（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.3 最大值與最小值學案 蘇教版選修1-1

《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.3 最大值與最小值學案 蘇教版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.3 最大值與最小值學案 蘇教版選修1-1（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 3.3.3　最大值與最小值 學習目標：1.能夠區(qū)分極值與最值兩個不同的概念．　2.掌握用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值的步驟，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值與最小值．(重點、難點) [自 主 預 習·探 新 知] 1．函數(shù)的最大值與最小值 如果在函數(shù)定義域I內存在x0，使得對任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，則f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值(最小值)． 2．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的步驟 第一步，求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值； 第二步，將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小

2、值． [基礎自測] 1．判斷正誤： (1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值．(　　) (2)開區(qū)間上的單調連續(xù)函數(shù)無最值．(　　) (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得．(　　) 【解析】　(1)×.反例：f(x)＝x3－x2＋2x＋1在[0,10]的最大值是f(10)，而不是其極大值f(1)． (2)√.因為函數(shù)是單調函數(shù)，故無極值，又因為是開區(qū)間，所以最值不可能在區(qū)間端點上取到，故正確． (3)×.反例：f(x)＝－x2在[－1,1]上的最大值為f(0)＝0，不在區(qū)間端點取得． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知函數(shù)y＝x

3、3－x2－x，該函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值是________． 【解析】　y′＝3x2－2x－1，由y′＝0得3x2－2x－1＝0， 得x1＝－，x2＝1. ∵f(0)＝0，f(1)＝－1，f(3)＝27－9－3＝15， ∴該函數(shù)在[0,3]上的最大值為15. 【答案】　15 [合 作 探 究·攻 重 難] 求函數(shù)的最值 　求函數(shù)f(x)＝2x3－12x(x∈[－1,3])的最值． [思路探究]　求f′(x)，研究f(x)在[－1,3]上的極值，并與f(－1)，f(3)比較確定最值． 【自主解答】　f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)＝6(x＋)(x－)．

4、 由f′(x)＝0得x＝－或x＝. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －1 (－1，) (,3) 3 f′(x) － 0 ＋ f(x) 10 ↘ －8 ↗ 18 由上表知函數(shù)f(x)的最小值是－8，最大值是18. [規(guī)律方法]　求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需先求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極值，然后比較極值與區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值. [跟蹤訓練] 1．求函數(shù)f(x)＝x(1－x2)，x∈[0,1]的最值. 【導學號：95902236】 【解】　易知f′(x)＝1－3x2

5、.令f′(x)＝1－3x2＝0，則x＝±. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x 0 1 f′(x) ＋ 0 － f(x) 0 ↗ ↘ 0 由上表知f(x)的最大值為，最小值為0. 含參數(shù)的函數(shù)最值問題 　a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值． [思路探究]　此題是求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，要注意對參數(shù)a進行分類討論． 【自主解答】 　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)． 若a≤0，則f′(x)≤0，函數(shù)f(x)單調遞減，所以當x＝0時，有最大值f(0)＝0. 若a＞

6、0，則令f′(x)＝0，解得x＝±.因為x∈[0,1]，所以只需考慮x＝的情況． (1)0＜＜1，即0＜a＜1時，當x＝時，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示) x (0，) (，1) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 2a ↙ (2)≥1時，即a≥1時，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調遞增， 當x＝1時，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1. 綜上可知，當a≤0時，x＝0時，f(x)有最大值0. 當0＜a＜1時，x＝時，f(x)有最大值2a. 當a≥1時，x＝1時，f(x)有最大值3a－1. [規(guī)律方法]　求函數(shù)在閉區(qū)間上的最

7、值時，如果含有參數(shù)，則應進行分類討論，由于函數(shù)的最值只能在極值點或端點處取得，所以只需比較極值點和端點處的函數(shù)值的大小即可，最后再將討論的情況進行合并整理. [跟蹤訓練] 2．已知函數(shù)f(x)＝g(x)·h(x)，其中函數(shù)g(x)＝ex，h(x)＝x2＋ax＋a. (1)求函數(shù)g(x)在(1，g(1))處的切線方程； (2)當0＜a＜2時，求函數(shù)f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值； 【導學號：95902237】 【解】　(1)g′(x)＝ex，故g′(1)＝e， 所以切線方程為y－e＝e(x－1)，即y＝ex. (2)f(x)＝ex·(x2＋ax＋a)，故f′(x)＝(x

8、＋2)(x＋a)ex，令f′(x)＝0，得x＝－a或x＝－2. ①當－2a≥－2，即0＜a≤1時，f(x)在[－2a，－a]上單調遞減，在[－a，a]上單調遞增， 所以f(x)max＝max{f(－2a)，f(a)}． 由于f(－2a)＝(2a2＋a)e－2a，f(a)＝(2a2＋a)ea，故f(a)＞f(－2a)，所以f(x)max＝f(a)． ②當－2a＜－2，即1＜a＜2時，f(x)在[－2a，－2]上單調遞增，在[－2，－a]上單調遞減，在[－a，a]上單調遞增， 所以f(x)max＝max{f(－2)，f(a)}． 由于f(－2)＝(4－a)e－2，f(a)＝(2a2＋a

9、)ea， 故f(a)＞f(－2)， 所以f(x)max＝f(a)． 綜上得，f(x)max＝f(a)＝(2a2＋a)ea. 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值(范圍) [探究問題] 1. (1)若對任意的x∈[1,2]，都有a≥x成立，則實數(shù)a的取值范圍是什么？ (2)若對任意的x∈[1,2]，都有a≤x成立，則實數(shù)a的取值范圍是什么？ 【提示】　(1)a≥2　(2)a≤1. 2．(1)若存在x∈[1,2]，使a≥x成立，實數(shù)a的取值范圍是什么？ (2)若存在x∈[1,2]，使a≤x成立，實數(shù)a的取值范圍是什么？ 【提示】　(1)a≥1　(2)a≤2. 3．已知函數(shù)y＝f(x)

10、，x∈[m，n]的最大值為ymax，最小值為ymin， (1)若對任意的x∈[m，n]，都有a≥f(x)成立，實數(shù)a的取值范圍是什么？ (2)若對任意的x∈[m，n]，都有a≤f(x)成立，實數(shù)a的取值范圍是什么？ 【提示】　(1)a≥ymax　(2)a≤ymin 4．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值為ymax，最小值為ymin， (1)若存在x∈[m，n]，使a≥f(x)成立，實數(shù)a的取值范圍是什么？ (2)若存在x∈[m，n]，使a≤f(x)成立，實數(shù)a的取值范圍是什么？ 【提示】　(1) a≥ymin　(2)a≤ymax 　已知f(x)＝xln x，g(x)＝

11、－x2＋ax－3，對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； [思路探究]　把a分離出來，轉化為求函數(shù)的最值問題． 【自主解答】　由題意知2xln x≥－x2＋ax－3對一切x∈(0，＋∞)上恒成立，則a≤2ln x＋x＋，設h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，則h′(x)＝. 當x∈(0,1)時，h′(x)<0，h(x)單調遞減，當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＞0，h(x)單調遞增， 所以h(x)min＝h(1)＝4，對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4. 即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，4] [規(guī)律方法]　

12、 1．“恒成立”問題向最值問題轉化是一種常見的題型， 一般地，可采用分離參數(shù)法進行轉化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min. 對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可． 2．此類問題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號”的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“＝”． [跟蹤訓練] 3．已知函數(shù)f(x)＝xcos x－sin x，若存在實數(shù)x∈[0,2π]，使得f(x)＜t成立，則實數(shù)t的取值范圍是__________． 【解析】　f′(x)＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x

13、－cos x＝－xsin x. ∵x∈[0,2π]，∴當x∈[0，π]時，f′(x)≤0，∴f(x)在[0，π]單調遞減． 當x∈[π，2π]時，f′(x)≥0，∴f(x)在[π，2π]單調遞增． ∴f(x)min＝f(π)＝－π，∴t的取值范圍t＞－π. 【答案】　(－π，＋∞) [構建·體系] [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8(－3≤x≤3)的值域是________． 【解析】　令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，而f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，則f(x)max＝24，f(x)min＝－8

14、. 【答案】　[－8,24] 2．設函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為________. 【導學號：95902238】 【解析】　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 當x變化時，g′(x)與g(x)的變化情況如下表： x 0 1 g′(x) － 0 ＋ g(x) 0 單調遞減 極小值 單調遞增 0 所以當x＝時， g(x)有最小值g＝－. 【答案】　－ 3．函數(shù)f(x)＝exsin x在區(qū)間上的值域為__________． 【解析】　f′(x)＝e

15、x(sin x＋cos x)，∵x∈，∴f′(x)＞0，∴f(x)在上是單調增函數(shù)，∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e. 【答案】　 4．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0,2]上的最大值是3，則a的值為________． 【解析】　f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0， 解得x＝－(舍去)或x＝1， 又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，則f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1. 【答案】　1 5．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋a，x∈(0，e]，若f(x)≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 【導學號：95902239】 【解析】　由f(x)＝ln x－x＋a得 f′(x)＝－1＝. 當x∈(0,1)時，f′(x)＞0，f(x)遞增；當x∈(1，e]時，f′(x)＜0，f(x)遞減． ∴當x＝1時，函數(shù)取得最大值f(1)＝－1＋a，據(jù)題意可得－1＋a≤0，所以a≤1， 即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． 6