（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 1 第1講 函數(shù)及其表示教學(xué)案

第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)最新考綱函數(shù)及其表示 了解函數(shù)、映射的概念 了解函數(shù)的定義域、值域及三種表示法(解析法、圖象法和列表法) 了解簡單的分段函數(shù)，會(huì)用分段函數(shù)解決簡單的問題.函數(shù)的基本性質(zhì) 理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性 理解函數(shù)的最大(小)值的含義，會(huì)求簡單函數(shù)的最大(小)值.指數(shù)函數(shù) 了解指數(shù)冪的含義，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算 理解指數(shù)函數(shù)的概念，掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.對(duì)數(shù)函數(shù) 理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)用換底公式 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.冪函數(shù) 了解冪函數(shù)的概念 掌握冪函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象和性質(zhì).函數(shù)與方程了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，掌握連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法.函數(shù)模型及其應(yīng)用 了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征 能將一些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，并給予解決.第1講函數(shù)及其表示1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A、B設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法yf(x)(xA)對(duì)應(yīng)f：AB是一個(gè)映射2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)yf(x)的圖象與直線xa最多有2個(gè)交點(diǎn)()(2)函數(shù)f(x)x22x與g(t)t22t是同一函數(shù)()(3)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，則對(duì)應(yīng)關(guān)系f是從A到B的映射()(5)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的()(6)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集()答案：(1)×(2)(3)×(4)×(5)×(6)教材衍化1(必修1P18例2改編)下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是()Ay()2By1Cy1 Dy1解析：選B.對(duì)于A，函數(shù)y()2的定義域?yàn)閤|x1，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)y1的定義域?yàn)閤|x0，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于D，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B.2(必修1P25B組T1改編)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是_；值域是_；其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是_答案：3，02，31，51，2)(4，53(必修1P19T1(2)改編)函數(shù)y·的定義域是_解析：x2.答案：2，)易錯(cuò)糾偏(1)對(duì)函數(shù)概念理解不透徹；(2)換元法求解析式，反解忽視范圍1已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列從P到Q的各對(duì)應(yīng)關(guān)系f中不是函數(shù)的是_(填序號(hào))f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：對(duì)于，因?yàn)楫?dāng)x4時(shí)，y×4Q，所以不是函數(shù)答案：2已知f()x1，則f(x)_解析：令t，則t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)答案：x21(x0)函數(shù)的定義域(1)(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)月考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(2)若函數(shù)yf(x)的定義域是0，2，則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)開(3)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_【解析】(1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使解得x<.所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?(2)由得0x<1，即定義域是0，1)(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2x22axa10對(duì)xR恒成立，即2x22axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.【答案】(1)(2)0，1)(3)1，0 (變條件)若將本例(2)中“函數(shù)yf(x)”改為“函數(shù)yf(x1)”，其他條件不變，如何求解？解：由函數(shù)yf(x1)的定義域?yàn)?，2，得函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?，3，令得x且x1.所以g(x)的定義域?yàn)?函數(shù)定義域的求解策略(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題在解不等式組取交集時(shí)可借助于數(shù)軸，要特別注意端點(diǎn)值的取舍(2)求抽象函數(shù)的定義域：若yf(x)的定義域?yàn)?a，b)，則解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域?yàn)?a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得yf(x)的定義域(3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式(組)，然后求解提醒(1)求函數(shù)定義域時(shí)，對(duì)函數(shù)解析式先不要化簡；(2)求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式 1(2020·浙江新高考優(yōu)化卷)函數(shù)f(x)lg(3x25x2)的定義域是()A. B.C. D.解析：選B.依題意可得，要使函數(shù)有意義，則有，解得<x<1.故選B.2(2020·浙江新高考預(yù)測(cè)卷)已知集合Ax|y，Bx|yln(1x)，則AB()A0，1 B0，1)C(，1 D(，1)解析：選C.因?yàn)橛蓌x20得0x1，所以Ax|0x1由1x>0得x<1，所以Bx|x<1，所以ABx|x1故選C.3若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：由題意可得mx2mx10恒成立當(dāng)m0時(shí)，10恒成立；當(dāng)m0時(shí)，則解得0<m4.綜上可得0m4.答案：0，4求函數(shù)的解析式 (1)已知fx2，求f(x)的解析式；(2)已知flg x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)；(4)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式【解】(1)(配湊法)由于fx22，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22，x2或x2.(2)(換元法)令1t得x，代入得f(t)lg ，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg ，x1.(3)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(4)(解方程組法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，×2，得，3f(x)2x12x.即f(x).所以f(x)的解析式是f(x)，xR.求函數(shù)解析式的4種方法(1)配湊法：由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)提醒求解析式時(shí)要注意新元的取值范圍 1(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)月考)已知f(1)x2，則f(x)的解析式為f(x)_解析：法一：設(shè)t1，則x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二：因?yàn)閤2()2211(1)21，所以f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)答案：x21(x1)2設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f(x)2x2，則f(x)的解析式為f(x)_解析：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)2axb2x2，所以a1，b2，f(x)x22xc.又因?yàn)榉匠蘤(x)0有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以44c0，c1，故f(x)x22x1.答案：x22x1分段函數(shù)(高頻考點(diǎn))分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考的命題熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題主要命題角度有：(1)分段函數(shù)求值；(2)已知函數(shù)值，求參數(shù)的值(或取值范圍)；(3)與分段函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題角度一分段函數(shù)求值 (2020·杭州蕭山中學(xué)高三適應(yīng)性考試)若函數(shù)f(x)g(x)x2，則f(8)_；gf(2)_；f_【解析】f(8)log283，gf(2)g(log22)g(1)1，fff(1)f(1)log210.【答案】310角度二已知函數(shù)值求參數(shù)的值(或取值范圍) (2020·瑞安市龍翔高中高三月考)設(shè)函數(shù)f(x)，若f(f(a)3，則a_【解析】函數(shù)f(x)，若f(f(a)3，當(dāng)a1時(shí)，可得f(2a21)3，可得log2(2a2)3，解得a2.當(dāng)a<1時(shí)，可得f(log2(1a)3，log2(1a)1時(shí)，可得2(log2(1a)213，解得a.log2(1a)<1時(shí)，可得log2(1log2(1a)3，即1log2(1a)8，log2(1a)7，1a，可得a.綜上得a的值為2或.【答案】2或角度三與分段函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題 (2020·鎮(zhèn)海中學(xué)5月模擬)已知函數(shù)f(x)則f(f(2)_，若f(x)2，則x的取值范圍為_【解析】由分段函數(shù)的表達(dá)式得f(2)2422，f(2)0，故f(f(2)0.若x1，由f(x)2得22，得4，則2x4，得x2，則x2，此時(shí)x2.若x1，由f(x)2得(x2)(|x|1)2，即x|x|x2|x|0，若x0，得x23x0，則x3或x0，此時(shí)x3或x0；若1x0，得x2x0，得x2x0，得0x1，此時(shí)無解綜上得x3或x0或x2.【答案】0x3或x0或x2(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式，求函數(shù)值的解題思路先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值(2)已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求參數(shù)值的解題思路先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)(3)已知分段函數(shù)的函數(shù)值滿足的不等式，求自變量取值范圍的解題思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來 1(2020·浙江教育評(píng)價(jià)高三第二次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)，則f(f(4)()A2 B3C5 D6解析：選C.f(f(4)f(31)log2 325.故選C.2(2020·Z20聯(lián)盟開學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)，若f(a)1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，42，) B1，2C4，0)(0，2 D4，2解析：選D.f(a)1或解得4a0或0<a2，即a4，2，故選D.核心素養(yǎng)系列2數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的新定義問題以學(xué)習(xí)過的函數(shù)相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)，通過一類問題共同特征的“數(shù)學(xué)抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新問題 在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(nN*)個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為n階整點(diǎn)函數(shù)給出下列函數(shù)：f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x)；(x)ln x.其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是()A BC D【解析】對(duì)于函數(shù)f(x)sin 2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)(0，0)，所以它是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除D；對(duì)于函數(shù)g(x)x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0，0)，(1，1)，所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除A；對(duì)于函數(shù)h(x)，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0，1)，(1，3)，所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除B.故選C.【答案】C本題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)破解新定義函數(shù)題的關(guān)鍵是：緊扣新定義的函數(shù)的含義，學(xué)會(huì)語言的翻譯、新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，便可使問題順利獲解如本例，若能把新定義的一階整點(diǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過1個(gè)整點(diǎn)，問題便迎刃而解1若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，則函數(shù)解析式為yx21，值域?yàn)?，3的同族函數(shù)有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選C.由x211得x0，由x213得x±，所以函數(shù)的定義域可以是0，0，0，故值域?yàn)?，3的同族函數(shù)共有3個(gè)2若定義在R上的函數(shù)f(x)當(dāng)且僅當(dāng)存在有限個(gè)非零自變量x，使得f(x)f(x)，則稱f(x)為“類偶函數(shù)”，則下列函數(shù)中為類偶函數(shù)的是()Af(x)cos x Bf(x)sin xCf(x)x22x Df(x)x32x解析：選D.A中函數(shù)為偶函數(shù)，則在定義域內(nèi)均滿足f(x)f(x)，不符合題意；B中，當(dāng)xk(kZ)時(shí)，滿足f(x)f(x)，不符合題意；C中，由f(x)f(x)，得x22xx22x，解得x0，不符合題意；D中，由f(x)f(x)，得x32xx32x，解得x0或x±，滿足題意，故選D.基礎(chǔ)題組練1函數(shù)f(x)ln(3xx2)的定義域是()A(2，) B(3，)C(2，3) D(2，3)(3，)解析：選C.由解得2x3，則該函數(shù)的定義域?yàn)?2，3)，故選C.2(2020·嘉興一模)已知a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)則f(2a2)的值為()A2a BaC2 Da或2解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)所以f(2a2)log2(2a22)a，故選B.3下列哪個(gè)函數(shù)與yx相等()Ay By2log2xCy Dy()3解析：選D.yx的定義域?yàn)镽，而y的定義域?yàn)閤|xR且x0，y2log2x的定義域?yàn)閤|xR，且x>0，排除A、B；y|x|的定義域?yàn)閤R，對(duì)應(yīng)關(guān)系與yx的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，排除C；而y()3x，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系與yx均相同，故選D.4(2020·杭州七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3cos1，若f(a)2，則f(a)的值為()A3 B0C1 D2解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3cos1，所以f(x)x3sin x1，因?yàn)閒(a)2，所以f(a)a3sin a12，所以a3sin a1，所以f(a)(a)3sin(a)1110.故選B.5已知a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，集合Ma24a，1，Nb24b1，2，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，則ab等于()A1 B2C3 D4解析：選D.由已知可得MN，故所以a，b是方程x24x20的兩根，故ab4.6存在函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意xR都有()Af(sin 2x)sin x Bf(sin 2x)x2xCf(x21)|x1| Df(x22x)|x1|解析：選D.取特殊值法取x0，可得f(0)0，1，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取x0，可得f(0)0，2，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；取x1，1，可得f(2)2，0，這與函數(shù)的定義矛盾，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；取f(x)，則對(duì)任意xR都有f(x22x)|x1|，故選項(xiàng)D正確7已知f，則f(x)的解析式為()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)解析：選C.令t，則x，所以f(t)，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)，故選C.8設(shè)函數(shù)f(x)則(ab)的值為()Aa BbCa，b中較小的數(shù) Da，b中較大的數(shù)解析：選C.若ab0，即ab，則f(ab)1，則(ab)(ab)b(ab)；若ab0，即ab，則f(ab)1，則(ab)(ab)a(ab)綜上，選C.9(2020·紹興高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)，若f(f()2，則實(shí)數(shù)n為()A BC. D.解析：選D.因?yàn)閒()2×nn，當(dāng)n1，即n時(shí)，f(f()2(n)n2，解得n，不符合題意；當(dāng)n1，即n時(shí)，f(f()log2(n)2，即n4，解得n，故選D.10設(shè)f(x)，g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)(f·g)(x)：對(duì)任意的xR，(f·g)(x)f(g(x)若f(x)g(x)則()A(f·f)(x)f(x) B(f·g)(x)f(x)C(g·f)(x)g(x) D(g·g)(x)g(x)解析：選A.對(duì)于A，(f·f)(x)f(f(x)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x0，(f·f)(x)f(x)x；當(dāng)x0時(shí)，f(x)x20，(f·f)(x)f(x)x2；當(dāng)x0時(shí)，(f·f)(x)f2(x)002，因此對(duì)任意的xR，有(f·f)(x)f(x)，故A正確，選A.11.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間1，2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為_解析：由題圖可知，當(dāng)1x<0時(shí)，f(x)x1；當(dāng)0x2時(shí)，f(x)x，所以f(x)答案：f(x)12若f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有2f(x)f(x)3x1，則f(1)_解析：令x1，得2f(1)f(1)4，令x1，得2f(1)f(1)2，聯(lián)立得f(1)2.答案：213函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出x123x123f(x)131g(x)321則f(g(1)的值為_；滿足f(g(x)g(f(x)的x的值為_解析：因?yàn)間(1)3，f(3)1，所以f(g(1)1.當(dāng)x1時(shí)，f(g(1)f(3)1，g(f(1)g(1)3，不合題意當(dāng)x2時(shí)，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)1，符合題意當(dāng)x3時(shí)，f(g(3)f(1)1，g(f(3)g(1)3，不合題意答案：1214設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)1的自變量x的取值范圍是_解析：f(x)1等價(jià)于或由得x2或0x1.由得1x10.綜上所述，x的取值范圍是x2或0x10.答案：(，20，1015已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_解析：當(dāng)a>0時(shí)，1a<1，1a>1，此時(shí)f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合題意，舍去當(dāng)a<0時(shí)，1a>1，1a<1，此時(shí)f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a，由f(1a)f(1a)得1a23a，解得a.綜上可知，a的值為.答案：16(2020·杭州市富陽二中高三(上)開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)，則f(f(2)_，f(x)的最小值是_解析：由題意可得f(2)(2)24，所以f(f(2)f(4)46；因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，f(x)x2，由二次函數(shù)可知當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)x6，由基本不等式可得f(x)x62626，當(dāng)且僅當(dāng)x即x時(shí)取到等號(hào)，即此時(shí)函數(shù)取最小值26；因?yàn)?6<0，所以f(x)的最小值為26.答案：2617已知函數(shù)f(x)若af(a)f(a)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：易知a0.由題意得，當(dāng)a>0時(shí)，則a<0，故af(a)f(a)a(a2a3a)>0，化簡可得a22a>0，解得a>2或a<0.又因?yàn)閍>0，所以a>2.當(dāng)a<0時(shí)，則a>0，故af(a)f(a)a3a(a2a)>0，化簡可得a22a>0，解得a>0或a<2，又因?yàn)閍<0，所以a<2.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，2)(2，)答案：(，2)(2，)綜合題組練1設(shè)xR，定義符號(hào)函數(shù)sgn x則()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x解析：選D.當(dāng)x<0時(shí)，|x|x，x|sgn x|x，x·sgn|x|x，|x|sgn x(x)·(1)x，排除A，B，C，故選D.2(2020·寧波市九校期末聯(lián)考)已知下列各式：f(|x|1)x21；f()x；f(x22x)|x|；f(|x|)3x3x.其中存在函數(shù)f(x)對(duì)任意的xR都成立的序號(hào)為_解析：f(|x|1)x21，由t|x|1(t1)，可得|x|t1，則f(t)(t1)21，即有f(x)(x1)21對(duì)xR均成立；f()x，令t(0t1)，x± ，對(duì)0t1，yf(t)不能構(gòu)成函數(shù)，故不成立；f(x22x)|x|，令tx22x，若t1時(shí)，x；t1，可得x1±(t1)，yf(t)不能構(gòu)成函數(shù)；f(|x|)3x3x，當(dāng)x0時(shí)，f(x)3x3x；當(dāng)x0時(shí)，f(x)3x3x；將x換為x可得f(x)3x3x；故恒成立綜上可得符合條件答案：3設(shè)函數(shù)f(x)且f(2)3，f(1)f(1)(1)求f(x)的解析式；(2)畫出f(x)的圖象解：(1)由f(2)3，f(1)f(1)，得解得a1，b1，所以f(x)(2)f(x)的圖象如圖：4已知f(x)x21，g(x)(1)求f(g(2)與g(f(2)；(2)求f(g(x)與g(f(x)的表達(dá)式解：(1)g(2)1，f(g(2)f(1)0；f(2)3，g(f(2)g(3)2.(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(g(x)f(x1)(x1)21x22x；當(dāng)x<0時(shí)，f(g(x)f(2x)(2x)21x24x3.所以f(g(x)同理可得g(f(x)5設(shè)計(jì)一個(gè)水渠，其橫截面為等腰梯形(如圖)，要求滿足條件ABBCCDa(常數(shù))，ABC120°，寫出橫截面的面積 y關(guān)于腰長x的函數(shù)，并求它的定義域和值域解：如圖，因?yàn)锳BBCCDa，所以BCEFa2x>0，即0<x<，因?yàn)锳BC120°，所以A60°，所以AEDF，BEx，y(BCAD)·BE(2a3x)x(3x22ax)a2，故當(dāng)x時(shí)，y有最大值a2，它的定義域?yàn)?，值域?yàn)?6已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)2f(x1)，且f(x)在區(qū)間0，1上有表達(dá)式f(x)x2.(1)求f(1)，f(1.5)；(2)寫出f(x)在區(qū)間2，2上的表達(dá)式解：(1)由題意知f(1)2f(11)2f(0)0，f(1.5)f(10.5)f(0.5)×.(2)當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)x2；當(dāng)x(1，2時(shí)，x1(0，1，f(x)f(x1)(x1)2；當(dāng)x1，0)時(shí)，x10，1)，f(x)2f(x1)2(x1)2；當(dāng)x2，1)時(shí)，x11，0)，f(x)2f(x1)2×2(x11)24(x2)2.所以f(x).18