2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第7課時 空間向量的應(yīng)用(一)平行與垂直練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第7課時 空間向量的應(yīng)用(一) 平行與垂直練習(xí) 理1(2018·廣西桂林一中期中)若a(2，3，m)，b(2n，6，8)，且a，b為共線向量，則mn的值為()A7B.C6 D8答案C解析由a，b為共線向量，得，解得m4，n2，則mn6.故選C.2已知向量a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)若a，b，c三個向量共面，則實數(shù)等于()A. B.C. D.答案D解析由題意，得ctab(2t，t4，3t2)，所以解得故選D.3若平面的一個法向量為(1，2，0)，平面的一個法向量為(2，1，0)，則平面和平面的位置關(guān)系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案C解析由(1，2，0)·(2，1，0)1×22×(1)0×00，知兩平面的法向量互相垂直，所以兩平面互相垂直4已知平面內(nèi)有一個點M(1，1，2)，平面的一個法向量是n(6，3，6)，則下列點P在平面內(nèi)的是()AP(2，3，3) BP(2，0，1)CP(4，4，0) DP(3，3，4)答案A解析n(6，3，6)是平面的法向量，n，在選項A中，(1，4，1)，n·0.5已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則平面ABC的一個單位法向量是()A(，) B(，)C(，) D(，)答案D解析(1，1，0)，(1，0，1)，設(shè)平面ABC的一個法向量n(x，y，z)，令x1，則y1，z1，n(1，1，1)單位法向量為：±±(，)6已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為()A.，4 B.，4C.，2，4 D4，15答案B解析，·0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，又(3，1，4)，則解得7已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)對于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_答案解析·0，·0，ABAP，ADAP.則正確從而正確，又(4，2，0)(2，1，4)(2，3，4).與不平行不正確8(2018·甘肅蘭州質(zhì)檢)如圖，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是_(寫出所有正確說法的序號)不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN平面DEC；不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MNAE；不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MNAB；在折起過程中，一定存在某個位置，使ECAD.答案解析不妨設(shè)BCa，CEEDb.折起后CED(0<<)以E為原點，EA，EC分別為x軸，y軸則A(a，0，0)，C(0，b，0)，D(0，bcos，bsin)M(，cos，sin)，N(，0)(0，cos，sin)，(a，0，0)，(0，b，0)，(a，bcos，bsin)，(0，b，0)·0，MNAE，對，是平面CED的法向量MN平面DEC，對，MN與AB異面，不對當(dāng)時，·0，對綜上，正確9.如右圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點求證：AB1平面A1BD.答案略證明方法一：設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實數(shù)，使m.令a，b，c，顯然它們不共面，并且|a|b|c|2，a·ba·c0，b·c2，以它們?yōu)榭臻g的一組基底，則ac，ab，ac，m()abc，·m(ac)·()abc4()240.故m，結(jié)論得證方法二：基向量的取法同上·(ac)·(ac)|a|2|c|20，·(ac)·(ab)|a|2a·ba·cb·c0，即AB1BA1，AB1BD，由直線和平面垂直的判定定理，知AB1平面A1BD.方法三：取BC的中點O，連接AO.ABC為正三角形，AOBC.在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O(shè)為原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，(1，2，)，(2，1，0)則n，n，故令x1，則y2，z.故n(1，2，)為平面A1BD的一個法向量，而(1，2，)，n，即n，AB1平面A1BD.10(2018·杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中ADBC，ABAD，ABADBC，BEBC.求證：DE平面PAC.解析如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)ABADBC2，則D(0，2，0)，E(2，1，0)，A(0，0，0)，C(2，4，0)(2，1，0)，(2，4，0)設(shè)P(0，0，z)，(0，0，z)設(shè)m(x1，y1，z1)為平面APC的一個法向量，則m，m.令y11，則m(2，1，0)，顯然m.m，DE平面PAC.11.(2018·甘肅省蘭州市高考實戰(zhàn)模擬)如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1，AE3.求證：平面CFG平面ACE.答案略解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(0，0，3)，G(0，1，3)，F(xiàn)(1，0，3)(0，0，3)，(2，2，0)，(1，1，0)，·2200，·0000.FGAC，F(xiàn)GAE.FG平面ACE.又FG平面CFG，平面CFG平面ACE.12(2018·江西景德鎮(zhèn)二中模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為3，點E在AA1上，點F在CC1上，且AEFC11.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；(2)若點G在BC上，BG，點M在BB1上，GMBF，垂足為H，求證：EM平面BCC1B1.答案略證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，E(3，0，1)，F(xiàn)(0，3，2)，D1(3，3，3)，所以(3，0，1)，(0，3，2)，(3，3，3)所以.故，共面又它們有公共點B，所以E，B，F(xiàn)，D1四點共面(2)設(shè)M(0，0，z0)，則(0，z0)，而(0，3，2)，由題設(shè)得·×3z0·20，解得z01.故M(0，0，1)，(3，0，0)又(0，0，3)，(0，3，0)，所以·0，·0，從而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，所以EM平面BCC1B1.13(2018·湖北襄陽模擬，理)如圖，多面體ABCDEF中，DE平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AB2，BAD60°，四邊形BDEF是正方形(1)求證：CF平面AED；(2)在線段EC上是否存在點P，使得AP平面CEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由答案(1)略(2)不存在點P解析(1)因為四邊形ABCD是菱形，所以BCAD.又BC平面ADE，AD平面ADE，所以BC平面ADE，又四邊形BDEF是正方形，所以BFDE.因為BF平面ADE，DE平面ADE，所以BF平面ADE，因為BC平面BCF，BF平面BCF，BCBFB，所以平面BCF平面AED，因為CF平面BCF，所以CF平面AED.(2)因為四邊形ABCD為菱形，且BAD60°，所以BCD為等邊三角形，取BD的中點O，連接CO，所以COBD，取EF的中點G，連接OG，則OGDE，因為DE平面ABCD，所以O(shè)G平面ABCD，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0，0，0)，A(0，0)，B(1，0，0)，C(0，0)，E(1，0，2)，F(xiàn)(1，0，2)，所以(1，2)，(2，0，0)，(1，2)設(shè)平面ECF的法向量為n(x，y，z)，則有得x0，令y1，則n(0，1，)又(1，2)，(1，2)，設(shè)P(x，y，z)，由，得(1，22)，又平面CEF的一個法向量為n(0，1，)若AP平面CEF，則n，令n.得方程組無解，不符合題意綜上，線段EC上不存在點P，使得AP平面CEF.14.如圖所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由答案(1)(2)存在，|AS|解析(1)如圖，以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題意得D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，N(1，1，1)，E(，1，0)，所以(，0，1)，(1，0，1)，因為|cos，|.所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為.(2)假設(shè)在線段AN上存在點S，使得ES平面AMN.連接AE，如圖所示因為(0，1，1)，可設(shè)(0，)，又(，1，0)，所以(，1，)由ES平面AMN，得即解得，此時(0，)，|.經(jīng)檢驗，當(dāng)|AS|時，ES平面AMN.故線段AN上存在點S，使得ES平面AMN，此時|AS|.1.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PAPDAD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PDC.答案(1)略(2)略思路(1)(2)證明如圖，取AD的中點O，連接OP，OF.因為PAPD，所以POAD.因為側(cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點，所以O(shè)FAB.又ABCD是正方形，所以O(shè)FAD.因為PAPDAD，所以PAPD，OPOA.以O(shè)為原點，OA，OF，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(，0，0)，F(xiàn)(0，0)，D(，0，0)，P(0，0，)，B(，a，0)，C(，a，0)因為E為PC的中點，所以E(，)(1)易知平面PAD的一個法向量為(0，0)，因為(，0，)，且·(0，0)·(，0，)0，所以EF平面PAD.(2)因為(，0，)，(0，a，0)，所以·(，0，)·(0，a，0)0，所以，所以PACD.又PAPD，PDCDD，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.2.已知在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90°，2AB2ADCD，側(cè)面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC的中點(1)求證：BE平面PCD；(2)在PB上是否存在一點F，使AF平面BDE?答案(1)略(2)F為PB中點時，AF平面BDE解析(1)以AD的中點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABAD2，則有B(1，2，0)，C(1，4，0)，D(1，0，0)，P(0，0，)，E(，2，)(，0，)，(1，4，)，(0，4，0)·(，0，)·(1，4，)0，·(，0，)·(0，4，0)0.即BEPC，BECD.又PCCDC，BE平面PCD.(2)設(shè)平面BDE的法向量為n(x，y，z)，n，n，n·0，n·0.令y1，則x1，z.平面BDE的一個法向量為n(1，1，)取PB中點F，則有F(，1，)又A(1，0，0)，(，1，)·n(，1，)·(1，1，)10，n.又n是平面BDE的法向量，且AF平面BDE，AF平面BDE.故存在PB中點F使AF平面BDE.3(2017·衡水中學(xué)調(diào)研卷)如圖所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱A1A2.(1)證明：ACA1B；(2)是否在棱A1A上存在一點P，使得且面AB1C1面PB1C1.答案(1)略(2)點P不存在解析以DA，DC，DA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，)，B(1，1，0)，D1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(1，1，)(1)(1，1，0)，(1，1，)，·0，ACA1B.(2)假設(shè)存在，P(，0，)設(shè)平面AB1C1的一個法向量為n1(x1，y1，z1)，(1，1，)，(2，1，)，令z1，則y13，x10.n1(0，3，)同理可求面PB1C1的一個法向量為n2(0，1)，n1·n20.0，即4.P在棱A1A上，>0矛盾這樣的點P不存在4(2018·石家莊市高三一檢)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD為梯形，ADBC，CDBC，AD2，ABBC3，PA4，M為AD的中點，N為PC上的點，且PC3PN.求證：MN平面PAB.證明方法一：(傳統(tǒng)法)如圖，在平面PBC內(nèi)作NHBC交PB于點H，連接AH，在PBC中，NHBC，且NHBC1，AMAD1，又ADBC，NHAM且NHAM，四邊形AMNH為平行四邊形，MNAH，又AH平面PAB，MN平面PAB，MN平面PAB.方法二：(向量法)在平面ABCD內(nèi)作AECD交BC于點E，則AEAD.分別以AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則P(0，0，4)，M(0，1，0)，C(2，2，0)，N(，)，B(2，1，0)，A(0，0，0)，(，)，(0，0，4)，(2，1，0)設(shè)mn，(，)m(2，1，0)n(0，0，4)，m，n，、共面平面PAB.又MN平面PAB.MN平面PAB.方法三：(法向量)建系寫點坐標(biāo)如方法二設(shè)m(x1，y1，z1)為平面PAB的一個法向量，則由m，m得令x11，則m(1，2，0)·m·1·2·00.m，平面PAB.又MN平面PAB.MN平面PAB.方法四：(基本法)設(shè).由題知3.()()，、三向量共面平面APB.又MN平面PAB.MN平面PAB.