（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 2.8 函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案

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1、 §2.8　函數(shù)模型及其應(yīng)用 考綱解讀 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計(jì) 2013 2014 2015 2016 2017 函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用 1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征. 2.能利用給定的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 了解, 掌握 16(文), 4分 21(文), 15分 10,5分 17,4分 10(文), 5分 6(文), 5分 18,15分 20(文), 15分 11,4分, 17,4分 分析解讀　　1.函數(shù)模型及其應(yīng)用是對(duì)考生綜合能力和素質(zhì)的考查,主要考查利用給定的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的

2、實(shí)際問(wèn)題. 2.考查函數(shù)思想方法的應(yīng)用,試題從實(shí)際出發(fā),結(jié)合三角函數(shù)、不等式、數(shù)列等知識(shí),加大對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題能力的考查.在高考中往往以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬中等難度題(例:2014浙江17題). 3.預(yù)計(jì)函數(shù)模型及其應(yīng)用在2019年高考中出現(xiàn)的可能性很大,應(yīng)引起高度重視. 五年高考 考點(diǎn)　函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,9,5分)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則(　　) A. f(x)在(0,2)單調(diào)遞增 B. f(x)在(0,2)單調(diào)遞減 C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1

3、對(duì)稱 D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 答案　C 2.(2015北京,8,5分)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是(　　) A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多 C.甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油 D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油 答案　D 3.(2014湖南,8,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長(zhǎng)率為p,第二年的增長(zhǎng)率為q,則該

4、市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為(　　) A. B. C. D.-1 答案　D 4.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=+a在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則a的取值范圍是　　　　.? 答案　 5.(2014浙江,17,4分)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,則tan θ的最大值是　　　　.(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)? 答案　 6.(2017山

5、東理,15,5分)若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為　.? ①f(x)=2-x　②f(x)=3-x?、踗(x)=x3　④f(x)=x2+2 答案?、佗? 7.(2015四川,13,5分)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22 ℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33 ℃的保鮮時(shí)間是　　　　小時(shí).? 答案　24 8.(2014湖北

6、,14,5分)設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)>0,對(duì)任意a>0,b>0,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a, f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當(dāng)f(x)=1(x>0)時(shí),可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù). (1)當(dāng)f(x)=　　　　(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);? (2)當(dāng)f(x)=　　　　(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù).? (以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可) 答案　(1)　(2)x 教師用書專用(9—10)

7、 9.(2014遼寧,12,5分)已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足: ①f(0)=f(1)=0; ②對(duì)所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|. 若對(duì)所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|

8、離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=(其中a,b為常數(shù))模型. (1)求a,b的值; (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t. ①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域; ②當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度. 解析　(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5). 將其分別代入y=,得解得 (2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為, 設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn),y

9、'=-, 則l的方程為y-=-(x-t),由此得A,B. 故f(t)==,t∈[5,20]. ②設(shè)g(t)=t2+,則g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10. 當(dāng)t∈(5,10)時(shí),g'(t)<0,g(t)是減函數(shù); 當(dāng)t∈(10,20)時(shí),g'(t)>0,g(t)是增函數(shù). 從而,當(dāng)t=10時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此時(shí)f(t)min=15. 答:當(dāng)t=10時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為15千米. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)　函數(shù)模型及其綜合應(yīng)用 　　　　　　 　　　　　　 　　　　

10、　　 1.(2017浙江名校協(xié)作體期初,8)已知函數(shù)f(x)=x+ex-a,g(x)=ln(x+2)-4ea-x,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù)x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,則實(shí)數(shù)a的值為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-ln 2-1 B.ln 2-1 C.-ln 2 D.ln 2 答案　A 2.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試,12)定義:若存在常數(shù)k,使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,則稱函數(shù)f(x)在定義域D上滿足利普希茨條件.若函數(shù)f(x)=(x

11、≥1)滿足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值為　　　　.? 答案　 3.(2017浙江“超級(jí)全能生”聯(lián)考(3月),17)若兩個(gè)函數(shù)y=f(x),y=g(x)在給定的相同的定義域上恒有f(x)g(x)≥0,則稱這兩個(gè)函數(shù)是“和諧函數(shù)”,已知f(x)=ax-20,g(x)=lg(a∈R)在x∈N*上是“和諧函數(shù)”,則a的取值范圍是　　　　.? 答案　[4,5] 4.(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷四,17)已知函數(shù)f(x)=[x]·(x-[x]),[x]為x的整數(shù)部分,則f(f(5.68))=　;? 當(dāng)0≤x≤2 017時(shí), f(x)≤x-1的解集為　　　　　　.? 答案　1.2;{x|1

12、≤x≤2 017} 5.(2016浙江衢州質(zhì)量檢測(cè)(4月卷),12)已知函數(shù)f(x)=x2-2,對(duì)任意的x1∈[1,2],存在x2∈[3,4],使得f(x2)+a≥|f(x1)|恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 答案　[-12,+∞) B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2016四川德陽(yáng)一診,5)將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設(shè)過(guò)5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過(guò)m min甲桶中的水只有 L,則m的值為(　　) A.5 B.8 C.

13、9 D.10 答案　A 二、填空題 2.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性檢測(cè),13)某商場(chǎng)國(guó)慶期間搞促銷活動(dòng),規(guī)定:顧客購(gòu)物總金額不超過(guò)500元,不享受任何折扣,如果顧客購(gòu)物總金額超過(guò)500元,則超過(guò)500元部分享受一定的折扣優(yōu)惠,按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算: 可以享受折扣優(yōu)惠金額 折扣率 不超過(guò)200元的部分 5% 超過(guò)200元的部分 10% 某人在此商場(chǎng)購(gòu)物獲得的折扣金額為35元,則他購(gòu)物實(shí)際所付金額為　　　元.? 答案　915 3.(2016浙江名校(柯橋中學(xué))交流卷四,14)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=|x-1|+|x-2|-3,

14、若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x-a)≤f(x),則非零實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.? 答案　[6,+∞) 三、解答題 4.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性檢測(cè),18)某地區(qū)的農(nóng)產(chǎn)品A第x(1≤x≤20)天的銷售價(jià)格(元∕百斤)p=50-|x-6|,一農(nóng)戶在第x(1≤x≤20)天的農(nóng)產(chǎn)品A的銷售量(百斤)q=40+|x-8|. (1)求該農(nóng)戶在第7天銷售農(nóng)產(chǎn)品A的收入; (2)問(wèn)這20天中該農(nóng)戶在哪一天的銷售收入最大? 解析　(1)由已知得第7天的銷售價(jià)格p=49,銷售量q=41. ∴第7天的銷售收入為49×41=2 009(元). (3分) (2)設(shè)第x天的銷售收入為Wx元, 則

15、Wx=(6分) 當(dāng)1≤x≤6時(shí),Wx=(44+x)(48-x)≤=2 116(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)).(9分) 當(dāng)8≤x≤20時(shí),Wx=(56-x)(32+x)≤=1 936(當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)取等號(hào)).(12分) 綜上可知,第2天該農(nóng)戶的銷售收入最大.(13分) 5.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,20)定義函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+bx+c). (1)如果f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,求2b+c的值; (2)若x∈[-1,1],記|f(x)|的最大值為M(b,c),當(dāng)b,c變化時(shí),求M(b,c)的最小值. 解析　(1)易得x=±1是函數(shù)的零點(diǎn),由于函

16、數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,故3,5也是函數(shù)的零點(diǎn),因此x2+bx+c=0的兩根分別為3,5,由根與系數(shù)的關(guān)系知b=-8,c=15,所以2b+c=-1. (2)對(duì)任意的x∈[-1,1],|f(x)|≤M(b,c),取x=±λ,0得 所以2|(1-λ2)(λ2+c)|≤2M(b,c),因此|(1-λ2)(λ2+c)|≤M(b,c), 所以|(1-λ2)λ2|≤|(1-λ2)(λ2+c)|+|(1-λ2)|c||≤(2-λ2)M(b,c), 因此M(b,c)≥=3-2(當(dāng)且僅當(dāng)λ2=2-時(shí),取得最大值),此時(shí)b=0,c=2-3, 經(jīng)驗(yàn)證,(1-x2)(x2+2-3)≤3-2滿足題意. 故

17、當(dāng)b=0,c=2-3時(shí),M(b,c)取得最小值,且最小值為3-2. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法　建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2016遼寧錦州期末,9)國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法為:不超過(guò)800元的不納稅;超過(guò)800元而不超過(guò)4 000元的按超過(guò)800元部分的14%納稅;超過(guò)4 000元的按全部稿酬的11.2%納稅,已知某人出版一本書共納稅420元,則這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元 答案　

18、C 2.圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口,如圖所示.已知舊墻的維修費(fèi)用為45 元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x m,修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y元. (1)將y表示為x的函數(shù); (2)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最少,并求出最少總費(fèi)用. 解析　(1)設(shè)矩形的與舊墻垂直的邊長(zhǎng)為a m, 則y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360. 由已知得xa=360,得a=. ∴y=225x+-360(x>0). (2)∵x>0,∴225x+≥2=10 800. ∴y=225x+-360≥10 440. 當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí),等號(hào)成立. 即當(dāng)x=24時(shí),修建圍墻的總費(fèi)用最少,最少總費(fèi)用是10 440元. 6