2022年高考數學二輪復習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練17 直線與圓錐曲線 文

2022年高考數學二輪復習 專題六 直線、圓、圓錐曲線 專題能力訓練17 直線與圓錐曲線 文1.過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()A.B.2C.2D.32.與拋物線y2=8x相切傾斜角為135°的直線l與x軸和y軸的交點分別是A和B,那么過A,B兩點的最小圓截拋物線y2=8x的準線所得的弦長為()A.4B.2C.2D.3.設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)4.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線C1:=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為. 5.(2018全國,文20)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.6.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:BDE與BDN的面積之比為45.7.在平面直角坐標系xOy中,過橢圓M:=1(a>b>0)右焦點的直線x+y-=0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為.(1)求M的方程;(2)C,D為M上兩點,若四邊形ACBD的對角線CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值.8.已知橢圓C的中心在坐標原點,右焦點為F(1,0),A,B是橢圓C的左、右頂點,D是橢圓C上異于A,B的動點,且ADB面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程.(2)是否存在一定點E(x0,0)(0<x0<),使得當過點E的直線l與曲線C相交于M,N兩點時,為定值?若存在,求出定點和定值;若不存在,請說明理由.二、思維提升訓練9.(2018全國,文20)已知斜率為k的直線l與橢圓C:=1交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0).(1)證明:k<-;(2)設F為C的右焦點,P為C上一點,且=0.證明:2|=|+|.10.已知橢圓E:=1(a>b>0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點,點P在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程;(2)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.(1)求橢圓E的標準方程;(2)若直線l1,l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標.專題能力訓練17直線與圓錐曲線一、能力突破訓練1.C解析 由題意可知拋物線的焦點F(1,0),準線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=(x-1),與拋物線y2=4x聯立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因為M在x軸的上方,所以M (3,2).因為MNl,且N在l上,所以N(-1,2).因為F(1,0),所以直線NF:y=-(x-1).所以M到直線NF的距離為=2.2.C解析 設直線l的方程為y=-x+b,聯立直線與拋物線方程,消元得y2+8y-8b=0.因為直線與拋物線相切,所以=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直線l的方程為x+y+2=0,從而A(-2,0),B(0,-2).因此過A,B兩點的最小圓即為以AB為直徑的圓,其方程為(x+1)2+(y+1)2=2,而拋物線y2=8x的準線方程為x=-2,此時圓心(-1,-1)到準線的距離為1,故所截弦長為2=2.3.C解析 由題意可得拋物線焦點F(1,0),準線方程為x=-1.當直線l的斜率大于0時,如圖,過A,B兩點分別向準線x=-1作垂線,垂足分別為M,N,則由拋物線定義可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.設|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK中,由,得,解得x=2t,則cosNBK=,NBK=60°,則GFK=60°,即直線AB的傾斜角為60°.斜率k=tan 60°=,故直線方程為y=(x-1).當直線l的斜率小于0時,如圖,同理可得直線方程為y=-(x-1),故選C.4.解析 雙曲線的漸近線為y=±x.由得A.由得B.F為OAB的垂心,kAF·kOB=-1,即=-1,解得,即可得e=.5.解 (1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由題設知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則解得因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.6.(1)解 設橢圓C的方程為=1(a>b>0).由題意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明 設M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設知m±2,且n0.直線AM的斜率kAM=,故直線DE的斜率kDE=-.所以直線DE的方程為y=-(x-m),直線BN的方程為y=(x-2).聯立解得點E的縱坐標yE=-.由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又SBDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,SBDN=|BD|·|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45.7.解 (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因為x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,所以a2=2b2.又由題意知,M的右焦點為(,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以M的方程為=1.(2)由解得因此|AB|=.由題意可設直線CD的方程為y=x+n,設C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因為直線CD的斜率為1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四邊形ACBD的面積S=|CD|·|AB|=.當n=0時,S取得最大值,最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.8.解 (1)設橢圓的方程為=1(a>b>0),由已知可得ADB的面積的最大值為·2a·b=ab=.F(1,0)為橢圓右焦點,a2=b2+1.由可得a=,b=1,故橢圓C的方程為+y2=1.(2)過點E取兩條分別垂直于x軸和y軸的弦M1N1,M2N2,則,即,解得x0=,E若存在必為,定值為3.證明如下:設過點E的直線方程為x=ty+,代入C中得(t2+2)y2+ty-=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=-=-,y1y2=-,=3.綜上得定點為E,定值為3.二、思維提升訓練9.證明 (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,=1.兩式相減,并由=k得·k=0.由題設知=1,=m,于是k=-.由題設得0<m<,故k<-.(2)由題意得F(1,0).設P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又點P在C上,所以m=,從而P,|=.于是|=2-.同理|=2-.所以|+|=4-(x1+x2)=3.故2|=|+|.10.(1)解 由已知,a=2b.又橢圓=1(a>b>0)過點P,故=1,解得b2=1.所以橢圓E的方程是+y2=1.(2)證明 設直線l的方程為y=x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程組得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判別式為=4(2-m2).由>0,即2-m2>0,解得-<m<.由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M點坐標為,直線OM方程為y=-x.由方程組得C,D.所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4m2-4(2m2-2)=(2-m2).所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.解 (1)設橢圓的半焦距為c.因為橢圓E的離心率為,兩準線之間的距離為8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此橢圓E的標準方程是=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).設P(x0,y0),因為P為第一象限的點,故x0>0,y0>0.當x0=1時,l2與l1相交于F1,與題設不符.當x01時,直線PF1的斜率為,直線PF2的斜率為.因為l1PF1,l2PF2,所以直線l1的斜率為-,直線l2的斜率為-,從而直線l1的方程:y=-(x+1),直線l2的方程:y=-(x-1).由,解得x=-x0,y=,所以Q.因為點Q在橢圓上,由對稱性,得=±y0,即=1或=1.又P在橢圓E上,故=1.由解得x0=,y0=無解.因此點P的坐標為.