形,因此PO=×4=2.
在底面四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
所以四邊形ABCD是梯形.在Rt△ADB中,斜邊AB邊上的高為,
此即為梯形ABCD的高,所以四邊形ABCD的面積為S==24.
故VP-ABCD=×24×2=16.
5.(1)證明 ∵PO⊥平面ABCD,且AD?平面ABCD,∴PO⊥AD.
∵∠ADC=45°,
9、且AD=AC=2,∴∠ACD=45°,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.
∵AC?平面PAC,PO?平面PAC,且AC∩PO=O,
∴AD⊥平面PAC.
(2)解 取DO的中點N,連接MN,AN,
由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,
∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角.
∵M為PD的中點,∴MN∥PO,且MN=PO=3,AN=DO=.
在Rt△ANM中,tan∠MAN=,
即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為.
6.證明 (1)∵PA=PD,且E為AD的中點,
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD為矩形,∴BC∥AD,
∴PE⊥BC.
(2)∵底面
10、ABCD為矩形,∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,
∴PD⊥平面PAB.∵PD?平面PCD,
∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如圖,取PC的中點G,連接FG,GD.
∵F,G分別為PB和PC的中點,∴FG∥BC,且FG=BC.
∵四邊形ABCD為矩形,且E為AD的中點,
∴ED∥BC,ED=BC,
∴ED∥FG,且ED=FG,∴四邊形EFGD為平行四邊形,
∴EF∥GD.
又EF?平面PCD,GD?平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
7.(1)證明 連接BE,GH,AC,在△AED'
11、中,
ED'2=AE2+AD'2,可得AD'⊥AE.又DC==2,
AC=2,可得AC2+AD'2=CD'2,可得AD'⊥AC.
因為AE∩AC=A,所以AD'⊥平面ABCE,所以AD'⊥BE.
又G,H分別為D'B,D'E的中點,所以GH∥BE,所以GH⊥D'A.
(2)解 設(shè)三棱錐C-D'BE的體積為V,
則V=S△BCE·AD'=×2×2×2.
8.(1)證明 如圖,取AB的中點E,連接DE,SE,則四邊形BCDE為矩形,
∴DE=CB=2,
∴AD=.
∵側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=2,
∴SA=SB=AB=2,且SE=.
又SD=1,
∴SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,
∴SD⊥SA,SD⊥SB.
∵SA∩SB=S,∴SD⊥平面SAB.
(2)解 設(shè)四棱錐S-ABCD的高為h,則h也是三棱錐S-ABD的高.
由(1)知,SD⊥平面SAB,由VS-ABD=VD-SAB,得S△ABD·h=S△SAB·SD.
又S△ABD=AB·DE=×2×2=2,S△SAB=AB2=×22=,SD=1,
所以h=.
故四棱錐S-ABCD的高為.