（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 4 第4講 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案

第4講數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b(2)復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)zabi(a，bR)(3)復(fù)數(shù)相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共軛復(fù)數(shù)abi與cdi共軛ac且bd(a，b，c，dR)(5)復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，a、bR)2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR) 平面向量3復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減 、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若aC，則a20.()(2)已知zabi(a，bR)，當(dāng)a0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)()(3)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.()(4)方程x2x10沒有解()(5)由于復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)兩個數(shù)能比較大小，因而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)兩個數(shù)也能比較大小()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×教材衍化1(選修2­2P106B組T1改編)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則|z|_解析：1zi(1z)，z(1i)i1，zi，所以|z|i|1.答案：12(選修2­2P112A組T2改編)在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_解析：13i(2i)34i.答案：34i3(選修2­2P116A組T2改編)若復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為_解析：因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以所以x1.答案：1易錯糾偏(1)復(fù)數(shù)的幾何意義不清致誤；(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法不當(dāng)致使出錯；(3)z與z的不清致誤1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A48i B82iC24i D4i解析：選C.因?yàn)锳(6，5)，B(2，3)，所以線段AB的中點(diǎn)C(2，4)，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z24i.故選C.2若a為實(shí)數(shù)，且3i，則a_解析：由3i，得2ai(3i)(1i)24i，即ai4i，因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，所以a4.答案：43已知(12i)z43i，則z_解析：因?yàn)閦2i，所以z2i.答案：2i復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿足R，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2R，則z1z2；p4：若復(fù)數(shù)zR，則zR.其中的真命題為()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4(2)已知a，bR，(abi)234i(i是虛數(shù)單位)，則a2b2_，ab_【解析】(1)對于命題p1，設(shè)zabi(a，bR)，由R，得b0，則zR成立，故命題p1正確；對于命題p2，設(shè)zabi(a，bR)，由z2a2b22abiR，得ab0，則a0或b0，復(fù)數(shù)z可能為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)，故命題p2錯誤；對于命題p3，設(shè)z1abi(a，bR)，z2cdi(c，dR)，由z1·z2(acbd)(adbc)iR，得adbc0，不一定有z1z2，故命題p3錯誤；對于命題p4，設(shè)zabi(a，bR)，則由zR，得b0，所以zaR成立，故命題p4正確故選B.(2)因?yàn)?abi)2a2b22abi34i，所以所以或所以a2b25，ab2.【答案】(1)B(2)52解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實(shí)部和虛部 1(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z，則z的共軛復(fù)數(shù)為()A.i B.iC13i D13i解析：選B.zi.2(2020·浙江省高中學(xué)科基礎(chǔ)測試)已知復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a()A2 B1 C0 D2解析：選A.i，由是純虛數(shù)得0，所以a2，故選A.復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)(2020·臺州模擬)復(fù)數(shù)z3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱的點(diǎn)為A，則A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A12i B12iC2i D2i(3)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是，則|z1z2|()A2 B3C2 D3【解析】(1)z3i3i3i2i3i22i，故z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選A.(2)依題意得，復(fù)數(shù)zi(12i)2i，其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，1)，因此點(diǎn)A(2，1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.(3)由題圖可知，z12i，z2i，則z1z22，所以|z1z2|2.【答案】(1)A(2)C(3)A復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀 1已知i是虛數(shù)單位，則滿足zi|34i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)所在的象限為()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選A.zi|34i|5，z5i，對應(yīng)點(diǎn)(5，1)，在第一象限，故選A.2已知z(m3)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(3，1) B(1，3)C(1，) D(，3)解析：選A.由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(m3，m1)，所以解得3m1，故選A.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算(高頻考點(diǎn))復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算是每年高考的必考內(nèi)容，題型為選擇題或填空題，難度很小主要命題角度有：(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)角度一復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算 (2020·浙江新高考沖刺卷)已知復(fù)數(shù)z1i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1zz2z2 017的實(shí)部為()A1 B1C21 009 D21 009【解析】因?yàn)閦1i，所以1zz2z2 01721 009i.所以復(fù)數(shù)1zz2z2 017的實(shí)部為21 009.故選C.【答案】C角度二復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 計(jì)算下列各式的值(1)；(2)；(3)i3.【解】(1)2i.(2)2i.(3)i3i3i3ii0.角度三利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 已知abi(a，bR，i為虛數(shù)單位)，則ab()A7 B7C4 D4【解析】因?yàn)?34i，所以34iabi，則a3，b4，所以ab7，故選A.【答案】A (1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式 1(2018·高考浙江卷)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是()A1i B1i C1i D1i解析：選B.因?yàn)?i，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為1i，故選B.2(2020·嘉興一中高考模擬)復(fù)數(shù)z滿足z·(2i)34i(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)|()A. B2 C. D.解析：選D.復(fù)數(shù)z滿足z·(2i)34i(其中i為虛數(shù)單位)，所以z·(2i)(2i)(34i)(2i)，化為：5z105i，可得z2i.則復(fù)數(shù)|12i|12i|.故選D.3(2019·高考浙江卷)復(fù)數(shù)z(i為虛數(shù)單位)，則|z|_解析：通解：z，所以|z|.優(yōu)解：|z|.答案：基礎(chǔ)題組練1(2020·溫州七校聯(lián)考)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C.i，其在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限2(2020·金華十校聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z滿足z(1i)|1i|i，則z的實(shí)部為()A. B.1C1 D.解析：選A.由z(1i)|1i|i，得zi，故z的實(shí)部為，故選A.3若復(fù)數(shù)z滿足(12i)z1i，則|z|()A. B.C. D.解析：選C.z|z|.4如果復(fù)數(shù)z滿足|z1i|2，那么|z2i|的最大值是()A.2 B2iC. D.4解析：選A.復(fù)數(shù)z滿足|z1i|2，表示以C(1，1)為圓心，2為半徑的圓|z2i|表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)M(2，1)的距離因?yàn)閨CM|.所以|z2i|的最大值是2.故選A.5(2020·杭州市學(xué)軍中學(xué)聯(lián)考)已知1yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則xyi的共軛復(fù)數(shù)為()A12i B12iC2i D2i解析：選D.(xxi)1yi，所以解得x2，y1，故選D.6(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)zx(xa)i，若對任意實(shí)數(shù)x(1，2)，恒有|z|>|zi|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選C.因?yàn)閦x(xa)i，且對任意實(shí)數(shù)x(1，2)，恒有|z|>|zi|，所以>對任意實(shí)數(shù)x(1，2)恒成立即2(xa)1<0對任意實(shí)數(shù)x(1，2)恒成立所以a>x(1<x<2)因?yàn)閤，所以a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選C.7已知tR，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z134i，z2ti，且z1·z2是實(shí)數(shù)，則t等于_解析：因?yàn)閦134i，z2ti，所以z1·z2(3t4)(4t3)i，又z1·z2是實(shí)數(shù)，所以4t30，所以t.答案：8(2020·杭州市學(xué)軍中學(xué)聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z1i(i為虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為z，則|(1z)·z|_解析：因?yàn)閦1i，所以z1i，所以(1z)·z(2i)(1i)3i，所以|(1z)·z|3i|.答案：9(2020·寧波南三縣六校聯(lián)考)已知i是虛數(shù)單位，m，nR，且m(1i)1ni，則_解析：由m(1i)1ni，得mmi1ni，即mn1，所以i21.答案：110已知復(fù)數(shù)z(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x2ym0上，則實(shí)數(shù)m_解析：z12i，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，將其代入x2ym0，得m5.答案：511計(jì)算：(1)；(2)；(3).解：(1)i.(2)1.(3)i.12實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z(m25m6)(m22m15)i(1)與復(fù)數(shù)212i相等；(2)與復(fù)數(shù)1216i互為共軛復(fù)數(shù)；(3)對應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方解：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得m1.(2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得解得m1.(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)在x軸上方可得m22m150，解得m3或m5.綜合題組練1對任意復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，i為虛數(shù)單位，下列結(jié)論正確的是()A|zz|2y Bz2x2y2C|zz|2x D|z|x|y|解析：選D.依次判斷各選項(xiàng)，其中A，C錯，應(yīng)為|zz|2|yi|；B錯，應(yīng)為z2x2y22xyi，D正確，因?yàn)閨z|x|y|.2若虛數(shù)(x2)yi(x，yR)的模為，則的最大值是()A. B.C. D.解析：選D.因?yàn)?x2)yi是虛數(shù)，所以y0，又因?yàn)閨(x2)yi|，所以(x2)2y23.由圖的幾何意義得，是復(fù)數(shù)xyi對應(yīng)點(diǎn)的斜率，所以tanAOB，所以的最大值為.3若復(fù)數(shù)z1.z2滿足|z1|z2|2，|z1z2|2，則|z1z2|_解析：由已知z1，z2均在以原點(diǎn)為圓心、以2為半徑的圓上，|z1z2|為另一對角線長，如圖，易知Z1OZ260°，所以|z1z2|2.答案：24已知復(fù)數(shù)z，當(dāng)a2時，|z|2t|z|4>0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_解析：當(dāng)a2時，復(fù)數(shù)zaai，|z|2a.當(dāng)a2時，|z|2t|z|4>0恒成立，則4a22at4>0，化為：t>2.令f(a)a(a2)，f(a)1>0，所以f(a)在a2時單調(diào)遞增，所以a2時取得最小值.所以t>5.答案：(5，)5若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：z是實(shí)數(shù)；z3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由解：這樣的虛數(shù)存在，z12i或z2i.設(shè)zabi(a，bR且b0)，zabiabii.因?yàn)閦是實(shí)數(shù)，所以b0.又因?yàn)閎0，所以a2b25.又z3(a3)bi的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，所以a3b0.由解得或故存在虛數(shù)z，z12i或z2i.13