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2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 專題研究4 圓錐曲線中的探索性問題練習(xí) 理

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2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 專題研究4 圓錐曲線中的探索性問題練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 專題研究4 圓錐曲線中的探索性問題練習(xí) 理1(2018·重慶一中期中)當(dāng)曲線y與直線kxy2k40有兩個不同的交點(diǎn)時,實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(0,)B(,C(,1 D(,)答案C解析曲線y表示圓x2y24的下半部分,直線kxy2k40過定點(diǎn)(2,4)由2,解得k,所以過點(diǎn)(2,4)且斜率k的直線yx與曲線y相切,如圖所示過點(diǎn)(2,4)與點(diǎn)(2,0)的直線的斜率為1.所以曲線y與直線kxy2k0有兩個不同的交點(diǎn)時,實(shí)數(shù)k的取值范圍是(,1故選C.2設(shè)拋物線x22py(p>0),M為直線y2p上任意一點(diǎn),過M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B,記A,B,M的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,xM,則()AxAxB2xM BxA·xBxM2C. D以上都不對答案A解析由x22py得y,所以y,所以直線MA的方程為y2p(xxM),直線MB的方程為y2p(xxM),所以2p(xAxM),2p(xBxM),由可得xAxB2xM,故選A.3(2016·浙江,文)設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲線上,且F1PF2為銳角三角形,則|PF1|PF2|的取值范圍是_答案(2,8)解析由題意不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,現(xiàn)考慮兩種極限情況:當(dāng)PF2x軸時,|PF1|PF2|有最大值8;當(dāng)P為直角時,|PF1|PF2|有最小值2.因?yàn)镕1PF2為銳角三角形,所以|PF1|PF2|的取值范圍為(2,8)4已知圓C的半徑為2,圓心在直線yx2上,E(1,1),F(xiàn)(1,3),若圓上存在點(diǎn)Q,使|QF|2|QE|232,則圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍為_答案3,1解析根據(jù)題意,可設(shè)圓C的方程為(xa)2(ya2)24,設(shè)Q(x,y),由|QF|2|QE|232,得到(x1)2(y3)2(x1)2(y1)232,得y3,故點(diǎn)Q在直線y3上,又點(diǎn)Q在圓(xa)2(ya2)24上,所以圓C與直線y3必須有公共點(diǎn)因?yàn)閳A心的縱坐標(biāo)為a2,半徑為2,所以圓C與直線y3有公共點(diǎn)的充分條件是1a25,即3a1.所以圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍是3,15(2018·江西紅色七校二模)已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且|PQ|3.(1)求橢圓的方程;(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N,則F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及此時直線l的方程;若不存在,請說明理由答案(1)1(2)存在,最大值為解析(1)設(shè)橢圓方程為1(a>b>0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c1,由|PQ|3,可得3.又a2b21,解得a2,b,故橢圓方程為1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),不妨設(shè)y1>0,y2<0.設(shè)F1MN的內(nèi)切圓的半徑為R.則F1MN的周長為4a8,SF1MN(|MN|F1M|F1N|)R4R.因此,SF1MN最大,R就最大,F(xiàn)1MN的內(nèi)切圓的面積就最大由題知,直線l的斜率不為零,可設(shè)直線l的方程為xmy1.由得(3m24)y26my90,則y1,y2,則SF1MN|F1F2|(y1y2)y1y2.令t,t1,則SF1MN.令f(t)3t,則f(t)3,當(dāng)t1時,f(t)0,f(t)在1,)上單調(diào)遞增,則f(t)f(1)4,SF1MN3,且當(dāng)t1,即m0時,(SF1MN)max3.SF1MN4R,Rmax,這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為.故直線l的方程為x1時,F(xiàn)1MN內(nèi)切圓的面積取得最大值.6(2018·安徽六安二模)設(shè)點(diǎn)P是圓x2y24上的任意一點(diǎn),點(diǎn)D是點(diǎn)P在x軸上的投影,動點(diǎn)M滿足 2,過定點(diǎn)Q(0,2)的直線l與動點(diǎn)M的軌跡交于A,B兩點(diǎn)(1)求動點(diǎn)M的軌跡方程;(2)在y軸上是否存在點(diǎn)E(0,t),使|EA|EB|?若存在,求出實(shí)數(shù)t的取值范圍;若不存在,請說明理由答案(1)1(2)存在,t(,0解析(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xp,0),由 2,得點(diǎn)P在圓上,x2(y)24,即1,點(diǎn)M的軌跡方程為1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x0,當(dāng)E與原點(diǎn)重合,即t0時,滿足|EA|EB|.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為ykx2,代入1,消去y,得(34k2)x216kx40,則由(16k)216(34k2)>0,得|k|>.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2.|EA|EB|,()·0.又(x1x2,k(x1x2)42t),(x2x1,k(x2x1),(x2x1,k(x2x1)·(x1x2,k(x1x2)42t)0,展開化簡,得(1k2)·(x1x2)4k2kt0,將x1x2代入化簡,得t,又|k|>,t(,0)綜上,存在符合題意的點(diǎn)E,且實(shí)數(shù)t的取值范圍為(,07(2018·貴州貴陽考試)已知拋物線E:y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為P,過點(diǎn)P且斜率為k的直線m交拋物線于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)若|AF|BF|8,求線段AB的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離;(2)E上是否存在一點(diǎn)M,滿足?若存在,求出直線m的斜率;若不存在,請說明理由答案(1)4(2)不存在解析(1)由拋物線E的方程為y24x,可得F(1,0),準(zhǔn)線l:x1,P(1,0)過點(diǎn)A作AAl,過點(diǎn)B作BBl,垂足分別為A,B.由拋物線的定義得|AF|AA|,|BF|BB|,由|AF|BF|8得|AA|BB|8.過AB的中點(diǎn)Q作QQl,垂足為Q,故QQ是直角梯形AABB的中位線,|QQ|4,即線段AB的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離為4.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),則(x11,y1)(x21,y2)(x1x22,y1y2)(x1,y),故即設(shè)直線m的方程為yk(x1),聯(lián)立得k2x2(2k24)xk20,(2k24)24k41616k2>0,x1x2.x1,x.y1y2k(x1x2)2kk·2k.y.M(,)點(diǎn)M在拋物線上,()24·,即4,此方程無解不存在滿足條件的點(diǎn)M.8(2018·吉林普通中學(xué)第一次調(diào)研)如圖,已知橢圓E:1(0<b<2),點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上,且·2.(1)求橢圓E的方程及離心率;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)P的動直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),是否存在常數(shù),使得··為定值?若存在,求的值;若不存在,請說明理由答案(1)1e(2)1時,定值為3解析(1)由已知,點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(0,b),(0,b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),且·2,于是解得c1,b.所以橢圓E的方程為1.因?yàn)閏1,a2,所以離心率e.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為ykx1,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)聯(lián)立得(4k23)x28kx80.其判別式>0,所以x1x2,x1x2.從而··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)123.所以當(dāng)2時,237,即··7為定值當(dāng)直線AB的斜率不存在時,直線AB即直線CD.此時···2·347.故存在常數(shù)2,使得··為定值7.1已知拋物線y22px(p>0),O是坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),P是拋物線上一點(diǎn),則使得POF是直角三角形的點(diǎn)P共有()A0個 B2個C4個 D6個答案B解析當(dāng)OFP為直角時,作出圖形如圖所示,過焦點(diǎn)F作PFx軸,交拋物線于點(diǎn)P,P,則OFP,OFP都是直角三角形顯然POF不可能為直角若OPF90°,易知F(,0),設(shè)P(,y),可得(,y),(,y),·()y2.>0,>0,·>0,cosOPF>0,OPF為銳角,不可能為直角綜上,使得POF是直角三角形的點(diǎn)P有且有2個2(2018·江蘇鹽城中學(xué)摸底)命題p:已知橢圓1(a>b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn),P為橢圓上的一個動點(diǎn),過F2作F1PF2外角的平分線的垂線,垂足為M,則OM的長為定值類比此命題,在雙曲線中也有命題q:已知雙曲線1(a>0,b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點(diǎn),P為雙曲線上的一個動點(diǎn),過F2作F1PF2的_的垂線,垂足為M,則OM的長為定值_答案內(nèi)角平分線a解析F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn),P為橢圓上的一個動點(diǎn),過F2作F1PF2外角的平分線的垂線,垂足為M,點(diǎn)F2關(guān)于F1PF2的外角平分線PM的對稱點(diǎn)Q在F1P的延長線上,|F1Q|PF1|PF2|2a(橢圓長軸長),又OM是F2F1Q的中位線,故|OM|a.不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右支上,當(dāng)過F2作F1PF2的內(nèi)角平分線的垂線,垂足為M時,點(diǎn)F2關(guān)于F1PF2的內(nèi)角平分線PM的對稱點(diǎn)Q在PF1上,|F1Q|PF1|PF2|2a,又OM是F2F1Q的中位線,故|OM|a.3(2018·海南??谌?已知橢圓C:y21(a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),P為橢圓C上任意一點(diǎn),且·的最小值為0.(1)求橢圓C的方程;(2 )若動直線l1,l2均與橢圓C相切,且l1l2,試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B,使得點(diǎn)B到l1,l2的距離之積恒為1?若存在,請求出點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在,請說明理由答案(1)y21(2)略解析(1)設(shè)P(x,y),則有(xc,y),(xc,y),·x2y2c21c2,xa,a,由·的最小值為0,得1c20,c1,a22,橢圓C的方程為y21.(2)當(dāng)直線l1,l2斜率存在時,設(shè)其方程分別為ykxm,ykxn,把l1的方程代入橢圓方程得(12k2)x24mkx2m220.直線l1與橢圓C相切,16k2m24(12k2)(2m22)0,化簡得m212k2,同理,n212k2,m2n2.若mn,則l1,l2重合,不合題意,mn.設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B(t,0),點(diǎn)B到直線l1,l2的距離之積為1,則·1,即|k2t2m2|k21,把12k2m2代入并去絕對值,整理得k2(t23)2或k2(t21)0,前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的kR恒成立,則t210,解得t±1.當(dāng)直線l1,l2斜率不存在時,其方程為x和x,定點(diǎn)(1,0)或(1,0)到直線l1,l2的距離之積為(1)·(1)1,綜上所述,滿足題意的定點(diǎn)B為(1,0)和(1,0)4(2018·吉林一中二模)已知拋物線C:y22px(p>0)與直線xy40相切(1)求該拋物線的方程;(2)在x軸的正半軸上,是否存在某個確定的點(diǎn)M,過該點(diǎn)的動直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),使得為定值?如果存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由答案(1)y28x(2)略解析(1)聯(lián)立方程,有消去x,得y22py8p0,由直線與拋物線相切,得8p232p0,解得p4.所以拋物線的方程為y28x.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M(m,0)(m>0)直線l:xtym,由得y28ty8m0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),有y1y28t,y1y28m.|AM|2(x1m)2y12(t21)y12,|BM|2(x2m)2y22(t21)y22.··,當(dāng)m4時,為定值,所以M(4,0)5(2018·浙江溫州第一次考試)如圖,動圓C過點(diǎn)F(1,0),且與直線x1相切于點(diǎn)P.(1)求圓C的軌跡的方程;(2)過點(diǎn)F任作一直線交軌跡于A,B兩點(diǎn),設(shè)PA,PF,PB的斜率分別為k1,k2,k3,問:是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請說明理由答案(1)y24x(2)定值為2解析(1)由題意,圓心C到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線x1的距離相等由拋物線的定義,可知圓心C的軌跡是以F(1,0)為焦點(diǎn),以直線x1為準(zhǔn)線的拋物線,其中1,所以p2.故圓心C的軌跡的方程是y24x.(2)設(shè)直線AB的方程為xmy1,A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立方程,得整理得y24my40,則y1y24m,y1y24.設(shè)P(1,t),則k1,k3,k2.k1k3t,則2,故為定值,定值為2.

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