（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量、復數(shù) 4 第4講 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入教學案

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1、第4講　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 1．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的定義 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中實部是a，虛部是b． (2)復數(shù)的分類 復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) (3)復數(shù)相等 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共軛復數(shù) a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)復數(shù)的模 向量的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a、b∈R)． 2．復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)．　

2、(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量． 3．復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減 、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)復數(shù)加法的運算定律 復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z

3、2＋z3)． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若a∈C，則a2≥0.(　　) (2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數(shù)z為純虛數(shù)．(　　) (3)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　) (4)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　　) (5)由于復數(shù)包含實數(shù)，在實數(shù)范圍內兩個數(shù)能比較大小，因而在復數(shù)范圍內兩個數(shù)也能比較大?。?　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× [教材衍化] 1．(選修2-2P106B組T1改編)設復數(shù)z滿足＝i，則|z|＝________． 解析：1＋z＝i(1－z)

4、，z(1＋i)＝i－1， z＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1. 答案：1 2．(選修2-2P112A組T2改編)在復平面內，向量對應的復數(shù)是2＋i，向量對應的復數(shù)是－1－3i，則向量對應的復數(shù)是________． 解析：＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i 3．(選修2-2P116A組T2改編)若復數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為________． 解析：因為z為純虛數(shù)，所以所以x＝－1. 答案：－1 [易錯糾偏] (1)復數(shù)的幾何意義不清致誤； (2)復數(shù)的運算方法不當致使出錯； (3)z與z的不清致誤． 1．在復平

5、面內，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是(　　) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 解析：選C.因為A(6，5)，B(－2，3)，所以線段AB的中點C(2，4)，則點C對應的復數(shù)為z＝2＋4i.故選C. 2．若a為實數(shù)，且＝3＋i，則a＝________． 解析：由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因為a為實數(shù)，所以a＝4. 答案：4 3．已知(1＋2i)z＝4＋3i，則z＝________． 解析：因為z＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i. 答案：2＋i

6、　　　　　　復數(shù)的有關概念 (1)設有下面四個命題 p1：若復數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝z2； p4：若復數(shù)z∈R，則z∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 (2)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________． 【解析】　(1)對于命題p1，設z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝∈R，得b＝0，則z∈R成立，故命題p1正確；對于命題p2，設z＝a＋bi(a

7、，b∈R)，由z2＝a2－b2＋2abi∈R，得ab＝0，則a＝0或b＝0，復數(shù)z可能為實數(shù)或純虛數(shù)，故命題p2錯誤；對于命題p3，設z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝z2，故命題p3錯誤；對于命題p4，設z＝a＋bi(a，b∈R)，則由z∈R，得b＝0，所以z＝a∈R成立，故命題p4正確．故選B. (2)因為(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i， 所以所以或 所以a2＋b2＝5，ab＝2. 【答案】　(1)B　(2)5　2 解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項

8、(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可． (2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．　 1．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)設復數(shù)z＝，則z的共軛復數(shù)為(　　) A.－i　　 B.＋i C．1－3i　　 D．1＋3i 解析：選B.z＝＝＝＋i. 2．(2020·浙江省高中學科基礎測試)已知復數(shù)(i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝(　　) A．－2　　　 　B．－1 C．0　 　 　　D．2 解析：選A

9、.＝＋i，由是純虛數(shù)得＝0，所以a＝－2，故選A. 　　　　　　復數(shù)的幾何意義 (1)(2020·臺州模擬)復數(shù)z＝＋3i在復平面內對應的點所在的象限為(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)在復平面內與復數(shù)z＝所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數(shù)為(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i (3)如圖，在復平面內，復數(shù)z1，z2對應的向量分別是，，則|z1＋z2|＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．3 【解析】　(1)z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i

10、＝2＋2i，故z在復平面內對應的點在第一象限，故選A. (2)依題意得，復數(shù)z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其對應的點的坐標是(2，1)，因此點A(－2，1)對應的復數(shù)為－2＋i. (3)由題圖可知，z1＝－2－i，z2＝i，則z1＋z2＝－2，所以|z1＋z2|＝2. 【答案】　(1)A　(2)C　(3)A 復數(shù)的幾何意義及應用 (1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. (2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀．　 1．已知

11、i是虛數(shù)單位，則滿足z－i＝|3＋4i|的復數(shù)z在復平面上對應點所在的象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選A.z－i＝|3＋4i|＝＝5，z＝5＋i，對應點(5，1)，在第一象限，故選A. 2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：選A.由已知可得復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標為(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故選A. 　　　　　　復數(shù)代數(shù)形式的運算(高頻考點) 復數(shù)代數(shù)

12、形式的四則運算是每年高考的必考內容，題型為選擇題或填空題，難度很小．主要命題角度有： (1)復數(shù)的乘法運算； (2)復數(shù)的除法運算； (3)利用復數(shù)相等求參數(shù)． 角度一　復數(shù)的乘法運算 (2020·浙江新高考沖刺卷)已知復數(shù)z＝1＋i，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)1＋z＋z2＋…＋z2 017的實部為(　　) A．1　　　　　　　　　　　　 B．－1 C．21 009 D．－21 009 【解析】　因為z＝1＋i， 所以1＋z＋z2＋…＋z2 017＝＝ ＝＝＝＝21 009＋i. 所以復數(shù)1＋z＋z2＋…＋z2 017的實部為21 009.故選C. 【答案】　C

13、 角度二　復數(shù)的除法運算 計算下列各式的值． (1)；(2)；(3)＋i3. 【解】　(1)＝＝＝2i. (2)＝＝2－i. (3)＋i3＝＋i3＝＋i3＝i－i＝0. 角度三　利用復數(shù)相等求參數(shù) 已知＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝(　　) A．－7　　　 B．7　　　 C．－4　　 　D．4 【解析】　因為＝1＋＋＝－3－4i， 所以－3－4i＝a＋bi，則a＝－3，b＝－4， 所以a＋b＝－7，故選A. 【答案】　A (1)復數(shù)的乘法：復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i

14、的看作另一類同類項，分別合并即可． (2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．　 1．(2018·高考浙江卷)復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：選B.因為＝＝＝1＋i，所以復數(shù)的共軛復數(shù)為1－i，故選B. 2．(2020·嘉興一中高考模擬)復數(shù)z滿足z·(2－i)＝3－4i(其中i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)||＝(　　) A. B．2 C. D. 解析：選D.復數(shù)z滿足z·

15、(2－i)＝3－4i(其中i為虛數(shù)單位)，所以z·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化為：5z＝10－5i，可得z＝2－i.則復數(shù)||＝＝＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝＝.故選D. 3．(2019·高考浙江卷)復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________． 解析：通解：z＝＝＝－，所以|z|＝＝. 優(yōu)解：|z|＝＝＝＝. 答案： [基礎題組練] 1．(2020·溫州七校聯(lián)考)復數(shù)在復平面上對應的點位于(　　) A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選C.＝＝＝－－i，其在復平面上對應的點位于第三象限．

16、 2．(2020·金華十校聯(lián)考)若復數(shù)z滿足z(1－i)＝|1－i|＋i，則z的實部為(　　) A. B.－1 C．1 D. 解析：選A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，故z的實部為，故選A. 3．若復數(shù)z滿足(1＋2i)z＝1－i，則|z|＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C.z＝＝?|z|＝. 4．如果復數(shù)z滿足|z＋1－i|＝2，那么|z－2＋i|的最大值是(　　) A.＋2 B．2＋i C.＋ D.＋4 解析：選A.復數(shù)z滿足|z＋1－i|＝2， 表示以C(－1，1)為圓心，2為半徑的圓． |z－2＋i|表示圓

17、上的點與點M(2，－1)的距離． 因為|CM|＝＝. 所以|z－2＋i|的最大值是＋2. 故選A. 5．(2020·杭州市學軍中學聯(lián)考)已知＝1－yi，其中x，y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x＋yi的共軛復數(shù)為(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 解析：選D.＝(x－xi)＝1－yi，所以解得x＝2，y＝1，故選D. 6．(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知復數(shù)z＝x＋(x－a)i，若對任意實數(shù)x∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.因為z＝x＋(x－a)i，且對任意實數(shù)x

18、∈(1，2)，恒有|z|>|z＋i|， 所以>對任意實數(shù)x∈(1，2)恒成立． 即2(x－a)＋1<0對任意實數(shù)x∈(1，2)恒成立． 所以a>x＋(1

19、－z)·z|＝________． 解析：因為z＝－1－i，所以z＝－1＋i， 所以(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i， 所以|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝. 答案： 9．(2020·寧波南三縣六校聯(lián)考)已知i是虛數(shù)單位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni，則＝________． 解析：由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以＝＝i2＝－1. 答案：－1 10．已知復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)在復平面內對應的點在直線x－2y＋m＝0上，則實數(shù)m＝________． 解析：z＝＝＝＝1－2i，復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標為(1，－2)，

20、將其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5. 答案：－5 11．計算：(1)； (2)＋； (3). 解：(1)＝ ＝＝＝＋i. (2)＋＝＋＝＋＝－1. (3)＝＝＝ ＝－－i. 12．實數(shù)m分別取什么數(shù)值時，復數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)與復數(shù)2－12i相等； (2)與復數(shù)12＋16i互為共軛復數(shù)； (3)對應的點在x軸上方． 解：(1)根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得 解得m＝－1. (2)根據(jù)共軛復數(shù)的定義得 解得m＝1. (3)根據(jù)復數(shù)z對應點在x軸上方可得m2－2m－15＞0，解得m＜－3或m＞5. [綜合題組練] 1．對任意復

21、數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，下列結論正確的是(　　) A．|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 解析：選D.依次判斷各選項，其中A，C錯，應為|z－z|＝2|yi|；B錯，應為z2＝x2－y2＋2xyi，D正確，因為|z|＝≤＝＝|x|＋|y|. 2．若虛數(shù)(x－2)＋yi(x，y∈R)的模為，則的最大值是　　(　　) A. B. C. D. 解析：選D.因為(x－2)＋yi是虛數(shù)，所以y≠0， 又因為|(x－2)＋yi|＝， 所以(x－2)2＋y2＝3. 由圖的幾何意義得，是復數(shù)x＋yi對

22、應點的斜率，所以＝tan∠AOB＝， 所以的最大值為. 3．若復數(shù)z1.z2滿足|z1|＝|z2|＝2，|z1＋z2|＝2，則|z1－z2|＝________． 解析：由已知z1，z2均在以原點為圓心、以2為半徑的圓上，|z1－z2|為另一對角線長，如圖，易知∠Z1OZ2＝60°，所以|z1－z2|＝2. 答案：2 4．已知復數(shù)z＝，當a≥2時，|z|2＋t|z|＋4>0恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是________． 解析：當a≥2時，復數(shù)z＝＝＝a－ai，|z|＝＝2a. 當a≥2時，|z|2＋t|z|＋4>0恒成立，則4a2＋2at＋4>0，化為：t>＝－2. 令f(a

23、)＝a＋(a≥2)，f′(a)＝1－>0， 所以f(a)在a≥2時單調遞增，所以a＝2時取得最小值.所以t>－5. 答案：(－5，＋∞) 5．若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件： ①z＋是實數(shù)；②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù)． 這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由． 解：這樣的虛數(shù)存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 設z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋ ＝＋i. 因為z＋是實數(shù)，所以b－＝0. 又因為b≠0，所以a2＋b2＝5.① 又z＋3＝(a＋3)＋bi的實部與虛部互為相反數(shù)， 所以a＋3＋b＝0.② 由解得或 故存在虛數(shù)z，z＝－1－2i或z＝－2－i. 13