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1、2022年高二數(shù)學3月月考試題 文 (IV)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求,每小題選出答案后,請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上。
1.不等式組的解集為 ( )
A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}
2.曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),則曲線是 ( )
A.線段 B.射線 C.雙曲線的一支 D.圓
3. 對于任意
2、實數(shù)a,b,c,d,以下四個命題中正確的有 ( )
①若ac2>bc2,則a>b; ②若a>b,c>d,則a+c>b+d;
③若a>b,c>d,則ac>bd; ④若a>b,則.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4. 對于常數(shù)、,“”是“方程的曲線是橢圓”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
5.不等式|x-3|-|x-1|≤a2-3a
3、對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為 ( )
A.(-∞,-2]∪[5,+∞) B.(-∞,-1]∪[4,+∞)
C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞)
6.在極坐標系中,點 到直線的距離是 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
7. 已知a>0,b>0,下列四個不等式中,所有正確的序號是 ( )
①;②;③;④.
A.② B.
4、②③ C.①②③ D.①②③④
8. 函數(shù),為的導函數(shù), 若, 則( )
A.3 B.-3 C.-2 D.2
9.已知動圓:,
則圓心的軌跡是 ( )
A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線的一部分
10.點在橢圓上,則的最大值為 ( )
A.5 B.6
5、 C.7 D.8
11.已知為橢圓的左、右焦點,是橢圓上異于頂點的任意一點,
點是內(nèi)切圓的圓心,過作于,是坐標原點,則
的取值范圍為 ( )
A . B. C. D.
12.已知函數(shù)對任意的滿足
(其中是函數(shù)的導函數(shù)),則下列不等式成立的是
6、 ( )
A. B.
C. D.
二、填空題 :本大題共4小題,每小題5分,共20分,請把答案填在答題卡的橫線上。
13. 已知關(guān)于的不等式的解集為,則 .
14. 在平面直角坐標系中,若雙曲線的離心率為,則 .
15. 已知,若不等式恒成立,則的最大值為 .
16. 若函數(shù)在上僅有一個零點,則 .
第II卷(非選擇題,共90分)
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
請在答題卡各自題目的答
7、題區(qū)域內(nèi)作答。
17. (本小題滿分10分)
已知函數(shù).
(1)求不等式的解集;
(2)設(shè)的最小值為,若的解集包含,求實數(shù)的取值范圍.
18. (本小題滿分12分)
已知函數(shù),。
(1)當時,解不等式;
(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
19. (本小題滿分12分)
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求直線的極坐標方程和曲線的極坐標方程;
(Ⅱ)已知射線(其中)與曲線交于,兩點,
射線與直線交
8、于點,若的面積為1,求的值和弦長.
20.(本小題滿分12分)
曲線C的極坐標方程為,過點M(1,0)的直線l的參數(shù)方程為
(為參數(shù),為直線l的傾斜角),直線l與曲線C相交于A、B兩點.
(1)求證:|MA|·|MB|為定值;
(2)D是曲線C上一點,當α=45°時,求△DAB面積的最大值.
21. (本小題滿分12分)
在平面直角坐標系中,設(shè)點,以線段為直徑的圓經(jīng)過原點.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點的直線與軌跡交于兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,
試判斷直線是否恒過一定點,并證明你的結(jié)論.
9、
22. (本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù),.
(1)關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求的取值范圍;
(2)當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
永春一中高二年下學期月考數(shù)學(文)科試卷(xx.03)
參考答案
一、選擇題:(每題5分,滿分60分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
B
B
A
D
A
C
D
B
D
二、填空題:(每題5分,滿分20分)
13.3 ; 14.2 ; 15.16; 16. .
三、解答題:本大題共6小題,共70分。
10、
17. (本小題滿分10分)已知函數(shù).
(1)求不等式的解集;
(2)設(shè)的最小值為,若的解集包含,求實數(shù)的取值范圍.
解:(1),
∴當時,,,解得;
當時,得2>2,無解;
當x≥4時,得,解得.
所以不等式的解集為. ……………5分
(2)∵,∴,
∵的解集包含, ∴對恒成立,
又當時,取最大值. ∴,
故的取值范圍為. ……………10分
18. (本小題滿分12分)已知函數(shù),。
(1)當時,解不等式;
(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
解:(Ⅰ)當時,由得
11、,
兩邊平方整理得, 解得
∴原不等式的解集為 ……………6分
(Ⅱ)由 得,令 ,
即 , 故 ,
故 所求實數(shù)的范圍為 ……………12分
19. (本小題滿分12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求直線的極坐標方程和曲線的極坐標方程;
(Ⅱ)已知射線(其中)與曲線交于,兩點,射線
與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.
解:(Ⅰ)直線的普通方程為,極坐標方程為,
12、
曲線的普通方程為,極坐標方程為. ……………6分
(Ⅱ)依題意,∵,∴,
,
,∴,,
∴,. ……………12分
20.(本小題滿分12分)曲線C的極坐標方程為,過點M(1,0)的直線l的參數(shù)方程為 (為參數(shù),為直線l的傾斜角),直線l與曲線C相交于A、B兩點.
(1)求證:|MA|·|MB|為定值;
(2)D是曲線C上一點,當α=45°時,求△DAB面積的最大值.
解: (1)證明:C的直角坐標方程為x2+y2-2x+4y=0.①
將直線l:(t為參數(shù))代入①得t
13、2+(4sin α)t-1=0.②
,設(shè) A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2, t1t2=-1,
所以|MA|·|MB|=|t1t2|=|-1|=1.
即|MA|·|MB|為定值1. ……………6分
(2)當α=45°時,代入②式即為t2+2t-1=0,
t1+t2=-2,t1t2=-1,
所以|AB|=|t1-t2|===2.
由①得(x-1)2+(y+2)2=5,
所以曲線C的參數(shù)方程為(r為參數(shù)).
可設(shè)D點的坐標為(1+cos r,-2+sin r),直線l的普通方程為x-y-1=0,
D到l的
14、距離d==,
當時, dmax=+,
所以△DAB面積的最大值為Smax=|AB|·dmax=×2(+)=+. ……12分
21. (本小題滿分12分)在平面直角坐標系中,設(shè)點,以線段為直徑的圓經(jīng)過原點.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;(Ⅱ)過點的直線與軌跡交于兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,試判斷直線是否恒過一定點,并證明你的結(jié)論.
解:(Ⅰ)由題意可得,所以,即,
即,即動點的軌跡的方程為;……………4分
(Ⅱ)依題意直線斜率存在, 設(shè)直線的方程為,
, 則.
由消整理得,則,即.
. ………8分
直線,,
,
15、
, 即,
所以直線恒過定點. ……………12分
22、(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù),.
(1)關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求的取值范圍;
(2)當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
解:(1)方程即為,
令, 則.
∴當時,隨變化情況如下表:
1
3
+
0
-
↗
極大值
↘
∵,,.
∴當時,,
∴的取值范圍為 ..........6分
(2)依題意,當時,恒成立,
令,
則
令,則當時,,
∴函數(shù)在上遞增,∵,,
∴存在唯一的零點,
且當時,,當時,,
則當時,,當時,.
∴在上遞減,在上遞增,從而.
由得,且,
∴,∴,∴,
即實數(shù)的取值范圍為. ......12分