（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 2 第2講 一元二次不等式及其解法教學(xué)案

第2講一元二次不等式及其解法1一元一次不等式ax>b(a0)的解集(1)當(dāng)a>0時，解集為；(2)當(dāng)a<0時，解集為2一元二次不等式的解集判別式b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有兩個相異實根x1，x2(x1<x2)有兩個相等實根x1x2沒有實數(shù)根ax2bxc>0(a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1Rax2bxc<0(a>0)的解集x|x1<x<x2疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若不等式ax2bxc<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.()(2)若不等式ax2bxc>0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2bxc>0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a<0且b24ac0.()(5)若二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，則不等式ax2bxc<0的解集一定不是空集()答案：(1)(2)(3)×(4)×(5)教材衍化1(必修5P80A組T4改編)已知全集UR，集合Ax|x2x60，B，那么集合A(UB)_解析：因為Ax|2x3，Bx|x<1或x4，故UBx|1x<4，所以A(UB)x|1x3答案：1，32(必修5P80A組T2改編)ylog2(3x22x2)的定義域是_解析：由題意，得3x22x2>0，令3x22x20，得x1，x2，所以3x22x2>0的解集為.答案：易錯糾偏(1)解不等式時，變形必須等價；(2)忽視二次項系數(shù)的符號；(3)對系數(shù)的討論，忽視二次項系數(shù)為0的情況；(4)解分式不等式時，忽視分母的符號1不等式2x(x7)>3(x7)的解集為_解析：2x(x7)>3(x7)2x(x7)3(x7)>0(x7)(2x3)>0，解得x<或x>7，所以，原不等式的解集為.答案：2不等式x23x4>0的解集為_(用區(qū)間表示)解析：由x23x4>0可知，(x4)(x1)<0.得4<x<1.答案：(4，1)3對于任意實數(shù)x，不等式mx2mx1<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：當(dāng)m0時，mx2mx11<0，不等式恒成立；當(dāng)m0時，由解得4<m<0.綜上，m的取值范圍是(4，0答案：(4，04不等式<1的解集是_解析：<1<0>0x>1或x<1.答案：x|x>1或x<1一元二次不等式的解法(高頻考點)一元二次不等式的解法是高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題或填空題，難度為中檔題主要命題角度有：(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式；(2)解含參數(shù)的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求參數(shù)角度一解不含參數(shù)的一元二次不等式 解下列不等式：(1)x22x30；(2)已知函數(shù)f(x)解不等式f(x)>3.【解】(1)不等式兩邊同乘以1，原不等式可化為x22x30.方程x22x30的解為x13，x21.而yx22x3的圖象開口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1(2)由題意或解得x>1.故原不等式的解集為x|x>1角度二解含參數(shù)的一元二次不等式 (分類討論思想)解關(guān)于x的不等式：12x2ax>a2(aR)【解】因為12x2ax>a2，所以12x2axa2>0，即(4xa)(3xa)>0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.當(dāng)a>0時，<，解集為；當(dāng)a0時，x2>0，解集為x|xR，且x0；當(dāng)a<0時，>，解集為.綜上所述：當(dāng)a>0時，不等式的解集為；當(dāng)a0時，不等式的解集為x|xR，且x0；當(dāng)a<0時，不等式的解集為.角度三已知一元二次不等式的解集求參數(shù) 已知不等式ax2bx1>0的解集是，則不等式x2bxa0的解集是_【解析】由題意知，是方程ax2bx10的兩個根，且a<0，所以解得即不等式x2bxa0為x25x60，解得x3或x2.【答案】x|x3或x2(1)解一元二次不等式的方法和步驟(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式判斷相應(yīng)方程的根的個數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式 1若集合A，Bx|x2<2x，則AB()Ax|0<x<1Bx|0x<1Cx|0<x1 Dx|0x1解析：選A.因為Ax|0x<1，Bx|x2<2xx|0<x<2，所以ABx|0<x<1，故選A.2不等式0<x2x24的解集為_解析：原不等式等價于即即解得借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為x|2x<1或2<x3答案：2，1)(2，33已知不等式ax23x64的解集為x|x1或xb(1)求a，b；(2)解不等式0(c為常數(shù))解：(1)由題知1，b為方程ax23x20的兩根，即所以a1，b2.(2)不等式等價于(xc)(x2)0，當(dāng)c2時，解集為x|xc或x2；當(dāng)c2時，解集為x|x2或xc；當(dāng)c2時，解集為x|x2一元二次不等式恒成立問題(高頻考點)一元二次不等式恒成立問題是每年高考的熱點，題型多為選擇題和填空題，難度為中檔題主要命題角度有：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍；(2)形如f(x)0(f(x)0)(xa，b)確定參數(shù)的范圍；(3)形如f(x)0(f(x)0)(參數(shù)ma，b)確定x的范圍角度一形如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍 若關(guān)于x的不等式ax22x20在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】當(dāng)a0時，原不等式可化為2x20，其解集不為R，故a0不滿足題意，舍去；當(dāng)a0時，要使原不等式的解集為R，只需解得a.綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是.【答案】角度二形如f(x)0(f(x)0)(xa，b)確定參數(shù)的范圍 若不等式(aa2)(x21)x0對一切x(0，2恒成立，則a的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】因為x(0，2，所以a2a.要使a2a在x(0，2時恒成立，則a2a，由基本不等式得x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立，即.故a2a，解得a或a.【答案】C角度三形如f(x)0(f(x)0)(參數(shù)ma，b)確定x的范圍 已知a1，1，不等式x2(a4)x42a0恒成立，則x的取值范圍為_【解析】把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)(x2)a(x24x4)，則由f(a)0對于任意的a1，1恒成立，易知只需f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，聯(lián)立方程解得x1或x3.【答案】x|x1或x3(1)不等式恒成立問題的求解方法一元二次不等式在R上恒成立確定參數(shù)的范圍時，結(jié)合一元二次方程，利用判別式來求解一元二次不等式f(x)0在xa，b上恒成立確定參數(shù)范圍時，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，讓最小值大于等于0，從而求參數(shù)的范圍一元二次不等式對于參數(shù)ma，b恒成立確定x的范圍，要注意變換主元，一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)(2)三個“二次”間的轉(zhuǎn)化二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱三個“二次”，解決此類問題首先采用轉(zhuǎn)化思想，把方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題借助于函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題 1若函數(shù)y的定義域為R，則m的取值范圍是_解析：要使y有意義，即mx2(1m)xm0對xR恒成立，則解得m.答案：m2若關(guān)于x的不等式4x2x1a0在1，2上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：因為不等式4x2x1a0在1，2上恒成立，所以4x2x1a在1，2上恒成立令y4x2x1(2x)22×2x11(2x1)21.因為1x2，所以22x4.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)2x2，即x1時，y取得最小值0，所以實數(shù)a的取值范圍為(，0答案：(，0一元二次不等式的應(yīng)用 某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元輛，出廠價為12萬元輛，年銷售量為10 000輛本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(出廠價投入成本)×年銷售量(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【解】(1)由題意得y12(10.75x)10(1x)×10 000(10.6x)(0<x<1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0<x<1)(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須有即解得0<x<，所以投入成本增加的比例應(yīng)在范圍內(nèi)解不等式應(yīng)用題的步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式(組)表示不等關(guān)系；(3)解不等式(組)，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中元素的實際意義；(4)回歸實際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果 某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件若售價降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加x成要求售價不能低于成本價(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；(2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍解：(1)由題意得y100·100.因為售價不能低于成本價，所以100800，得x2.所以yf(x)20(10x)(508x)，定義域為0，2(2)由題意得20(10x)(508x)10 260，化簡得8x230x130.解得x.所以x的取值范圍是.思想方法系列5轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用 (2020·嘉興模擬)不等式f(x)ax2xc>0的解集為x|2<x<1，則函數(shù)yf(x)的圖象為()【解析】由題意得解得則函數(shù)yf(x)x2x2，結(jié)合選項可知選C.【答案】C本例利用了轉(zhuǎn)化思想，其思路為(1)一元二次不等式ax2bxc>0(a0)的解集的端點值是一元二次方程ax2bxc0的根(如本例)，也是函數(shù)yax2bxc與x軸交點的橫坐標(biāo) (2)二次函數(shù)yax2bxc的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2bxc>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2bxc<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化設(shè)a，b是關(guān)于x的一元二次方程x22mxm60的兩個實根，則(a1)2(b1)2的最小值是()AB18C8 D6解析：選C.因為關(guān)于x的一元二次方程x22mxm60的兩個根為a，b，所以且4(m2m6)0，解得m3或m2.所以y(a1)2(b1)2(ab)22ab2(ab)24m26m104.由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)m3時，函數(shù)y4m26m10取得最小值，最小值為8.故選C.基礎(chǔ)題組練1設(shè)集合Ax|32x13，集合B為函數(shù)ylg(x1)的定義域，則AB()A(1，2)B1，2C1，2) D(1，2解析：選D.A1，2，B(1，)，AB(1，22若不等式ax2bx2<0的解集為，則的值為()A. B.C D解析：選A.由題意得ax2bx20的兩根為與，所以，則11.3(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)x2的解集為()A1，1 B2，2C2，1 D1，2解析：選A.法一：當(dāng)x0時，x2x2，所以1x0；當(dāng)x>0時，x2x2，所以0<x1.，由得原不等式的解集為x|1x1法二：作出函數(shù)yf(x)和函數(shù)yx2的圖象，如圖，由圖知f(x)x2的解集為1，14(2020·寧波效實中學(xué)模擬)不等式x22x對任意a，b(0，)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是()A(2，0) B(，2)(0，)C(4，2) D(，4)(2，)解析：選C.不等式x22x對任意a，b(0，)恒成立，等價于x22x，由于2 8(當(dāng)且僅當(dāng)a4b時等號成立)，所以x22x8，解得4x2.5關(guān)于x的不等式x2(a1)xa<0的解集中，恰有3個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(4，5) B(3，2)(4，5)C(4，5 D3，2)(4，5解析：選D.原不等式可化為(x1)(xa)<0，當(dāng)a>1時得1<x<a，此時解集中的整數(shù)為2，3，4，則4<a5，當(dāng)a<1時得a<x<1，則3a<2，故a3，2)(4，56(2020·臺州聯(lián)考)在R上定義運算：adbc.若不等式1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為()A BC. D.解析：選D.原不等式等價于x(x1)(a2)(a1)1，即x2x1(a1)(a2)對任意x恒成立，x2x1，所以a2a2，解得a，故選D.7不等式|x(x2)|>x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|>x(x2)的解集即x(x2)<0的解集，解得0<x<2.答案：x|0<x<28對于實數(shù)x，當(dāng)且僅當(dāng)nx<n1(nN*)時，xn，則關(guān)于x的不等式4x236x45<0的解集為_解析：由4x236x45<0，化為(2x3)(2x15)0，解得<x<，又當(dāng)且僅當(dāng)nx<n1(nN*)時，xn，所以x2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集為2，8)答案：2，8)9已知函數(shù)f(x)x22x1，如果使f(x)kx對任意實數(shù)x(1，m都成立的m的最大值是5，則實數(shù)k_解析：設(shè)g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由題意知g(x)0對任意實數(shù)x(1，m都成立的m的最大值是5，所以x5是方程g(x)0的一個根，將x5代入g(x)0，可以解得k(經(jīng)檢驗滿足題意)答案：10已知f(x)若|f(x)|ax在x1，1上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)x0時，|f(x)|ax恒成立，aR；當(dāng)0x1時，|f(x)|ax轉(zhuǎn)化為a|3|.因為|3|的最小值為0，所以a0；當(dāng)1x0時，|f(x)|ax轉(zhuǎn)化為a|x|.因為|x|的最大值為1，所以a1，綜上可得a1，0答案：1，011若不等式ax25x2>0的解集是.(1)求實數(shù)a的值；(2)求不等式ax25xa21>0的解集解：(1)由題意知a<0，且方程ax25x20的兩個根為，2，代入解得a2.(2)由(1)知不等式為2x25x3>0，即2x25x3<0，解得3<x<，即不等式ax25xa21>0的解集為.12已知不等式ax2bxc0的解集為(1，t)，記函數(shù)f(x)ax2(ab)xc.(1)求證：函數(shù)yf(x)必有兩個不同的零點；(2)若函數(shù)yf(x)的兩個零點分別為m，n求|mn|的取值范圍解：(1)證明：由題意知abc0，且1.所以a0且1，所以ac0.對于函數(shù)f(x)ax2(ab)xc有(ab)24ac0.所以函數(shù)yf(x)必有兩個不同零點(2)|mn|2(mn)24mn84.由不等式ax2bxc0的解集為(1，t)可知，方程ax2bxc0的兩個解分別為1和t(t1)，由根與系數(shù)的關(guān)系知t，所以|mn|2t28t4，t(1，)所以|mn|，所以|mn|的取值范圍為(，)綜合題組練1(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)若關(guān)于x的不等式x2ax20在區(qū)間1，5上有解，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C(1，) D(，1)解析：選A.由a28>0，知方程恒有兩個不等實根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程必有一正根、一負(fù)根于是不等式在區(qū)間1，5上有解的充要條件是f(5)>0，解得a>，故a的取值范圍為.2已知函數(shù)f(x)x2axb2b1(aR，bR)，對任意實數(shù)x都有f(1x)f(1x)成立，若當(dāng)x1，1時，f(x)0恒成立，則b的取值范圍是()A(1，0)B(2，)C(，1)(2，)D不能確定解析：選C.由f(1x)f(1x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，即1，解得a2.又因為f(x)開口向下，所以當(dāng)x1，1時，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.3(2020·杭州模擬)若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，則a的取值范圍是_解析：原不等式即(xa)(x1)0，當(dāng)a<1時，不等式的解集為a，1，此時只要a4即可，即4a<1；當(dāng)a1時，不等式的解為x1，此時符合要求；當(dāng)a>1時，不等式的解集為1，a，此時只要a3即可，即1<a3.綜上可得4a3.答案：4，34不等式x28y2y(xy)對于任意的x，yR恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_解析：因為x28y2y(xy)對于任意的x，yR恒成立，所以x28y2y(xy)0對于任意的x，yR恒成立，即x2yx(8)y20恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，2y24(8)y2y2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案：8，45(2020·杭州高級中學(xué)質(zhì)檢)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc，函數(shù)F(x)f(x)x的兩個零點為m，n(m<n)(1)若m1，n2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<，比較f(x)與m的大小解：(1)由題意知，F(xiàn)(x)f(x)xa(xm)·(xn)，當(dāng)m1，n2時，不等式F(x)>0，即a(x1)(x2)>0.當(dāng)a>0時，不等式F(x)>0的解集為x|x<1，或x>2；當(dāng)a<0時，不等式F(x)>0的解集為x|1<x<2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，因為a>0，且0<x<m<n<，所以xm<0，1anax>0.所以f(x)m<0，即f(x)<m.6(2020·麗水市高考數(shù)學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)(aR)(1)當(dāng)a1時，解不等式f(x)>1；(2)對任意的b(0，1)，當(dāng)x(1，2)時，f(x)>恒成立，求a的取值范圍解：(1)f(x)>1x21<|x1|或0<x<1.故不等式的解集為x|0<x<1(2)f(x)>|xa|>b(x)xa>b(x)或xa<b(x)a>(b1)x或a<(b1)x對任意x(1，2)恒成立所以a2b1或a(b2)對任意b(0，1)恒成立所以a1或a.15