（全國通用版）2018-2019高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.4.3 含有一個量詞的命題的否定學案 新人教A版選修2-1

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1、 1.4.3　含有一個量詞的命題的否定 學習目標　1.理解含有一個量詞的命題的否定的意義.2.會對含有一個量詞的命題進行否定.3.掌握全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題． 知識點一　全稱命題的否定 思考　嘗試寫出下面含有一個量詞的全稱命題的否定，并歸納寫全稱命題否定的方法． (1)所有矩形都是平行四邊形； (2)每一個素數(shù)都是奇數(shù)； (3)?x∈R，x2－2x＋1≥0. 答案　(1)將量詞“所有”換為：“存在一個”然后將結(jié)論否定，即“不是平行四邊形”，所以原命題的否定為：“存在一個矩形不是平行四邊形”；用同樣的方法可得(2)(3)的否定： (2)存在一個素

2、數(shù)不是奇數(shù)； (3)?x0∈R，x－2x0＋1<0. 梳理　寫全稱命題的否定的方法：(1)更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞；(2)將結(jié)論否定． 對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)． 全稱命題的否定是特稱命題． 知識點二　特稱命題的否定 思考　嘗試寫出下面含有一個量詞的特稱命題的否定，并歸納寫特稱命題否定的方法． (1)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)； (2)某些平行四邊形是菱形； (3)?x0∈R，x＋1<0. 答案　(1)先將存在量詞“有些”改寫為全稱量詞“所有”，然后將結(jié)論“實數(shù)的絕對值是正數(shù)”

3、否定，即“實數(shù)的絕對值不是正數(shù)，于是得原命題的否定為：“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”；同理可得(2)(3)的否定： (2)所有平行四邊形都不是菱形； (3)?x∈R，x2＋1≥0. 梳理　寫特稱命題的否定的方法：(1)將存在量詞改寫為全稱量詞，(2)將結(jié)論否定． 對于含一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論： 特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．特稱命題的否定是全稱命題． (1)命題綈p的否定為p.(√) (2)?x0∈M，p(x0)與?x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√) (3)從特稱命題的否定看，是對“量詞”和“p(x)”同時否定．

4、(×) 類型一　全稱命題的否定 例1　寫出下列全稱命題的否定： (1)任何一個平行四邊形的對邊都平行； (2)數(shù)列：1,2,3,4,5中的每一項都是偶數(shù)； (3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0. 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的否定 解　(1)其否定：存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行． (2)其否定：數(shù)列：1,2,3,4,5中至少有一項不是偶數(shù)． (3)其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0. 反思與感悟　全稱命題的否定是特稱命題，對省略全

5、稱量詞的全稱命題可補上量詞后進行否定． 跟蹤訓練1　寫出下列全稱命題的否定： (1)p：每一個四邊形的四個頂點共圓； (2)p：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)； (3)p：任何實數(shù)x都是方程5x－12＝0的根； (4)p：對任意實數(shù)x，x2＋1≥0. 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的否定 解　(1)綈p：存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓． (2)綈p：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)． (3)綈p：存在實數(shù)x0不是方程5x0－12＝0的根． (4)綈p：存在實數(shù)x0，使得x＋1<0. 類型二　特稱命題的否定 例2　寫出下列特稱命題的否定，并判斷其真假． (1)p：

6、?x0∈R,2x0＋1≥0； (2)q：?x0∈R，x－x0＋＜0； (3)r：有些分數(shù)不是有理數(shù)． 考點　存在量詞的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 解　(1)綈p：?x∈R,2x＋1＜0，綈p為假命題． (2)綈q：?x∈R，x2－x＋≥0. ∵x2－x＋＝2≥0，∴綈q是真命題． (3)綈r：一切分數(shù)都是有理數(shù)，綈r是真命題． 反思與感悟　特稱命題的否定是全稱命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞．即p：?x0∈M，p(x0)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立． 跟蹤訓練2　寫出下列特稱命題的否定，并判斷其否定的真假． (1)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；

7、 (2)某些平行四邊形是菱形； (3)?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3. 考點　存在量詞的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 解　(1)命題的否定是“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，即“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”．它為假命題． (2)命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”．由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題． (3)命題的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．當x＝0，y＝3時，x＋y＝3，因此命題的否定是假命題． 類型三　含量詞的命題的應用 例3　已知命題“對于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

8、 考點　含有一個量詞的命題 題點　由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　因為全稱命題“對于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式為：“存在x0∈R，x＋ax0＋1＜0”． 由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知，這個否定形式的命題是真命題． 由于函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋1是開口向上的拋物線， 借助二次函數(shù)的圖象易知：Δ＝a2－4＞0， 解得a＜－2或a＞2. 所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 引申探究 把本例中“假命題”改為“真命題”，求實數(shù)a的取值范圍． 解　由題意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]． 故a的取值范圍為[

9、－2,2]． 反思與感悟　含有一個量詞的命題與參數(shù)范圍的求解策略 (1)對于全稱命題“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”為真的問題，實質(zhì)就是不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)． (2)對于特稱命題“?x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”為真的問題，實質(zhì)就是不等式能成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)． (3)若全稱命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定形式——特稱命題為真命題解決，同理，若特稱命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定形式——全稱命題為真

10、命題解決． 跟蹤訓練3　已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，并說明理由； (2)若存在一個實數(shù)x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍． 考點　含有一個量詞的命題 題點　由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　(1)不等式m＋f(x)>0可化為m>－f(x)， 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可． 故存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，此時，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0

11、可化為m>f(x0)，若存在一個實數(shù)x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求實數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞). 1．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．?x∈R，|x|＋x2＜0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0 C．?x0∈R，|x0|＋x＜0 D．?x0∈R，|x0|＋x≥0 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的否定 答案　C 2．?m0，n0∈Z，使得m＝n＋2 017的否定是(　　) A．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017 B．?m

12、0，n0∈Z，使得m≠n＋2 017 C．?m，n∈Z，有m2≠n2＋2 017 D．以上都不對 考點　存在量詞的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 答案　C 3．命題“?x∈R，x＞sin x”的否定是________________． 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的否定 答案　?x0∈R，x0≤sin x0 4．由命題“存在x0∈R，使－m≤0”是假命題，得m的取值范圍是(－∞，a)，則實數(shù)a的值是________． 考點　含有一個量詞的命題 題點　含一個量詞的命題的否定 答案　1 解析　其否定為：?x∈R，使e|x－1|－m＞0， 且為真命題

13、．m＜e|x－1|. 只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1. 5．寫出下列命題的否定，并判斷其真假． (1)?x0∈R，x＋2x0＋2＝0； (2)p：所有的正方形都是菱形； (3)p：至少有一個實數(shù)x0，使x＋1＝0. 考點　含有一個量詞的命題 題點　含一個量詞的命題的否定 解　(1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命題． 由為?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立． (2)綈p：至少存在一個正方形不是菱形，假命題． 因為所有的正方形都是菱形． (3)綈p：?x∈R，x3＋1≠0，假命題． 因為當x＝－1時，x3＋1＝0. 1．對含

14、有全稱量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將全稱量詞改寫成存在量詞，即將“任意”改為“存在”；第二步，將結(jié)論加以否定，如：將“≥”否定為“<”． 2．對含有存在量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將存在量詞改寫成全稱量詞；第二步，將結(jié)論加以否定．含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題．注意命題中可能省略了全稱或存在意義的量詞，要注意判斷．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．下列命題中，真命題的個數(shù)是(　　) ①存在實數(shù)x0，使得x＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)． A．0 B．1 C．2 D．3 考點　含有一個

15、量詞的命題 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案　B 解析　x2＋2≥2，故①是假命題；?x∈R，|sin x|≤1，故②是假命題；f(x)＝0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以③是真命題．故選B. 2．命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．存在x0∈R，x－x＋1≤0 B．存在x0∈R，x－x＋1≥0 C．存在x0∈R，x－x＋1＞0 D．對任意的x∈R，x3－x2＋1＞0 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的否定 答案　C 解析　由題意知，原命題為全稱命題，故其否定為特稱命題，所以否定為“存在x0∈R，x－x＋1＞0”．故選C. 3．已

16、知命題p：存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命題p的否定是(　　) A．存在a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0 B．存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0 C．對任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0 D．對任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0 考點　存在量詞的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 答案　D 解析　易知綈p：對任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故選D. 4．已知p：?x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果p是假命題，那么a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＜ B．0＜a≤ C．a(chǎn)≤ D．a(chǎn)≥ 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞

17、的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 答案　C 解析　易知綈p：?x0∈R，ax＋2x0＋3≤0， 顯然當a＝0時，滿足題意； 當a＞0時，由Δ≥0，得0＜a≤； 當a＜0時，滿足題意． 所以a的取值范圍是. 5．下列命題中，假命題是(　　) A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0 C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2 考點　含有一個量詞的命題 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案　B 解析　對于?x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的圖象是將y＝2x的圖象沿x軸向右平移1個單位長度，函數(shù)的值域不變，故2x－1>

18、0恒成立，A為真命題；當x＝1時，(x－1)2＝0，故B為假命題；當0n B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0 D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的否定 答案　D 解析　“f(n)∈N*且f

19、(n)≤n”的否定為“f(n)?N*或f(n)>n”，全稱命題的否定為特稱命題，故選D. 7．已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項中的命題為假命題的是(　　) A．?x1∈R，f(x1)≤f(x0) B．?x1∈R，f(x1)≥f(x0) C．?x∈R，f(x)≤f(x0) D．?x∈R，f(x)≥f(x0) 考點　含有一個量詞的命題 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案　C 解析　當a>0時，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象為開口向上的拋物線，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax＋b＝0，則x0＝－為拋物線頂點的橫坐標

20、，f(x)min＝f(x0)，故對于?x∈R，f(x)≥f(x0)成立，從而選項A，B，D為真命題，選項C為假命題． 二、填空題 8.“若|x|+|y|=0，則x，y全為0”的否定為 . 答案　若|x|+|y|=0，則x，y不全為0 9.函數(shù)y=x+b的值隨x的增加而增加的否定為 . 答案　若x增加，則函數(shù)y=x+b的值不增加 10．設命題p：?x∈R，x2＋ax＋2＜0，若p為假，則實數(shù)a的取值范圍是________． 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍 答案　(－∞，＋∞) 解析

21、　綈p：?x0∈R，x＋ax0＋2≥0為真命題， 顯然a∈R. 11．命題“對任意x∈R，都有|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是_________________________. 考點　全稱量詞的否定 題點　含全稱量詞的命題的否定 答案　?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3 三、解答題 12．若命題“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應用 題點　由含量詞的復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0， 令f(x)＝x2－2ax＋2－a， 所以全稱命題轉(zhuǎn)化

22、為“?x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立”， 所以Δ≤0或 即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以－3≤a≤1. 故所求實數(shù)a的取值范圍為[－3,1]． 13．已知p：?a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函數(shù)f(x)＝ sin的周期不大于4π. (1)寫出綈p； (2)當p是假命題時，求實數(shù)b的最大值． 考點　全稱量詞的否定 題點　全稱量詞的命題的否定 解　(1)綈p：?a0∈(0，b](b∈R且b＞0)， 函數(shù)f(x)＝sin的周期大于4π. (2)由于綈p是假命題，所以p是真命題， 所以?a∈(0，b]，≤4π恒成立， 解得a≤2，所以0＜b≤2，所以實數(shù)b的

23、最大值是2. 四、探究與拓展 14．關(guān)于x的函數(shù)y＝x2－(a＋1)x＋2a對于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，則實數(shù)x的取值范圍為____________． 考點　簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應用 題點　由含量詞的復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍 答案　(－∞，－)∪(，＋∞) 解析　設f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，則有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]， ∵當a∈[－1,1]時，y＝f(a)＞0恒成立， ∴對a的系數(shù)討論如下： ①當x＝2時，f(a)＝2＞0顯然成立； ②當x≠2時，由f(a)＞0，a∈[－1,1]恒成立，得 即 解得x＞或x＜－.

24、 綜上可得，x的取值范圍為(－∞，－)∪(，＋∞)． 15．給出兩個命題，命題甲：關(guān)于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集為?，命題乙：函數(shù)y＝(2a2－a)x為增函數(shù)，分別求出符合下列條件的實數(shù)a的取值范圍． (1)甲、乙中至少有一個是真命題； (2)甲、乙中有且只有一個真命題． 考點　簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應用 題點　由含量詞的復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　當甲命題為真時，Δ＝(a－1)2－4a2＜0， 解得a＞或a＜－1. 當乙命題為真時，2a2－a＞1，解得 a＞1或a＜－. (1)甲、乙中至少有一個是真命題時， a的取值范圍是∪. (2)甲、乙有且只有一個是真命題，有兩種情況： 當甲真乙假時，a的取值范圍是； 當甲假乙真時，a的取值范圍是， 故a的取值范圍為∪. 10