（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3 雙曲線 2.3.1 雙曲線的標準方程學案 蘇教版選修1-1

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1、 2.3.1　雙曲線的標準方程 學習目標：1.了解雙曲線標準方程的推導過程．(難點)　2.了解雙曲線的標準方程，能求雙曲線的標準方程．(重點、難點)　3.能用雙曲線的標準方程處理簡單的實際問題．(難點) [自 主 預(yù) 習·探 新 知] 雙曲線的標準方程 焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦點坐標 F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) a，b，c之間的關(guān)系 b2＝c2－a2 [基礎(chǔ)自測] 1．判斷正誤： (1)－＝1表示焦點在y軸上的雙曲線．(　　

2、) (2)在雙曲線標準方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.(　　) (3)雙曲線的標準方程中，a，b的大小關(guān)系是a＞b.(　　) 【解析】　(1)×.方程－＝1表示焦點在x軸上的雙曲線． (2)×.當a＝b時方程也表示雙曲線． (3)×.雙曲線的標準方程中a，b的大小關(guān)系不確定． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，＝，則C的方程是________. 【導學號：95902104】 【解析】　右焦點為F(3,0)說明兩層含義：雙曲線的焦點在x軸上；c＝3. 又離心率為＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，

3、 故C的方程為－＝1. 【答案】?。? [合 作 探 究·攻 重 難] 求雙曲線的標準方程 　根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程． (1)過點P，Q； (2)c＝，經(jīng)過點(－5,2)，焦點在x軸上； (3)與雙曲線－＝1有相同焦點且過點P(2,1)． [思路探究]　解答(1)可分情況設(shè)出雙曲線的標準方程，再構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組求解，從而得出雙曲線的標準方程，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式，將兩點代入，簡化運算過程，解答(2)可設(shè)雙曲線的標準方程－＝1(a＞0，b＞0)，也可將方程設(shè)為－＝1(0＜λ＜6)，把點(－5,2)的坐標代入求解；(3

4、)根據(jù)條件設(shè)出雙曲線的標準方程解方程組可求． 【自主解答】　 (1)方法一：若焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， ∵點P和Q在雙曲線上， ∴解得(舍去) 若焦點在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為 －＝1(a＞0，b＞0)， 將P，Q兩點坐標代入可得 解得 ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 方法二：設(shè)雙曲線的標準方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因為雙曲線過點P，Q， 所以，解得，所以所求雙曲線方程為－＝1. (2)方法一：依題意可設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 依題設(shè)有解得 ∴所求雙曲線的標準方程為－y2＝1. 方法二：∵焦點在x軸上，c＝，

5、 ∴設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(其中0＜λ＜6)． ∵雙曲線經(jīng)過點(－5,2)， ∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求雙曲線的標準方程是－y2＝1. (3)由題意，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． ∵兩雙曲線有相同焦點， ∴a2＋b2＝c2＝4＋2. ① 又點P(2,1)在雙曲線－＝1上． ∴－＝1. ② 由①、②聯(lián)立，得a2＝b2＝3. 故所求雙曲線方程為－＝1. [規(guī)律方法]　利用待定系數(shù)法求雙曲線

6、標準方程的步驟如下： (1)定位置：根據(jù)條件判定雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上，不能確定時應(yīng)分類討論. (2)設(shè)方程：根據(jù)焦點位置，設(shè)方程為－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦點不定時，亦可設(shè)為mx2＋ny2＝1(m·n<0)； (3)尋關(guān)系：根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b(或m、n)的方程組； (4)得方程：解方程組，將a、b、c(或m、n)的值代入所設(shè)方程即為所求. [跟蹤訓練] 1．求適合下列條件的雙曲線的標準方程： (1)兩個焦點的坐標分別是(－5,0)，(5,0)，雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8； (2)焦點在x軸上，經(jīng)過點P(4，－2)和點Q(2，2).

7、 【導學號：95902105】 【解】　(1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a＝4.∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∵焦點在x軸上，∴所求的雙曲線標準方程是－＝1. (2)設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，則，∴， ∴雙曲線方程為－＝1. 曲線類型的討論 　已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型． [思路探究]　由方程滿足圓、橢圓、雙曲線的條件，對k的值分類討論，確定曲線類型． 【自主解答】　(1)當k＝0時，y＝±2，表示兩條與x軸平行的直線； (2)當k＝1時，方程為x2＋

8、y2＝4，表示圓心在原點，半徑為2的圓； (3)當k＜0時，方程為－＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線； (4)當0＜k＜1時，方程為＋＝1，表示焦點在x軸上的橢圓； (5)當k＞1時，方程為＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓． [規(guī)律方法]　將方程化為標準方程的形式，假如方程為＋＝1， (1)當mn<0時，方程表示雙曲線.若則方程表示焦點在x軸上的雙曲線；若則方程表示焦點在y軸上的雙曲線. (2)當mn>0且m>0，n>0，m≠n時表示橢圓. (3)當m＝n>0時表示圓. [跟蹤訓練] 2．(1)如果方程＋＝1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是__________． (2)“a

9、b＜0”是方程ax2＋by2＝c表示雙曲線的__________條件．(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”) 【解析】　(1)由題意知(m＋2)(m＋1)＜0，解得－2＜m＜－1，故m的取值范圍是(－2，－1)． (2)若ax2＋by2＝c表示雙曲線，即＋＝1表示雙曲線，則＜0，這就是說“ab＜0”是必要條件，然而若ab＜0，c＝0時不表示雙曲線，即“ab＜0”不是充分條件． 【答案】　(1)(－2，－1)　(2)必要不充分 雙曲線的定義及標準方程的應(yīng)用 [探究問題] 1．雙曲線的定義是什么？如果把雙曲線定義中的動點設(shè)為P，常數(shù)設(shè)為2a，你可以用一

10、個數(shù)學式來表示雙曲線的定義嗎？ 【提示】　平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2 的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線．用數(shù)學式可表示為|PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2)． 2．設(shè)∠F1PF2＝θ，類比上一節(jié)對橢圓中焦點三角形的討論，能否用雙曲線方程－＝1(a>0，b>0)中的參數(shù)來表示三角形PF1F2的面積？ 【提示】　在三角形PF1F2中，F(xiàn)1F2＝2c.由余弦定理可得 F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos θ＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2(1－cos θ)， 即4c2＝4a2＋2PF1·PF2(1－cos θ)，所以PF1·PF2＝，

11、 所以S△PF1F2＝PF1·PF2sin θ＝. 3．設(shè)點F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是橢圓上任意一點，則三角形PF1F2叫做該雙曲線的焦點三角形，通過以上探究，我們解決焦點三角形問題時需要注意哪些知識？ 【提示】　要注意充分利用雙曲線的定義、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面積公式． 　如圖2-3-1所示，已知雙曲線中c＝2a，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，P是雙曲線上的點，∠F1PF2＝60°；S△F1PF2＝12.求雙曲線的標準方程. 【導學號：95902106】 圖2-3-1 [思路探究]　設(shè)出雙曲線的標準方程，利用雙曲線的定義、余弦

12、定理和三角形的面積公式構(gòu)建方程組，解之可得雙曲線的標準方程． 【自主解答】　由題意可知雙曲線的標準方程為－＝1.由于|PF1－PF2|＝2a，在△F1PF2中， 由余弦定理得cos 60°＝ ＝ 所以PF1·PF2＝4(c2－a2)＝4b2，所以S△F1PF2＝PF1·PF2·sin 60°＝2b2·＝b2， 從而有b2＝12，所以b2＝12，c＝2a，結(jié)合c2＝a2＋b2，得a2＝4. 所以雙曲線的標準方程為－＝1. [規(guī)律方法]　 1．在橢圓或雙曲線中，凡涉及以兩焦點和橢圓或雙曲線上一點為頂點的三角形(稱為焦點三角形)的問題，一般都可以從圓錐曲線的定義和勾股定理(或正、余弦

13、定理)等知識入手來解決問題． 2．在解題過程中，應(yīng)注意到橢圓與雙曲線定義的不同，配方時，一個配成(PF1＋PF2)2，另一個配成(PF1－PF2)2. [跟蹤訓練] 3．設(shè)P為雙曲線x2－＝1上的一點，F(xiàn)1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若PF1∶PF2＝3∶2，則△PF1F2的面積為________． 【解析】　由已知得2a＝2，又由雙曲線的定義得，|PF1－PF2|＝2，又PF1∶PF2＝3∶2， ∴PF1＝6，PF2＝4.又F1F2＝2c＝2. 由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0. ∴三角形為直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12. 【答案】　12 [構(gòu)建·體系]

14、 [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．雙曲線－＝1的焦距為________. 【導學號：95902107】 【解析】　c2＝m2＋12＋4－m2＝16，∴c＝4,2c＝8. 【答案】　8 2．滿足條件a＝2，一個焦點為(4,0)的雙曲線的標準方程為________． 【解析】　由a＝2，c＝4，得b2＝c2－a2＝12，又一焦點(4,0)在x軸上， ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 【答案】　－＝1 3．雙曲線－＝1上的點到一個焦點的距離為12，則到另一個焦點的距離為________. 【導學號：95902108】 【解析】　∵a2＝25，∴a＝5，由雙曲線定義可

15、得|PF1－PF2|＝10，由題意知PF1＝12， ∴PF1－PF2＝±10，∴PF2＝22或2. 【答案】　22或2 4．雙曲線－y2＝1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上一點，且滿足∠F1PF2＝，則△F1PF2的面積等于__________． 【解析】　設(shè)|PF1|＝x，|PF2|＝y(tǒng)，(x＞y)根據(jù)雙曲線定義可知x－y＝4，∵∠F1PF2＝，∴x2＋y2＝20，∴2xy＝x2＋y2－(x－y)2，∴xy＝2，∴S△PF1F2＝1. 【答案】　1 5．如圖2-3-2所示，已知定圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圓F2：(x－5)2＋y2＝42，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程. 【導學號：95902109】 圖2-3-2 【解】　圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5,0)，半徑r1＝1； 圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5,0)，半徑r2＝4. 設(shè)動圓M的半徑為R， 則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|. ∴點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支， 且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝. ∴動圓圓心M的軌跡方程是－＝1. 8