（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列學(xué)案

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1、 §6.3　等比數(shù)列 考綱解讀 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計(jì) 2013 2014 2015 2016 2017 1.等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.理解等比數(shù)列的概念. 2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式. 理解 18(1), 6分 18(1), 7分 3,5分 10(文),2分 17(文), 約3分 20(1), 約3分 17(1)(文), 約4分 22,約5分 2.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 1.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 2.能利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和. 3.能運(yùn)用數(shù)列的等比關(guān)系解

2、決實(shí)際問題. 掌握 19(文), 約3分 18(2), 7分 17(2)(文), 約4分 分析解讀　　1.考查等比數(shù)列的定義與判定,通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求解,等比數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí). 2.等比數(shù)列與不等式結(jié)合的范圍求解、大小比較、不等式證明是高考的熱點(diǎn). 3.預(yù)計(jì)2019年高考試題中,對(duì)等比數(shù)列的考查仍以概念、性質(zhì)、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等基本量為主,以中檔題形式出現(xiàn). 五年高考 考點(diǎn)一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理,3,5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍

3、加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈(　　) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 答案　B 2.(2014重慶,2,5分)對(duì)任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.a1,a3,a9成等比數(shù)列 B.a2,a3,a6成等比數(shù)列 C.a2,a4,a8成等比數(shù)列 D.a3,a6,a9成等比數(shù)列 答案　D 3.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理,14,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4 =　　　　.

4、? 答案　-8 4.(2017江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=　　　　.? 答案　32 5.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,15,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為　　　　.? 答案　64 6.(2014天津,11,5分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為　　　　.? 答案　- 7.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,17,12分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的

5、通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列. 解析　本題考查等差、等比數(shù)列. (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)可得 解得q=-2,a1=-2. 故{an}的通項(xiàng)公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn==-+(-1)n·. 由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n· =2=2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列. 8.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (2)若S5=,求λ. 解析　(1)由題意得a1=S1=1+λa

6、1, 故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分) 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是an=·.(6分) (2)由(1)得Sn=1-. 由S5=得1-=,即=. 解得λ=-1.(12分) 9.(2016四川,19,12分)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en

7、,且e2=,證明:e1+e2+…+en>. 解析　(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan對(duì)所有n≥1都成立. 所以,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得 2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*). (2)由(1)可知,an=qn-1. 所以雙曲線x2-=1的離心率en==. 由e2==,解得

8、q=. 因?yàn)?+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(k∈N*). 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=, 故e1+e2+…+en>. 10.(2015四川,16,12分)設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn. 解析　(1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1(n≥2). 從而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因?yàn)閍1,a2+1,a3

9、成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列. 故an=2n. (2)由(1)得=. 所以Tn=++…+==1-. 教師用書專用(11—16) 11.(2013江西,3,5分)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項(xiàng)等于(　　) A.-24 B.0 C.12 D.24 答案　A　 12.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,3,5分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(　　) A. B.- C. D.- 答案　C　 13.(2013

10、江蘇,14,5分)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5=,a6+a7=3.則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為　　.? 答案　12 14.(2014江蘇,7,5分)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是　　　　.? 答案　4 15.(2014課標(biāo)Ⅱ,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明++…+<. 解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+=3. 又a1+=,所以是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列. an+=,因此{(lán)an}的通項(xiàng)

11、公式為an=. (2)證明:由(1)知=. 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥2×3n-1,所以≤. 于是++…+≤1++…+=<. 所以++…+<. 16.(2013湖北,18,12分)已知等比數(shù)列{an}滿足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)是否存在正整數(shù)m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,說明理由. 解析　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則由已知可得解得或 故an=·3n-1,或an=-5·(-1)n-1. (2)若an=·3n-1,則=·, 故是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, 從而==·<<1.

12、 若an=(-5)·(-1)n-1, 則=-(-1)n-1, 故是首項(xiàng)為-,公比為-1的等比數(shù)列, 從而=故<1. 綜上,對(duì)任何正整數(shù)m,總有<1. 故不存在正整數(shù)m,使得++…+≥1成立. 考點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 1.(2015課標(biāo)Ⅱ,4,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(　　) A.21 B.42 C.63 D.84 答案　B 2.(2014大綱全國(guó),10,5分)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lg an}的前8項(xiàng)和等于(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案　C 3.(2015安徽

13、,14,5分)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于　　　　.? 答案　2n-1 4.(2015湖南,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=　　　　.? 答案　3n-1 5.(2014安徽,12,5分)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=　　　　.? 答案　1 6.(2013天津,19,14分)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列. (

14、1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)Tn=Sn-(n∈N*),求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值. 解析　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)镾3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2==. 又{an}不是遞減數(shù)列且a1=,所以q=-.故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=×=(-1)n-1·. (2)由(1)得Sn=1- = 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn隨n的增大而減小,所以1Sn-≥S

15、2-=-=-. 綜上,對(duì)于n∈N*,總有-≤Sn-≤. 所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為,最小項(xiàng)的值為-. 教師用書專用(7—9) 7.(2013福建,9,5分)已知等比數(shù)列{an}的公比為q,記bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m,n∈N*),則以下結(jié)論一定正確的是(　　) A.數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,公差為qm B.數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比為q2m C.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為 D.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為 答案　C　 8.(2014廣東,13,5分)若

16、等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.? 答案　50 9.(2013北京,10,5分)若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=　　　　;前n項(xiàng)和Sn=　　　　.? 答案　2;2n+1-2 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=2,S6=18,則等于(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

17、 A.-3 B.5 C.-31 D.33 答案　D 2.(2017浙江溫州十校期末聯(lián)考,8)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2an+1+Sn=2,則滿足<<的n的最大值是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　B 3.(2017浙江名校協(xié)作體,13)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的正整數(shù)n,均有Sn+3=8Sn+3,則首項(xiàng)a1=　,? 公比q=　　　　.? 答案　;2 考點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 4.(2018浙江杭州二中期中,6)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn,且log2a3+log2a7=2,則T9的值為(　　)

18、 A.±512 B.512 C.±1 024 D.1 024 答案　B 5.(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一,6)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=(　　) A.7 B.5 C.-5 D.-7 答案　D 6.(2017浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考(4月),15)公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1a9=2a3a6,S5=-62,則a1的值為　　　　.? 答案　-2 7.(2016浙江高考沖刺卷(一),17)已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=-1(n∈N*). (1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列

19、,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)是否存在互不相等的正整數(shù)m,k,n,使得m,k,n成等差數(shù)列,且am-1,ak-1,an-1成等比數(shù)列?如果存在,請(qǐng)給出證明;如果不存在,請(qǐng)說明理由. 解析　(1)∵bn=-1,∴an=, ∴==, 得bn+1=bn,∵b1=-1=≠0,∴bn≠0,故數(shù)列{bn}為等比數(shù)列, ∵bn=·==-1, ∴an=. (2)不存在.理由如下: 假設(shè)存在滿足題意的m,k,n,則m+n=2k,(ak-1)2=(am-1)(an-1). ∵an=,∴=, 得(3k+2)2=(3m+2)(3n+2),故32k+4·3k=3m+n+2·3m+2·3n

20、, ∵m+n=2k,∴2·3k=3m+3n, ∵3m+3n≥2=2·3k,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí),等號(hào)成立, 但m,k,n互不相等,∴不存在滿足題意的m,k,n. B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江溫州適應(yīng)性測(cè)試,5)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng),前2n項(xiàng),前3n項(xiàng)的和分別為A,B,C,則(　　) A.A+B=C B.B2=AC C.(A+B)-C=B2 D.(B-A)2=A(C-B) 答案　D 2.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段測(cè)試,3)已知等比數(shù)列{an}滿

21、足a1+a2=3,a2+a3=6,則a7=(　　) A.64 B.81 C.128 D.243 答案　A 3.(2016浙江名校協(xié)作體測(cè)試,5)在等比數(shù)列{an}中,設(shè)Tn=a1a2…an,n∈N*,則下列說法正確的是( 　 ) A.若T2n+1>0,則a1>0 B.若T2n+1<0,則a1<0 C.若T3n+1<0,則a1>0 D.若T4n+1<0,則a1<0 答案　D 二、填空題 4.(2018浙江浙東北聯(lián)盟期中,11)下圖所示的是畢達(dá)哥拉斯樹的生長(zhǎng)過程:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形上再連接著正方形……如此繼續(xù)下去.若共得到31個(gè)正方形,設(shè)初始正方形

22、邊長(zhǎng)為1,則最小正方形的邊長(zhǎng)為　　　　.? 答案　 5.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(cè)(3月),13)已知等差數(shù)列{an},等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn(n∈N*).若Sn=n2+n,b1=a1,b2=a3,則an=　　　　,Tn=　　　　.? 答案　3n-1;(4n-1) 三、解答題 6.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期初聯(lián)考,22)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,試求數(shù)列{S2n-Sn}的最小值; (3)在(2)的條件下,求證:當(dāng)n≥2時(shí),≥. 解析　(1)由

23、條件an+1=2an得=2·,又a1=2,所以=2,因此數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,從而=2·2n-1=2n, 因此an=n·2n.(4分) (2)由(1)得bn=,設(shè)cn=S2n-Sn, 則cn=++…+, 所以cn+1=++…+++, 從而cn+1-cn=+->+-=0,即cn+1>cn, 因此數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增的,所以(cn)min=c1=.(9分) (3)證明:當(dāng)n≥2時(shí),=(-)+(-)+…+(S4-S2)+(S2-S1)+S1=++…+c2+c1+S1,由(2)知≥≥…≥c2,又c1=,S1=1,c2=,所以≥(n-1)c2+c1+S1=(n-1)++1

24、=.(15分) 7.(2017浙江溫州模擬考(2月),22)設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=-an+1(n∈N*),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,證明: (1)當(dāng)0≤a1≤1時(shí),0≤an≤1; (2)當(dāng)a1>1時(shí),an>(a1-1); (3)當(dāng)a1=時(shí),n-1,所以an

25、>1(n∈N*). 從而an+1-1=(-an+1)-1=-an=an(an-1), 即=an≥a1,(6分) 于是an-1≥(a1-1),即an>(a1-1)(n≥2,n∈N*), 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)n=1時(shí),不等式也成立, 故當(dāng)a1>1時(shí),an>(a1-1).(8分) (3)當(dāng)a1=時(shí),由(1)知,0bn+1>0(n∈N*), 由an+1=-an+1,可得=bn-bn+1,(10分) 從而++…+=(b1-b2)+(b2-b3)+…+(bn-bn+1)=b1-bn+1

26、又++…+>n, 故n<,即bn<(n∈N*),(12分) 注意到bn<=<=(-), 故b1+b2+…+bn<[(-)+(-)+…+(-)]=, 即n-Sn<,亦即Sn>n-, 所以當(dāng)a1=時(shí),n-

27、項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{cn}滿足cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q, 依題意,得 解得a1=d=1,b1=q=2. 故an=n,bn=2n.(8分) (2)∵cn===-, ∴Sn=++…+, ∴Sn=-=.(15分) 方法2　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用的解題策略 2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3,a5-1,a6成等差數(shù)列,a2,a4-1,a7-1成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn; (2)是否存在正整數(shù)n和k,使得Sn,Sn+1,Sn+k成等比數(shù)列?若存在,求

28、出n和k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a3,a5-1,a6成等差數(shù)列,得2(a1+4d-1)=a1+2d+a1+5d,解得d=2. 由a2,a4-1,a7-1成等比數(shù)列,得=(a1+2)(a1+11),解得a1=1. 則an=1+(n-1)×2=2n-1,故Sn=×n=n2. (2)存在.假設(shè)存在正整數(shù)n和k,使得Sn ,,成等比數(shù)列,由(1)知Sn=n2,Sn+1=(n+1)2,Sn+k=(n+k)2,則=SnSn+k,即(n+1)4=n2×(n+k)2.又因?yàn)閚,k∈N*,所以(n+1)2=n(n+k),經(jīng)整理得n(k-2)=1.考慮

29、到n,k均為正整數(shù),所以n=1,k=3. 所以,存在正整數(shù)n=1,k=3符合題目的要求. 方法3　等差、等比數(shù)列的綜合問題的解題策略 3.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=(n∈N*),設(shè)bn=a2n-1. (1)求b2,b3,并證明bn+1=2bn+2; (2)①證明:數(shù)列{bn+2}為等比數(shù)列; ②若a2k,a2k+1,9+a2k+2成等比數(shù)列,求正整數(shù)k的值. 解析　(1)b2=a3=2a2=2(a1+1)=4, b3=a5=2a4=2(a3+1)=10. 同理:bn+1=a2n+1=2a2n=2(a2n-1+1)=2(bn+1)=2bn+2. (2)①證明:==2,則數(shù)列{bn+2}為等比數(shù)列. ②由已知得,b1=a1=1,由①得bn+2=3×2n-1,所以bn=3×2n-1-2,即a2n-1=3×2n-1-2, 則a2n=a2n-1+1=3×2n-1-1. 因?yàn)閍2k,a2k+1,9+a2k+2成等比數(shù)列, 所以(3×2k-2)2=(3×2k-1-1)(3×2k+8),令2k=t, 得(3t-2)2=(3t+8),整理得3t2-14t+8=0, 解得t=或4.因?yàn)閗∈N*,所以2k=4,得k=2. 12