2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析) (I)

2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析) (I)一、選擇題（本大題共12題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上相應(yīng)的填涂）1.1.設(shè)集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解集合A得集合A的解集，根據(jù)并集運(yùn)算求解即可。【詳解】解不等式得集合集合則所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了并集的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2.2.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 故選A。3.3.已知向量， 滿足 ， ，且 ，則 （）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將化為，根據(jù)向量的模和數(shù)量積代入求解即可?！驹斀狻?所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積、及模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。4.4.若某多面體的三視圖（單位：）如圖所示，則此多面體的體積是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由三視圖可知該幾何體為上部是一個(gè)平放的五棱柱，其高為，側(cè)視圖為其底面， 底面多邊形可看作是邊長(zhǎng)為的正方形截去一個(gè)直角邊為的等腰直角三角形而得到， 其面積為，所以幾何體的體積為，故選A點(diǎn)睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解5.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為1，則輸入的值為（ ）A. -2或-1或3 B. 2或-2 C. 3或-1 D. 3或-2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)逆運(yùn)算，倒推回求x的值，根據(jù)x的范圍取舍即可。【詳解】因?yàn)?所以 ，解得 ，因?yàn)?不成立，所以-2是輸入的x的值； ，即 ，解得想=3或x=-1，因?yàn)橹挥?成立，所以x的值為3.綜上，x的值為 或3所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題。6.6.已知命題：，；命題：，則下列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，故為假命題，為真命題.因?yàn)?，所以命題：，為假命題，所以為真命題，則為真命題，故選A7.7.正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，則直線A1D與直線C1E所成的角等于 ()A. 60° B. 90° C. 30° D. 隨點(diǎn)E的位置而變化【答案】B【解析】A1DAB，A1DAD1， A1D平面AD1C1B，又平面AD1C1B，A1DC1E直線A1D與直線C1E所成的角等于90°選B8.8.要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像（）A. 向右平移個(gè)單位 B. 向右平移個(gè)單位C. 向左平移個(gè)單位 D. 向左平移個(gè)單位【答案】D【解析】根據(jù)左加右減的原則，要得到函數(shù)y=2sin2x的圖象只要將的圖象向左平移個(gè)單位故選：D點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言.9.9.設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A. B. 6 C. 10 D. 17【答案】B【解析】試題分析：可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B.考點(diǎn)：線性規(guī)劃視頻10.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】時(shí)， 化為： 時(shí)，解得數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，,公比為2 故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，解題時(shí)應(yīng)注意.11.11.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)， 是雙曲線左支上一點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，且， ，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各個(gè)邊長(zhǎng)關(guān)系，判斷出；根據(jù)勾股定理求出離心率?！驹斀狻恳?yàn)镸是 中點(diǎn)，O為 的中點(diǎn)，所以O(shè)M為三角形F1PF2的中位線因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以 在F1PF2中，所以代入得 所以 ，即 所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了平面幾何知識(shí)在圓錐曲線中的基本應(yīng)用，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系求得離心率，屬于基礎(chǔ)題。12.12.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),若對(duì)于都有且當(dāng)時(shí), 則的值為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性，求得的值。【詳解】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù),所以所以又因?yàn)?，即周期T=2=函數(shù)得=1所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，周期性與奇偶性是函數(shù)重要的基本性質(zhì)，要熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上相應(yīng)的位置上）13.13.在ABC中三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，如果a=8，那么b等于_【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和，求得角A，由正弦定理求的b的值?！驹斀狻坑烧叶ɡ?，代入得【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。14.14.小明一家想從北京、濟(jì)南、上海、廣州四個(gè)城市中任選三個(gè)城市作為xx暑假期間的旅游目的地,則濟(jì)南被選入的概率是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求解即可?！驹斀狻克膫€(gè)城市任選三個(gè)城市選擇方法有 ；其中有濟(jì)南入選，從另外三個(gè)城市選兩個(gè)，則有 種選法根據(jù)組合數(shù)計(jì)算公式得【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。15.15.已知?jiǎng)狱c(diǎn) (其中)到x軸的距離比它到點(diǎn)F(0,1)的距離少1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_.【答案】【解析】【分析】由定義，判斷出該曲線為拋物線；根據(jù)拋物線定義求得準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到x軸的距離比它到點(diǎn)F(0,1)的距離少1所以動(dòng)點(diǎn)到 的距離與它到點(diǎn)F(0,1)的距離相等，根據(jù)定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為拋物線，且F(0,1)為焦點(diǎn)則 ，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，關(guān)鍵是要把距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題。16.16.以下關(guān)于圓錐曲線的個(gè)命題中：（）方程的兩實(shí)根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；（）設(shè)，為平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支；（）方程表示橢圓，則的取值范圍是；（）雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為_（寫出所有真命題的序號(hào)）【答案】（）（）（）【解析】（）中的兩實(shí)根為和，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，正確（）中，由雙曲線定義動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差是定值，且定值小于兩定點(diǎn)距離。知（）正確（）中，且，故的取值范圍為，（）錯(cuò)誤（）中，雙曲線和橢圓焦點(diǎn)都為，（）正確故正確的選項(xiàng)為（）（）（）。點(diǎn)睛：這個(gè)題目的綜合性較強(qiáng)，首先明確橢圓離心率是介于 之間的而雙曲線是大于1 的；再就是考查雙曲線的課本定義；第三個(gè)根據(jù)橢圓的基本方程得到且，第四個(gè)根據(jù)各自的基本量的關(guān)系得到焦點(diǎn)坐標(biāo)。三、解答題（本大題共6小題，17小題10分，其余每小題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程，并在答題卡上相應(yīng)的位置作答）17.17.A、B、C為ABC的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c，若,，且·（）求角A的大??；（）若，三角形面積，求b+c的值【答案】（）（）4【解析】【分析】（）根據(jù)向量坐標(biāo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示和·，再根據(jù)半角公式求得角A的值。（）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，求得b+c的值?！驹斀狻浚ǎ?，且·cos2sin2， 即cosA，又A（0，），A（）SABCbc·sinAb·c·sin bc4, 又由余弦定理得：a2=b2+c22bc·cosb2+c2+bc16（b+c）2，故b+c4【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，余弦定理及三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題。18.18.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，若，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（）（）【解析】【分析】（）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)定義，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式。（）將數(shù)列的通項(xiàng)公式帶入，根據(jù)裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和?！驹斀狻浚ǎ┮?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等差數(shù)列，所以設(shè)，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得，于是 （），=， 【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的定義，裂項(xiàng)法在求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。19.19.如圖，三棱柱中，面，D為AC的中點(diǎn).（）求證：面BD；（）求二面角的余弦值；【答案】（）見解析（）【解析】【分析】（）連接B1C，與BC1相交于O，連接OD根據(jù)三角形的中位線定理判定線面平行。（）建立空間直角坐標(biāo)系，求得面BDC1的一個(gè)法向量和面ABC的一個(gè)法向量，利用法向量求面面夾角，并判斷二面角的大小?！驹斀狻浚↖）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中點(diǎn) 又D是AC的中點(diǎn)，OD/AB1 AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1 （II）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則C1（0，0，0），B（0，3，2）， C（0，3，0），A（2，3，0）D（1，3，0）， ， 設(shè)是面BDC1的一個(gè)法向量，則即，取. 易知是面ABC的一個(gè)法向量. . 二面角C1BDC的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何線面平行的判定，利用法向量求二面角的夾角，關(guān)鍵注意最后求得的二面角的正負(fù)，屬于中檔題。20.20.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長(zhǎng)為,離心率為.（1）求橢圓的方程;（2）設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn).求證: 為定值.【答案】（1）橢圓的方程為；（2）見解析.【解析】試題分析：（）由短軸長(zhǎng)和離心率可得的值，故而可得橢圓的方程；（）設(shè)，由直線的斜率，可得直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可證明.試題解析：（）依題意知由得,所以橢圓的方程為.（）設(shè)直線的方程為,則由消去知：則，而所以 為定值.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題；“設(shè)而不求，整體代換”是重中之重，計(jì)算量偏大.21.21.已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，直線經(jīng)過，傾斜角為，與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由題易知，雙曲線方程為；（2）直線的方程為，由弦長(zhǎng)公式得，所以試題解析：（1）設(shè)所求雙曲線方程為代入點(diǎn)得，即所以雙曲線方程為，即.（2）.直線的方程為.設(shè)聯(lián)立得 滿足由弦長(zhǎng)公式得 點(diǎn)到直線的距離.所以22.22.設(shè)， （）求曲線在點(diǎn)處的切線方程（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）求的取值范圍，使得對(duì)任意成立【答案】（）y=x1（）1（）0ae【解析】【分析】（）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求得為斜率k，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得切線方程。（）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間。（）由不等式，化為關(guān)于a的不等式，利用函數(shù)關(guān)系求得a的取值范圍?！驹斀狻浚ǎゝ（x）=lnx，f（x）=，f（1）=，f（1）=0，f（x）=lnx在點(diǎn)（1，f（1）的切線方程為y0=（x1），即y=x1；（）g（x）=f（x）+f（x）=lnx+的定義域?yàn)椋?，+），g（x）=，故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+）上是增函數(shù)；故gmin（x）=g（1）=0+1=1；（）g（a）g（x）對(duì)任意x0成立可化為g（a）g（x）對(duì)任意x0成立，故g（a）1；即lna+1，故lna1，故0ae【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、單調(diào)區(qū)間，解含參數(shù)的不等式，屬于中檔題。