2、縮)．
(2)伸縮變換的其他形式：
①(k>0)；
②(k1>0，k2>0)．
[對應(yīng)學(xué)生用書P16]
平移變換
[例1] 已知拋物線y＝x2－4x.
(1)求將這條拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)(3，－2)時(shí)的拋物線方程；
(2)將此拋物線按怎樣的向量a平移，能使平移后的方程是y＝x2?
[思路點(diǎn)拔]
利用平移公式求解．
[精解詳析]
(1)將拋物線y＝x2－4x配方，得y＝(x－2)2－4，
故拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為P(2，－4)，將點(diǎn)(2，－4)平移到(3，－2)時(shí)，其平移向量a＝(1,2)，于是平移公式為即
因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線y＝x2－4x上，
3、
所以y′－2＝(x′－1)2－4(x′－1)，
即y′＝x′2－6x′＋7.
所以平移后的方程為y＝x2－6x＋7.
(2)法一：設(shè)平移向量a＝(h，k)，則平移公式為
將其代入y＝x2－4x，得y′－k＝(x′－h(huán))2－4(x′－h(huán))．
化簡整理，得
y′＝x′2－(2h＋4)x′＋h2＋4h＋k.
令
解得此時(shí)y′＝x′2.
所以當(dāng)圖像按向量a＝(－2,4)平移時(shí)，可使函數(shù)的解析式化為y＝x2.
法二：將拋物線y＝x2－4x，即y＋4＝(x－2)2平移到y(tǒng)＝x2，只需要作變換
所以平移對應(yīng)的向量坐標(biāo)為(－2,4)．
求平移后曲線的方程的解題步驟
(1)設(shè)平移
4、前曲線上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，平移后的曲線上對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(x′，y′)；
(2)寫出變換公式并轉(zhuǎn)化為
(3)利用上述公式將原方程中的x，y代換；
(4)按習(xí)慣，將所得方程中的x′，y′分別替換為x，y，即得所求曲線的方程．
1．若一直線l經(jīng)(2，－1)平移后的直線方程為x－y＋1＝0，求此直線l的方程．
解：設(shè)l上任意一點(diǎn)M(x，y)平移后對應(yīng)M′(x′，y′)，
則又(x′，y′)滿足x－y＋1＝0，
∴x＋2－(y－1)＋1＝0即：x－y＋4＝0.
∴l(xiāng)的方程為x－y＋4＝0.
2．已知橢圓＋＝1按向量a＝(h，k)平移后的方程為＋＝1，求a.
解：設(shè)
5、平移前橢圓上任一點(diǎn)M(x，y)平移后對應(yīng)點(diǎn)M′(x′，y′)，
則∴代入＋＝1
得＋＝1.
對比＋＝1知a＝(1，－2).
平面直角坐標(biāo)系下的伸縮變換
[例2] 求圓x2＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程．
[思路點(diǎn)撥] 將伸縮變換中的x，y分別用x′，y′表示，代入已知的曲線方程，即可得到所求曲線的方程，再由方程判斷曲線的類型．
[精解詳析] ∵∴代入圓的方程x2＋y2＝1，
得(x′)2＋(y′)2＝1，即＋＝1.
∴經(jīng)過伸縮變換后，
圓x2＋y2＝1變成了橢圓＋＝1.
利用伸縮變換公式(k1>0，k2>0)可由變換前(后)的曲線方程求出變換后(前)的曲線
6、方程；也可以由變換前后的曲線方程，求出相應(yīng)的伸縮變換．
3．在同一直角坐標(biāo)系中，將直線2x－y＝3變成直線2x′－6y′＝9，求滿足圖形變換的伸縮變換．
解：設(shè)伸縮變換為
將其代入2x′－6y′＝9，得
2λx－6μy＝9.與2x－y＝3進(jìn)行比較，得
故伸縮變換為
4．伸縮變換將曲線C變?yōu)闄E圓x′2＋＝1，求曲線C的方程．
解：將代入x′2＋＝1，得
x2＋＝1，即x2＋y2＝1.
故曲線C的方程為x2＋y2＝1.
[對應(yīng)學(xué)生用書P17]
1．求函數(shù)y＝log2(x＋1)按a＝(－3,1)平移后的函數(shù)表達(dá)式．
解：設(shè)M(x，y)為y＝log2(x＋1)上
7、一點(diǎn)，其平移后對應(yīng)點(diǎn)為M′(x′，y′)，
則∴
代入y＝log2(x＋1)，
∴y′－1＝log2(x′＋4)，
即平移后的函數(shù)為y＝log2(x＋4)＋1.
2．在平面直角坐標(biāo)系中，求方程2x＋3y＝1與x2－y2＝1所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形．
解：由得
代入2x＋3y＝1，得x′＋y′＝1.
經(jīng)過伸縮變換后，直線還是直線．
代入x2－y2＝1，得－＝1.
經(jīng)過伸縮變換后，等軸雙曲線變?yōu)榉堑容S雙曲線．
3.若y＝sin 2x按a＝(h，k)平移后為y＝sin，求a.
解：設(shè)平移前后曲線上對應(yīng)點(diǎn)分別為M(x，y)，M′(x′，y′)，則x′＝x＋h，y′＝
8、y＋k.
∴x＝x′－h(huán)，y＝y(tǒng)′－k.代入y＝sin 2x
得y′－k＝sin 2(x′－h(huán))，
∴y′＝sin(2x′－2h)＋k.
與y＝sin(2x－)對比知h＝，k＝0.
故a＝.
4．求雙曲線9x2－16y2－36x＋96y－252＝0的中心坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸方程、準(zhǔn)線方程和漸近線方程．
解：將雙曲線方程配方，得－＝1.
令方程可化為－＝1.
雙曲線－＝1的中心坐標(biāo)為(0,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－4,0)，(4,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5,0)，(5,0)，對稱軸方程為x′＝0，y′＝0，漸近線方程為3x′±4y′＝0.
根據(jù)平移公式可得原雙曲線的中心坐標(biāo)
9、為(2,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,3)，(6,3)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,3)，(7,3)，對稱軸方程為x＝2，y＝3，漸近線方程為3(x－2)±4(y－3)＝0，即3x＋4y－18＝0和3x－4y＋6＝0.
5．求正弦曲線y＝sin x經(jīng)過伸縮變換后的方程．
解：∵∴
代入y＝sin x得y′＝3sin2x′.
即y＝sin x經(jīng)過伸縮變換
后變?yōu)閥＝3sin 2x.
6．求滿足下面圖形變換的伸縮變換：由曲線4x2＋9y2＝36變成曲線x′2＋y′2＝1.
解：設(shè)伸縮變換為
將其代入x′2＋y′2＝1，有λ2x2＋μ2y2＝1.
又4x2＋9y2＝36可化為x2＋y2＝1.
與
10、λ2x2＋μ2y2＝1比較，得λ2＝，μ2＝，
∴λ＝，μ＝.
∴
即將橢圓4x2＋9y2＝36上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，即可得到圓x′2＋y′2＝1.
7．通過平面直角坐標(biāo)系中的平移變換與伸縮變換，可以把橢圓＋＝1變?yōu)橹行脑谠c(diǎn)的單位圓，求上述變換過程．
解：先通過平移變換把橢圓＋＝1變?yōu)闄E圓＋＝1.
再通過伸縮變換把橢圓＋＝1變?yōu)閱挝粓Ax″2＋y″2＝1.
即通過變換
把橢圓＋＝1變?yōu)閱挝粓Ax2＋y2＝1.
8．(1)圓x2＋y2＝a2經(jīng)過什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)椋?(0＜b＜a)?
(2)分析圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線和經(jīng)過該弦
11、中點(diǎn)的直徑所在直線經(jīng)過上述伸縮變換后的位置關(guān)系．
解：(1)橢圓＋＝1可以化為x2＋＝a2，
設(shè)即
所以圓x2＋y2＝a2經(jīng)過向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數(shù)k＝，可以使方程變?yōu)椋?.
(2)若圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx＋m，根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過該弦中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y＝－x.
由y′＝kx′＋m，得y′＝x′＋m.所以直線y＝kx＋m經(jīng)過變換，方程可變?yōu)閥＝x＋m.
由y′＝－x′，得y′＝－x′.所以直線y＝－x經(jīng)過變換，方程可變?yōu)閥＝－x.
此時(shí)，兩條直線的斜率乘積是定值－.
若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為x＝n，則經(jīng)過其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤＝n，y＝0.此時(shí)兩直線依然垂直．
若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為y＝n，則經(jīng)過其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為x＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥＝n，x＝0.此時(shí)兩直線依然垂直．
2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修4-4教學(xué)案：4-3 平面坐標(biāo)系中幾種常見變換 Word版含答案
