(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案

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1、專題三 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 [析考情·明重點] 小題考情分析 大題考情分析 ??键c 1.等差、等比數(shù)列的概念及運算(5年4考) 2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(5年4考) 高考對數(shù)列的考查在解答題中常以數(shù)列的相關(guān)項以及關(guān)系式,或an與Sn的關(guān)系入手,結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義展開考查.?dāng)?shù)學(xué)歸納法也是高考常考內(nèi)容,題型主要有: (1)等差、等比數(shù)列基本量的運算; (2)數(shù)列求和問題; (3)數(shù)列與不等式的綜合問題; (4)數(shù)學(xué)歸納法常與數(shù)列、不等式等知識綜合考查. 偶考點 1.數(shù)列的遞推關(guān)系式 2.等差與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題 第一講 小題考法——數(shù)列的概念及基本運算

2、 考點(一) 數(shù)列的遞推關(guān)系式 主要考查方式有兩種:一是利用an與Sn的關(guān)系求通項an或前n項和Sn;二是利用an與an+1的關(guān)系求通項an或前n項和Sn. [典例感悟] [典例] (1)(2018·臺州調(diào)考)設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足an+bn=700,an+1=an+bn,n∈N*,若a6=400,則(  ) A.a(chǎn)4>a3        B.b4b3 D.a(chǎn)4

3、為Sn,且a1=1,=對一切n∈N*都成立,則a2=________,=________. [解析] (1)由消去bn可得an+1=an+280,所以an+1-400=(an-400). 因為a6=400,所以an-400=(a6-400)×n-6=0,即an=400,故bn=300,故選C. (2)由an+1=Sn①,可得an=Sn-1(n≥2)②,①-②得an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2),即=2(n≥2),又a2=S1=1,所以=1≠2,則數(shù)列{an}從第二項起是以1為首項2為公比的等比數(shù)列,所以an= (3)當(dāng)n=1時,有=,即a2=a+a1,所以a2=2.由=,得

4、=,則數(shù)列是常數(shù)列,故==2. [答案] (1)C (2)an= (3)2 2 [方法技巧] 1.由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法 (1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1(n≥2). (2)已知a1且=f(n),可用“累乘法”求an,即an=··…···a1(n≥2). 2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路 根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化. (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-1的關(guān)系式,再求解. (2)利用Sn-Sn

5、-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的關(guān)系式,再求解. [演練沖關(guān)] 1.(2019屆高三·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an-3(n∈N*),則S6=(  ) A.192 B.189 C.96 D.93 解析:選B ∵a1=S1=2a1-3,∴a1=3.又n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2an-3)-(2an-1-3),即有n≥2時,an=2an-1,故數(shù)列{an}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,則a6=3×25=96,∴S6=2a6-3=189,故選B. 2.(2018·衢州質(zhì)量檢測)在數(shù)列{an}中,a1=1,(n2+2n)·

6、(an+1-an)=1(n∈N*),則通項公式an=________. 解析:由(n2+2n)(an+1-an)=1(n∈N*), 得an+1-an===, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =++…++1 =+1=-. 答案:- 3.(2018·杭州七校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-2an=2n(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為an=________. 解析:an+1-2an=2n兩邊同除以2n+1,可得-=,又=,∴數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,∴=+(n-1)×=,∴an=n·2n-1. 答案:n·2

7、n-1 考點(二) 等差、等比數(shù)列的基本運算 主要考查與等差(比)數(shù)列的通項公式、前n項和公式有關(guān)的五個基本量間的“知三求二”運算. [典例感悟] [典例] (1)(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的(  ) A.充分不必要條件    B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)(2018·浙江考前沖刺)已知等差數(shù)列{an}滿足an+an+1=2n-3,n∈N*,則a1+a2+a6+a7=________,數(shù)列{an}的前n項和Sn=________. (3)(2

8、017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=________. [解析] (1)因為{an}為等差數(shù)列,所以S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4+S6-2S5=d,所以d>0?S4+S6>2S5. (2)分別令n=1,6,可得a1+a2+a6+a7=-1+9=8.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則2n-3=an+an+1=a1+(n-1)d+a1+nd=2dn+(2a1-d)對任意的n∈N*恒成立,所以解得故Sn=n×(-1)+×1=. (3)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由S6≠2S3

9、,得q≠1,則解得 則a8=a1q7=×27=32. [答案] (1)C (2)8  (3)32 [方法技巧] 等差(比)數(shù)列基本運算的解題思路 (1)設(shè)基本量:首項a1和公差d(公比q). (2)列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組),然后求解,注意整體計算,以減少運算量. [演練沖關(guān)] 1.(2018·諸暨質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,則下列四個命題中,錯誤的是(  ) A.若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 B.若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列{an}是公差為2d的等差數(shù)列 C.若數(shù)列{an}是等差數(shù)

10、列,則數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列 D.若數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列,則{an}是等差數(shù)列 解析:選D A項,若等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,前n項的和為Sn,則數(shù)列為等差數(shù)列,且通項為=a1+(n-1),即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,故說法正確;B項,由題意得=a1+(n-1)d,所以Sn=na1+n(n-1)d,則an=Sn-Sn-1=a1+2(n-1)d,即數(shù)列{an}是公差為2d的等差數(shù)列,故說法正確;C項,若等差數(shù)列{an}的公差為d,則數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是公差為2d的等差數(shù)列,故說法正確;D項,若數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成

11、公差相等的等差數(shù)列,則{an}不一定是等差數(shù)列,例如:{1,4,3,6,5,8,7},說法錯誤.故選D. 2.(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=________. 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 則a1+a2=a1(1+q)=-1, a1-a3=a1(1-q2)=-3, 兩式相除,得=, 解得q=-2,a1=1, 所以a4=a1q3=-8. 答案:-8 3.(2019屆高三·浙江名校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的公比q>0,前n項和為Sn.若2(a5-a3-a4)=a4,且a2a4a6=64,則q=________,S

12、n=________. 解析:∵2(a5-a3-a4)=a4,∴2a5=2a3+3a4?2q4=2q2+3q3?2q2-3q-2=0,得q=-(舍去)或q=2.∵a2a4a6=64,∴a=64?a4=4,∴a1=,Sn==. 答案:2  考點(三) 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 主要考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與前n項和有關(guān)的最值問題. [典例感悟] [典例] (1)(2018·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中)已知等差數(shù)列{an},Sn表示前n項的和,a5+a11>0,a6+a9<0,則滿足Sn<0的正整數(shù)n的最大值是(  ) A.12           B.13 C

13、.14 D.15 (2)(2018·杭州二中期中)已知等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn,log2a3+log2a7=2,則T9的值為(  ) A.±512 B.512 C.±1 024 D.1 024 (3)(2019屆高三·溫州十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,且滿足2an+1+Sn=2,則滿足<<的n的最大值是(  ) A.8 B.9 C.10 D.11 (4)(2018·紹興高三3月適應(yīng)性模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,滿足S2=S6,-=2,則a1=________,公差d=________. [解析] (1)∵2a

14、8=a5+a11>0,∴a8>0,則S15=×15=15a8>0. 又a7+a8=a6+a9<0,∴a7<-a8<0,則S13=×13=13a7<0. 而S14=×14=7(a6+a9)<0,則滿足Sn<0的正整數(shù)n的最大值是14. (2)∵a3>0,a7>0,∴a5=a3q2>0. ∴l(xiāng)og2a3+log2a7=log2(a3a7)=log2a=2,故a5=2. 從而T9=(a1a9)×(a2a8)×(a3a7)×(a4a6)×a5=a=29=512,故選B. (3)當(dāng)n=1時,由2a2+S1=2,得a2=. 由2an+1+Sn=2知, 當(dāng)n≥2時,有2an+Sn-1=2,

15、 兩式相減得an+1=an. 當(dāng)n=1時上式也成立, 所以數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列, 故Sn=2-2·n. 因此原不等式化為<<,化簡得

16、當(dāng)?shù)男再|(zhì)進行求解. (2)運用函數(shù)性質(zhì):數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題. [演練沖關(guān)] 1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,前10項和等于前5項和,若am+a6=0,則m=(  ) A.10 B.9 C.8 D.2 解析:選A 記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,由題意S10=S5,所以S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=0,又a6+a10=a7+a9=2a8,于是a8=0,又am+a6=0,所以m+6=2×8,解得m=10. 2.已知數(shù)列{an}是首項為a,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=.若對任意的

17、n∈N*,都有bn≥b8成立,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-8,-7) B.[-8,-7) C.(-8,-7] D.[-8,-7] 解析:選A 因為{an}是首項為a,公差為1的等差數(shù)列,所以an=n+a-1,因為bn==1+,又對任意的n∈N*都有bn≥b8成立,所以1+≥1+,即≥對任意的n∈N*恒成立,因為數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,所以{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列,所以即解得-8

18、:∵f(x)=x3-4x2+6x-1, ∴f′(x)=x2-8x+6, 又a1,a4 035是函數(shù)f(x)=x3-4x2+6x-1的極值點, ∴a1,a4 035是方程x2-8x+6=0的實根, 由根與系數(shù)的關(guān)系可得a1+a4 035=8, 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2 018==4, ∴l(xiāng)og2a2 018=log24=2. 答案:2 考點(四) 等差、等比數(shù)列的綜合問題 主要考查等差、等比數(shù)列相結(jié)合的基本量的計算、數(shù)列有關(guān)最值問題的求解及與不等式相結(jié)合問題. [典例感悟] [典例] (1)(2018·浙江六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,滿足a6=

19、a2·a10,設(shè)等差數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,若b9=2a7,則S17=(  ) A.34 B.39 C.51 D.68 (2)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn ,已知S10=0,S15=25,則nSn 的最小值為(  ) A.-47 B.-48 C.-49 D.-50 (3)(2018·浙江高考)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,則(  ) A.a(chǎn)1a3,a2a4 D.a(chǎn)1>a3,a2>a4 [解析] (1)法一:數(shù)列{

20、an}是公比q=2的等比數(shù)列,由a6=a2·a10得a1q5=a1q·a1q9,∴a1q5=1,∴a6=1, ∴b9=2a7=2a6·q=2×1×2=4,設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,則S17=17b1+d=17(b1+8d)=17b9=68,故選D. 法二:數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)得a6=a2·a10=a,∴a6=1,∴b9=2a7=2a6×2=4,∴等差數(shù)列{bn}的前17項和S17==17b9=68,故選D. (2)由已知得 解得那么nSn=n2a1+d=-.由于函數(shù)f(x)=-在x=處取得極小值,又6<<7,從而檢驗n=6時,6S6=-48,n=7時,

21、7S7=-49.所以nSn 的最小值為-49. (3)法一:構(gòu)造不等式ln x≤x-1(x>0), 則a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1, 所以a4=a1·q3≤-1.由a1>1,得q<0. 若q≤-1,則ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4=a1(1+q)·(1+q2)≤0. 又a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1, 所以ln(a1+a2+a3)>0,矛盾. 因此-10,a2-a4=a1q(1-q2)<0, 所以a1>a3,a2

22、a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),所以ea1+a2+a3+a4=a1+a2+a3≥a1+a2+a3+a4+1,則a4≤-1,又a1>1,所以等比數(shù)列的公比q<0.若q≤-1,則a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,而a1+a2+a3≥a1>1,所以ln(a1+a2+a3)>0,與ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4≤0矛盾,所以-10,a2-a4=a1q(1-q2)<0,所以a1>a3,a2

23、于等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題,要從兩個數(shù)列的特征入手,理清它們的關(guān)系,常用“基本量法”求解,但有時靈活地運用等差中項、等比中項等性質(zhì),可使運算簡便. (2)數(shù)列的通項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù),然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列的有關(guān)最值問題. (3)等差、等比數(shù)列與不等式交匯的問題常構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式. [演練沖關(guān)] 1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1-1,a3-3,a5-5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=(  ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:選C 依題意,得2a3=a1+a5,2a3-6=a1+a5-6,即2(a3-3)=(a1-1)+

24、(a5-5),所以a1-1,a3-3,a5-5成等差數(shù)列.又a1-1,a3-3,a5-5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,因此有a1-1=a3-3=a5-5,q==1. 2.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,記數(shù)列,的前n項和分別為Sn,Tn.若a5=b5,a6=b6,且S7-S5=4(T6-T4),則=(  ) A. B. C.- D.- 解析:選C 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q. 由a5=b5,a6=b6,且S7-S5=4(T6-T4), 得解得 故====-. 3.(2019屆高三·浙江十校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}是單調(diào)遞

25、增的等比數(shù)列,b1是a1與a2的等差中項,b1=2,a3=5,b3=a4+1.若當(dāng)n≥m(m∈N*)時,Sn≤bn恒成立,則m的最小值為________. 解析:由題意設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,q>1,則a1+a2=2a1+d=2b1=4,又a3=a1+2d=5,所以a1=1,d=2,an=1+2(n-1)=2n-1,所以b3=a4+1=8,Sn=n+×2=n2.因為數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,所以q2==4,q=2,bn=2n.因為當(dāng)n≥m(m∈N*)時,Sn≤bn恒成立,所以當(dāng)n≥m(m∈N*)時,n2≤2n恒成立,數(shù)形結(jié)合可知m的最小值為4. 答

26、案:4 (一) 主干知識要記牢 1.等差數(shù)列、等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0) 前n項和公式 Sn==na1+d (1)q≠1,Sn==; (2)q=1,Sn=na1 2.判斷等差數(shù)列的常用方法 (1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (2)通項公式法:an=pn+q(p,q為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (3)中項

27、公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. 3.判斷等比數(shù)列的常用方法 (1)定義法:=q(q是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (2)通項公式法:an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (3)中項公式法:a=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (二) 二級結(jié)論要用好 1.等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d;p+q=m+n?ap+aq

28、=am+an. (2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd. (3)連續(xù)k項的和(如Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列. (4)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2m,公差為d,所有奇數(shù)項之和為S奇,所有偶數(shù)項之和為S偶,則所有項之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=. (5)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2m-1,所有奇數(shù)項之和為S奇,所有偶數(shù)項之和為S偶,則所有項之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=. [針對練1] 一個等差數(shù)列的前12項和為354,前1

29、2項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27,則該數(shù)列的公差d=________. 解析:設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇,偶數(shù)項的和為S偶,等差數(shù)列的公差為d. 由已知條件,得 解得 又S偶-S奇=6d,所以d==5. 答案:5 2.等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an=a1qn-1=amqn-m;p+q=m+n?ap·aq=am·an. (2){an},{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列. (3)連續(xù)m項的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意:這連續(xù)m項的和必須非零才能成立). (4)若等比數(shù)列有2n項,公比為q,奇數(shù)項

30、之和為S奇,偶數(shù)項之和為S偶,則=q. (5)對于等比數(shù)列前n項和Sn,有: ①Sm+n=Sm+qmSn; ②=(q≠±1). (三) 易錯易混要明了 已知數(shù)列的前n項和求an,易忽視n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事實上,當(dāng)n=1時,a1=S1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1. [針對練2] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1,則該數(shù)列的通項公式為________. 解析:當(dāng)n=1時,a1=S1=2. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=n2-(n-1)2=2n-1, 又當(dāng)n=1時,2×1-1=1≠2. ∴an= 答案:

31、an= A組——10+7提速練 一、選擇題 1.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項和為Sn,則=(  ) A.2            B.4 C. D. 解析:選C ∵q=2, ∴S4==15a1, ∴==.故選C. 2.(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:選C 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d

32、, 則由得 即解得d=4. 3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S1=a2-,S2=a3-,則公比q=(  ) A.1 B.4 C.4或0 D.8 解析:選B ∵S1=a2-,S2=a3-, ∴ 解得或, 故所求的公比q=4.故選B. 4.(2019屆高三·湖州五校聯(lián)考)若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,Sn是其前n項和,則下列結(jié)論中正確的是(  ) A.若a1+a2>0,則a1+a3>0 B.若a1+a4>0,則a1a4>a2a3 C.若d>0且a1>0,則+> D.若S3+S7>2S5,則d>0 解析:選D 由a1+a2=2a1+d>0,

33、得d>-2a1,由a1+a3=2a1+2d>0,得d>-a1,顯然不符,A錯;a1·a4=a+3a1d,a2·a3=a+3a1d+2d2,因為d≠0,所以a1a42S5=10a1+20d,解得d>0,D正確. 5.(2018·金華統(tǒng)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足S7=S11,且a1>0,則Sn中最大的是(  ) A.S7 B.S8 C.S9 D.S10 解析:選C 法一:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,根

34、據(jù)S7=S11可得7a1+d=11a1+d,即d=-a1,則Sn=na1+d=na1+×=-(n-9)2+a1,由a1>0可知-<0,故當(dāng)n=9時,Sn最大. 法二:根據(jù)S7=S11可得a8+a9+a10+a11=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a8+a11=a9+a10=0,由a1>0可知a9>0,a10<0,所以數(shù)列{an}的前9項和最大. 6.(2019屆高三·浙江名校聯(lián)考信息卷)已知數(shù)列{an}是正項數(shù)列,則“{an}為等比數(shù)列”是“a+a≥2a”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 若{an}為等比數(shù)列,則

35、有an·an+2=a,所以a+a≥2=2a,當(dāng)且僅當(dāng)an=an+2時取等號,所以充分性成立;當(dāng)a+a≥2a時,取an=n,則a+a-2a=n2+(n+2)2-2(n+1)2=2n2+4n+4-2n2-4n-2=2>0,所以a+a≥2a成立,但{an}是等差數(shù)列,不是等比數(shù)列,所以必要性不成立.所以“{an}為等比數(shù)列”是“a+a≥2a”的充分不必要條件.故選A. 7.若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6>S7>S5,則滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為(  ) A.10 B.11 C.12 D.13 解析:選C 由S6>S7>S5,得S7=S6+a7

36、a6+a7>S5,所以a7<0,a6+a7>0,所以S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,所以S12S13<0,即滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為12,故選C. 8.(2018·浙江考前熱身聯(lián)考)我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器,晷長即為所測量影子的長度).二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示,相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同,周而復(fù)始.若冬至晷長一丈三尺五寸夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是(  ) A.五寸 B.二尺五寸 C.

37、三尺五寸 D.四尺五寸 解析:選B 設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an},公差為d,a1=15,a13=135,則15+12d=135,解得d=10.∴a2=15+10=25,∴小暑的晷長是25寸.故選B. 9.已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且對任意n∈N*都有++…+

38、實數(shù)t的取值范圍是. 10.若數(shù)列{an}滿足a1=1,且對于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,則++…++等于(  ) A. B. C. D. 解析:選C 由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1, 則a2-a1=1+1, a3-a2=2+1, a4-a3=3+1, …, an-an-1=(n-1)+1, 以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1, 把a1=1代入上式得,an=1+2+3+…+(n-1)+n=, ==2, 則++…++=2=2=. 二、填空題 11.(2018·杭州高三質(zhì)檢)設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列

39、{an}的前n項和為Sn,若S4=80,S2=8,則公比q=________,a5=________. 解析:由題意得解得或(舍去),從而a5=a1q4=2×34=162. 答案:3 162 12.已知數(shù)列{an}滿足an+1=若a1=,則a2 018=________. 解析:因為a1=,根據(jù)題意得a2=,a3=,a4=,a5=,所以數(shù)列{an}以4為周期,又2 018=504×4+2,所以a2 018=a2=. 答案: 13.(2018·寧波調(diào)研)已知{an},{bn}是公差分別為d1,d2的等差數(shù)列,且An=an+bn,Bn=anbn.若A1=1,A2=3,則An=_____

40、___;若{Bn}為等差數(shù)列,則d1d2=________. 解析:∵{an},{bn}是公差分別為d1,d2的等差數(shù)列,且An=an+bn, ∴數(shù)列{An}是等差數(shù)列,又A1=1,A2=3, ∴數(shù)列{an}的公差d=A2-A1=2. 則An=1+2(n-1)=2n-1; ∵Bn=anbn,且{Bn}為等差數(shù)列, ∴Bn+1-Bn=an+1bn+1-anbn=(an+d1)(bn+d2)-anbn=and2+bnd1+d1d2=[a1+(n-1)d1]d2+[b1+(n-1)d2]d1+d1d2=a1d2+b1d1-d1d2+2d1d2n為常數(shù). ∴d1d2=0. 答案:2n-

41、1 0 14.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3=10,S4=50,則公差d=________,若Sn取到最大值,則n=________. 解析:由已知條件可得S4=a3-2d+a3-d+a3+a3+d=4a3-2d=50,又a3=10,所以d=-5. 法一:可得a4=5,a5=0,a6=-5,…,故當(dāng)n=4或5時,Sn取到最大值. 法二:可知a1=20,an=-5n+25,Sn=,根據(jù)二次函數(shù)的知識可得,當(dāng)n=4或5時,Sn取到最大值. 答案:-5 4或5 15.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為________. 解析

42、:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,∴a1=8. 故a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=23n· =23n-+=2-+n. 記t=-+=-(n2-7n)=-2+, 結(jié)合n∈N*可知n=3或4時,t有最大值6. 又y=2t為增函數(shù),從而a1a2…an的最大值為26=64. 答案:64 16.已知等差數(shù)列{an}滿足a3=-1,a4+a12=-12,則數(shù)列{an}的通項公式an=________;若數(shù)列的前n項和為Sn,則使Sn>的最大正整數(shù)n為________. 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的

43、公差為d, 由已知可得解得 故數(shù)列{an}的通項公式為an=2-n. Sn=a1++…+,① =++…+.② ①-②得=a1++…+-=1--=1--=, 所以Sn=,由Sn=>,得0

44、時,an=SnSn-1=××=,又a1=3, ∴an= 答案: B組——能力小題保分練 1.(2016·浙江高考)如圖,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則(  ) A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{S}是等差數(shù)列 C.{dn}是等差數(shù)列 D.71thpnj是等差數(shù)列 解析:選A 由題意,過點A1,A2,A3,…,An,An+1,…分別作直線B1Bn+1的垂線,高分

45、別記為h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…,根據(jù)平行線的性質(zhì),得h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…成等差數(shù)列,又Sn=×|BnBn+1|×hn,|BnBn+1|為定值,所以{Sn}是等差數(shù)列.故選A. 2.(2017·全國卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且

46、該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是(  ) A.440 B.330 C.220 D.110 解析:選A 設(shè)第一項為第1組,接下來的兩項為第2組,再接下來的三項為第3組,依此類推,則第n組的項數(shù)為n,前n組的項數(shù)和為. 由題意可知,N>100,令>100, 得n≥14,n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后. 易得第n組的所有項的和為=2n-1,前n組的所有項的和為-n=2n+1-n-2. 設(shè)滿足條件的N在第k+1(k∈N*,k≥13)組,且第N項為第k+1組的第t(t∈N*)個數(shù), 若要使前N項和為2的整數(shù)冪,則第k+1組的前t項的和2t-1應(yīng)與-2-k互為

47、相反數(shù), 即2t-1=k+2,∴2t=k+3,∴t=log2(k+3), ∴當(dāng)t=4,k=13時,N=+4=95<100,不滿足題意; 當(dāng)t=5,k=29時,N=+5=440; 當(dāng)t>5時,N>440,故選A. 3.(2018·浙江考前沖刺卷)已知數(shù)列{an}是首項為1,公差d不為0的等差數(shù)列,且a2a3=a8,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,其中b2=-2,b5=16,若數(shù)列{cn}滿足cn=anbn,則|c1|+|c2|+|c3|+…+|cn|=(  ) A.3+(2n-3)2n+1 B.3+(2n-3)2n C.3-(2n-3)2n D.3+(2n+3)2n 解析:選B 

48、由題意知,(a1+d)(a1+2d)=a1+7d,a1=1,得d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q,則q3==-8,q=-2,所以bn=(-2)n-1,所以|cn|=|(2n-1)(-2)n-1|=(2n-1)·2n-1,所以|c1|+|c2|+|c3|+…+|cn|=1×20+3×21+…+(2n-1)2n-1.令Tn=1×20+3×21+…+(2n-1)2n-1,則2Tn=1×21+3×22+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,兩式相減得Tn=-2(21+22+…+2n-1)+(2n-1)2n-1=3+(2n-3)2n,所以選B. 4.(201

49、8·浙江高三模擬)已知在數(shù)列{an}中,a1=-,[1-(-1)n]an=(-1)n·an-1+2-(n≥2),且對任意的n∈N*,(an+1-p)(an-p)<0恒成立,則實數(shù)p的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 解析:選A ∵[1-(-1)n]an=(-1)nan-1+2-(n≥2),(*) a1=-,∴①當(dāng)n為偶數(shù)時,化簡(*)式可知,an-1=-2,∴an=-2(n為奇數(shù)); ②當(dāng)n為奇數(shù)時,化簡(*)式可知,2an=-an-1+2-,即-4=-an-1+2-,即an-1=6-, ∴an=6-(n為偶數(shù)).于是an= ∵對任意n∈N*,(an+1-p)(

50、an-p)<0恒成立, ∴對任意n∈N*,(p-an+1)(p-an)<0恒成立.又數(shù)列{a2k-1}單調(diào)遞減,數(shù)列{a2k}單調(diào)遞增,∴當(dāng)n為奇數(shù)時,有an

51、=14,解得n=7(n=-8舍去),所以ak=. 答案: 6.已知在首項都為2的數(shù)列{an},{bn}中,a2=b2=4,2an+1=an+an+2,bn+1-bn<2n+,bn+2-bn>3×2n-1,且bn∈Z,則bn=________,數(shù)列的前n項和為________. 解析:由2an+1=an+an+2,知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,因為a1=2,a2=4,所以其公差為2,所以an=2n.由bn+1-bn<2n+,得bn+2-bn+1<2n+1+,所以bn+2-bn<3×2n+1,又bn+2-bn>3×2n-1,且bn∈Z,所以bn+2-bn=3×2n,又b1=2,b2=4,所以bn

52、=2n.所以==2n-1,則數(shù)列的前n項和為=2n-1. 答案:2n 2n-1 第二講 大題考法——數(shù)列的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)歸納法 題型(一) 等差、等比數(shù)列基本量的計算 主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和的求解,且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題. [典例感悟] [典例1] 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,滿足a1=2,a4=8,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足b2=4,b5=32. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn. [解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由題意得d==2, 所以an=a1+(n-1)

53、d=2+(n-1)×2=2n. 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q, 由題意得q3==8,解得q=2. 因為b1==2,所以bn=b1·qn-1=2×2n-1=2n. (2)因為an=2n,bn=2n,所以an+bn=2n+2n,所以Sn=+=n2+n+2n+1-2. [備課札記] 

54、 [方法技巧] 等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略 (1)分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問題需要先求解的中間問題.如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等,即確定解題的邏輯次序. (2)注意細節(jié).例如:在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合

55、問題中,若等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能;在數(shù)列的通項問題中,第一項和后面的項能否用同一個公式表示等. [演練沖關(guān)] 1.(2018·浙江第二次聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=,前n項和為Sn,且滿足2an+1+Sn=3(n∈N*). (1)求a2及an; (2)求證:anSn的最大值為. 解:(1)由題意得2a2+S1=3, 即2a2+a1=3, 所以a2==. 當(dāng)n≥2時,由2an+1+Sn=3,得2an+Sn-1=3, 兩式相減得2an+1-an=0,即an+1=an. 因為a1=,a2=,所以a2=a1, 即當(dāng)n=1時,an+1=an也成立

56、. 所以{an}是以為首項,為公比的等比數(shù)列, 所以an=. (2)證明:因為2an+1+Sn=3,且an+1=an, 所以Sn=3-2an+1=3-an. 于是,anSn=an(3-an)≤2=, 當(dāng)且僅當(dāng)an=,即n=1時等號成立. 故anSn的最大值為. 題型(二) 等差、等比數(shù)列的判定與證明 主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項及等比中項,且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題. [典例感悟] [典例2] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式; (2)若S5=,求λ. [解] (1)證

57、明:由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=,故a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=. 因此{an}是首項為,公比為的等比數(shù)列, 于是an=n-1. (2)由(1)得Sn=1-n. 由S5=得1-5=,即5=. 解得λ=-1. [備課札記] 

58、   [方法技巧] 判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法 定義法 對于n≥1的任意自然數(shù),驗證an+1-an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù) 中項公式法 ①若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),

59、則{an}為等差數(shù)列; ②若a=an-1·an+1≠0(n∈N*,n≥2),則{an}為等比數(shù)列 [演練沖關(guān)] 2.(2018·溫州高考適應(yīng)性測試)已知數(shù)列{an}的前n項積為Tn,且Tn=1-an. (1)證明:是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列的前n項和Sn. 解:(1)證明:由Tn=1-an得,當(dāng)n≥2時,Tn=1-, 兩邊同時除以Tn,得-=1. ∵T1=1-a1=a1,∴a1=,==2, ∴是首項為2,公差為1的等差數(shù)列. (2)由(1)知=n+1,則Tn=, 從而an=1-Tn=,故=n. ∴數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列, ∴Sn=. 題型(三) 數(shù)列求

60、和問題 主要考查錯位相減法求和、裂項相消法求和以及分組求和、含絕對值的數(shù)列求和,且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式、周期等命題. [典例感悟] [典例3] (2018·浙江高考)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n. (1)求q的值; (2)求數(shù)列{bn}的通項公式. [解] (1)由a4+2是a3,a5的等差中項, 得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28, 解得a4=8. 由a3+a5=20,得8=20, 解得q=

61、2或q=. 因為q>1,所以q=2. (2)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. 由cn=解得cn=4n-1. 由(1)可得an=2n-1, 所以bn+1-bn=(4n-1)×n-1, 故bn-bn-1=(4n-5)×n-2,n≥2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)×n-2+(4n-9)×n-3+…+7×+3. 設(shè)Tn=3+7×+11×2+…+(4n-5)×n-2,n≥2.① 則Tn=3×+7×2+…+(4n-9)×n-2+(4n-5)×n-1,② ①-②,得Tn=3+4×+

62、4×2+…+4×n-2-(4n-5)×n-1, 所以Tn=14-(4n+3)×n-2,n≥2. 又b1=1,所以bn=15-(4n+3)×n-2. [備課札記] 

63、 [方法技巧] 1.分組求和中分組的策略 (1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組. (2)根據(jù)正號、負號分組. 2.裂項相消的規(guī)律 (1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差. (2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多. 3.錯位相減法的關(guān)注點 (1)適用題型:等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對應(yīng)項相乘({an·bn})型數(shù)列求和. (2)步驟: ①求和時先乘以數(shù)列{b

64、n}的公比; ②將兩個和式錯位相減; ③整理結(jié)果形式. [演練沖關(guān)] 3.(2018·浙江高三模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a1=11,b1=1,a2+b2=11,a3+b3=11. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列{|an-bn|}的前12項和S12. 解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,{bn}的公比為q(q≠0), 則由a3+b3=a2+b2=a1=11, 可得得d=-2,q=2, 從而an=-2n+13,bn=2n-1. (2)不妨設(shè)cn=an-bn=13-2n-2n-1, 若n≤3,則cn>0;若n≥4,則

65、cn<0, 因此S12=|c1|+|c2|+|c3|+|c4|+|c5|+…+|c12| =c1+c2+c3-(c4+c5+…+c12) =2(c1+c2+c3)-(c1+c2+…+c12) =2(c1+c2+c3)-(a1+a2+…+a12)+(b1+b2+…+b12) =2×(10+7+3)-×12+ =40-0+212-1 =4 135. 4.(2018·浙江考前沖刺卷)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求T2n. 解:(1)∵S2=2a

66、2-2,① S3=a4-2,② ②—①得a3=a4-2a2,即q2-q-2=0. 又q>0,∴q=2. ∵S2=2a2-2,∴a1+a2=2a2-2, 即a1+a1q=2a1q-2,∴a1=2, ∴an=2n. (2)由(1)知bn= 即bn= ∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n=+[2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n)×2-2n]=+[2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n)×2-2n]. 設(shè)A=2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n)×2-2n, 則2-2A=2×2-4+4×2-6+6×2-8+…+(2n-2)×2-2n+(2n)×2-2n-2, 兩式相減得A=+2(2-4+2-6+2-8+…+2-2n)-(2n)×2-2n-2, 整理得A=-, ∴T2n=-+. 題型(四) 數(shù)列與不等式的綜合問題 主要考查證明不等式、比較數(shù)列中項的大小問題. [典例感悟] [典例4] (2018·衢州質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,Sn=2an+1,其中Sn為{an}的前n項和(n∈N*). (1)求S1,S

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