2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.3 平均值不等式（選學(xué)）2.4 最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5

《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.3 平均值不等式（選學(xué)）2.4 最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2.3 平均值不等式（選學(xué)）2.4 最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3　平均值不等式(選學(xué)) 2.4　最大值與最小值問題，優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型 1.進(jìn)一步熟悉平均值不等式及柯西不等式. 2.會(huì)用平均值不等式及柯西不等式求某些初等函數(shù)的最值問題. 自學(xué)導(dǎo)引 1.設(shè)a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥， 等號(hào)成立?a1＝a2＝…＝an. 2.設(shè)a1，a2，…，an為n個(gè)正數(shù)，則≥， 等號(hào)成立?a1＝a2＝…＝an. 3.設(shè)a1，a2，…，an為正數(shù)，則≥ ≥，等號(hào)成立?a1＝a2＝…an. 4.設(shè)D為f(x)的定義域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0)) x∈D，則稱f(x0)為f(x)在D上的最大(小)

2、值，x0稱為f(x)在D上的最大(小)值點(diǎn).尋求函數(shù)的最大(小)值及最大(小)值問題統(tǒng)稱為最值問題. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.某班學(xué)生要開聯(lián)歡會(huì)，需要買價(jià)格不同的禮品4件、5件和2件，現(xiàn)在選擇商店中單價(jià)為3元、2元和1元的禮品，則花錢最少和最多的值分別為(　　) A.20，23 B.19，25 C.21，23 D.19，24 解析　最多為5×3＋4×2＋2×1＝25， 最少為5×1＋4×2＋2×3＝19，應(yīng)選B. 答案　B 2.若f(x)＝＋且x∈(0，1]，則f(x)的最小值是(　　) A.2 B.不存在 C. D. 解析　∵x∈(0，1]，即x>0. f(x)＝＋≥

3、2＝2. 等號(hào)成立的條件是＝，即x＝?(0，1]， 所以利用均值不等式，等號(hào)不成立，不能求f(x)的最小值.令＝t，則＝，t∈，原函數(shù)變?yōu)閥＝t＋， ∵y＝t＋在(0，1]上是減函數(shù)，則在上也是減函數(shù)，∴t＝時(shí)，ymin＝＋3＝. 答案　C 3.函數(shù)y＝ (x<0)的值域?yàn)開___________. 解析　將原函數(shù)變?yōu)閥＝，用函數(shù)x＋在x<0時(shí)的性質(zhì)知：x＋≤－2.∴x＋＋1≤－1，∴1≥－，即0>≥－1，∴0>y＝≥－3， 故值域?yàn)閇－3，0). 答案　[－3，0) 知識(shí)點(diǎn)1　利用柯西不等式求函數(shù)的最值 【例1】 若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點(diǎn).

4、 解　由柯西不等式，得： (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2＝4. 所以25(x2＋y2)≥4，即x2＋y2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立， ∴，解得. 所以x2＋y2的最小值為，最小值點(diǎn)為. ●反思感悟：利用柯西不等式求函數(shù)的最小值時(shí)，往往需乘以一個(gè)兩常數(shù)的平方和，常數(shù)的選取要根據(jù)題設(shè)條件來定，如例1，利用柯西不等式求最大值時(shí)，往往對(duì)函數(shù)解析式的各項(xiàng)配一系數(shù)，使利用柯西不等式后n個(gè)項(xiàng)的平方和為常數(shù). 1.設(shè)a，b，c為正數(shù)，a＋b＋4c2＝1，求＋＋c的最大值. 解　由柯西不等式得： (＋＋c)2＝ ≤[()2＋()2＋(2c)2]， 即(＋＋c)2≤1·

5、＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)， 即a＝b＝8c2時(shí)取等號(hào). ∴20c2＝1，c＝＝，a＝b＝時(shí)， ＋＋c的最大值為. 知識(shí)點(diǎn)2　利用平均值不等式求函數(shù)的最值 【例2】 (1)已知x<，求函數(shù)y＝4x－2＋的最大值； (2)求y＝的最大值； (3)若x>0，y>0，且x＋y＝2，求x2＋y2的最小值. 解　(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋ ＝－＋3≤－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立. 故當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1. (2)y＝＝＝ ≤＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即x2＝2，x＝±時(shí)，ymax＝. (3)方法一：由x2＋y2≥2xy，得

6、2(x2＋y2)≥(x＋y)2， 即x2＋y2≥. 因?yàn)閤＋y＝2，所以x2＋y2≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，取得最小值2. 方法二：由柯西不等式，得： (x2＋y2)(12＋12)≥(x＋y)2. ∴x2＋y2≥(x＋y)2＝×4＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào). ∴x＝y(tǒng)＝1時(shí)，(x2＋y2)min＝2. ●反思感悟：利用平均值不等式求最值關(guān)鍵在變形上，變形的目的是能得到積為定值或和為定值，求最值時(shí)一定要找出最大(小)值點(diǎn)，如果最大(小)值點(diǎn)不存在，則不能用平均值不等式求最值，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性或用其它方程. 2.求函數(shù)y＝ (x≥0)的最小值. 解　y

7、＝＝(x＋1)＋－4 ≥2 －4＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立.所以ymin＝2. 知識(shí)點(diǎn)3　平均值不等式在實(shí)際中的應(yīng)用 【例3】 從半徑為2的圓板上剪下一個(gè)圓心角為θ的扇形，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面(如下圖)，如何操作使圓錐體積最大(即求出相應(yīng)的θ角). 解　如題圖，圓錐的母線長(zhǎng)為2， 設(shè)圓錐軸截面的底角為α . 則圓錐底面半徑r＝2cos α，高h(yuǎn)＝2sin α， V＝πr2h＝π·4cos2α·2sin α ＝π(1－sin2α)sin α ＝π ＝π ≤π ＝π ＝π. 當(dāng)且僅當(dāng)2sin2α＝1－sin2α，即sin α＝時(shí)取等號(hào).

8、 此時(shí)，r＝，由此得扇形的中心角θ＝＝π. 即從圓板上剪下中心角為π的扇形圍成的圓錐體積最大，最大值為 π. 3.建造一個(gè)容積為8 m3，深為2 m的長(zhǎng)方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為________元. 解析　設(shè)池底一邊長(zhǎng)為x m，水池的總造價(jià)為y元，則依題意得y＝4×120＋2·80 ＝480＋320 (x>0). ∵x＋≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝， 即x＝2時(shí)取等號(hào)， ∴y最?。?80＋320×4＝1 760(元) 答案　1 760 課堂小結(jié) 柯西不等式有代數(shù)式、向量式和三角式三種形式，代數(shù)式又有二維形式、三

9、維形式和一般式，都要熟練掌握.柯西不等式和均值不等式的主要應(yīng)用是求函數(shù)的最值和證明不等式，有些函數(shù)的最值既可以用柯西不等式來求又可以用平均值不等式來求. 隨堂演練 1.求函數(shù)y＝，x≥0的最小值. 解　y＝＝(x＋2)＋＋1 ≥2＋1＝7，當(dāng)且僅當(dāng)x＋2＝， 即x＋2＝3，x＝1時(shí)取等號(hào).∴x＝1時(shí)，ymin＝7. 2.求函數(shù)y＝2－9x－ (x>0)的最大值. 解　y＝2－≤2－2＝2－12＝－10， 當(dāng)且僅當(dāng)9x＝，即x＝時(shí)取等號(hào). ∴x＝時(shí)，ymax＝－10. 3.若2x＋3y＝1，求x2＋y2的最小值，及最小值點(diǎn). 解　由柯西不等式，得 (x2＋y2)(22＋3

10、2)≥(2x＋3y)2＝1. ∴x2＋y2≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即3x＝2y時(shí)取等號(hào). 由得 所以當(dāng)時(shí)，(x2＋y2)min＝， 最小值點(diǎn)為. 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.下列各式中，最小值等于2的是(　　) A.＋ B. C.tan θ＋cot θ D.2x＋2－x 解析　A中可以為負(fù)，則＋也可以為負(fù)數(shù)，不合題意. B中＝＋，≥2，>0，也不合題意.C中tan θ＋cot θ可為負(fù)值不合題意.D中2x＋2－x＝2x＋≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)符合題意，故選D. 答案　D 2.函數(shù)y＝ (x>0)的最大值為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　y＝＝1＋＝1＋

11、. ∵x>0時(shí)，x＋≥2，∴ymax＝1＋＝2. 答案　B 3.有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是(　　) A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz 解析　方法一：用特值法進(jìn)行驗(yàn)證. 令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3. A項(xiàng)：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14； B項(xiàng)：az＋by＋cx＝

12、3＋4＋3＝10； C項(xiàng)：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11； D項(xiàng)：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故選B. 方法二：由順序和≥亂序和≥反序和. 可得az＋by＋cx最小. 答案　B 4.已知不等式(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為________. 解析　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)). ∵(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立. ∴需(＋1)2≥9.∴a≥4. 答案　4 5.已知ab＝1 000，a>1，b>1，則＋的最大值是________. 解析　由柯西不等式得：·1＋·1 ≤· ＝·＝·

13、＝. 當(dāng)且僅當(dāng)1＋lga＝1＋lgb，即a＝b＝10時(shí)，取等號(hào). 答案　 6.已知三個(gè)正數(shù)a，b，c的和是1，求證：這三個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和不小于9. 證明　方法一：(a＋b＋c) ≥＝9. 又由已知，a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9. 方法二：(a＋b＋c) ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 綜合提高 7.設(shè)a∈R且a≠0，以下四個(gè)數(shù)中恒大于1的個(gè)數(shù)是(　　) ①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋；④a2＋. A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析?、僦挟?dāng)a＝－1時(shí)，a3＋1＝0不合題意； ②中a2－2a＋2＝(a－1)2＋1，當(dāng)a＝1時(shí)

14、，a2－2a＋2＝1也不合題意； ③中當(dāng)a＝－1時(shí)，a＋＝－2不合題意； ④中a2＋≥2>1. 答案　A 8.若a、b、c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，則2a＋b＋c的最小值為(　　) A.－1 B.＋1 C.2＋2 D.2－2 解析　由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，得(a＋b)(a＋c)＝4－2，得(a＋b)(a＋c)＝4－2. ∵a、b、c>0，∴(a＋b)(a＋c)≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＋c＝b＋a，即b＝c時(shí)取“＝”). ∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2. 答案　D 9.若直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)c＝1，那么它的內(nèi)切圓半徑r的最大值為________.

15、 解析　設(shè)直角三角形ABC的兩直角邊分別為a，b，因斜邊c＝1，則直角三角形內(nèi)切圓半徑r＝(a＋b－1)＝－. 由題意知a2＋b2＝1，由柯西不等式 a·1＋b·1≤·＝. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，又a2＋b2＝1， ∴a＝b＝時(shí)，a＋b的最大值為， ∴rmax＝－＝. 答案　 10.在△ABC中，三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，若2b＝a＋c，則角B的范圍是____________. 解析　∵2b＝a＋c，∴b＝ ∴cos B＝＝ ＝≥＝. ∵y＝cos x在(0，π)上是減函數(shù).∴0

16、為1 m3，用來做底的金屬每平方米為30元，做側(cè)面的金屬每平方米為20元，如何設(shè)計(jì)圓桶尺寸，可以使成本最低？ 解　設(shè)圓桶的底面半徑為r，高為h， 則依題意πr2h＝1，于是h＝， 底面積為πr2，側(cè)面積為2πrh. 設(shè)w為總費(fèi)用， 則w＝30πr2＋20×2πrh＝30πr2＋ ＝30πr2＋＋≥3 ＝30 等號(hào)成立?30πr2＝?r3＝?r＝， 此時(shí)h＝＝·＝ ＝ . 最低費(fèi)用為30元. 12.某種商品原來定價(jià)每件p元，每月將賣出n件，假若定價(jià)上漲 (00，－>0， ∴z≤a＝， 當(dāng)且僅當(dāng)1＋＝－， 即x＝時(shí)，等號(hào)成立， ∵a∈?∈(0，10]，∴xmax＝. (2)當(dāng)y＝x時(shí)，z＝(10＋x). 要有所增加，只要z>1，即(10＋x)>1. ∴x2－5x<0，∴0