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2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何學(xué)案 理

  • 資源ID:105740077       資源大?。?span id="8yggcmm" class="font-tahoma">2.50MB        全文頁(yè)數(shù):61頁(yè)
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2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何學(xué)案 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何學(xué)案 理, 第一講 小題考法空間幾何體的三視圖、表面積與體積及空間線面位置關(guān)系的判定考點(diǎn)(一) 空間幾何體的三視圖主要考查利用三視圖的畫法規(guī)則及擺放規(guī)則,根據(jù)空間幾何體確定其三視圖,或根據(jù)三視圖還原其對(duì)應(yīng)直觀圖,或根據(jù)三視圖中的其中兩個(gè)確定另一個(gè).典例感悟典例(1)(2017·全國(guó)卷)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為()A10B12C14 D16(2)(2018·重慶調(diào)研)如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被削去一個(gè)角后所得到的幾何體的直觀圖,其中DD11,ABBCAA12.若此幾何體的俯視圖如圖所示,則可以作為其正視圖的是()解析(1)由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體,下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐,等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2,直三棱柱的高為2,三棱錐的高為2,易知該多面體有2個(gè)面是梯形,這些梯形的面積之和為×212,故選B.(2)由題意,根據(jù)該幾何體的直觀圖和俯視圖知,其正視圖的長(zhǎng)應(yīng)為底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng),寬應(yīng)為正方體的棱長(zhǎng),故排除B,D;在三視圖中看不見的棱用虛線表示,故排除A,選C.答案(1)B(2)C方法技巧熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是由三視圖還原幾何體的基礎(chǔ),在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上,按以下步驟可輕松解決此類問(wèn)題:演練沖關(guān)1(2018·全國(guó)卷)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析:選A由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示,由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.2(2018·安徽淮北二模)某幾何體的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形,則該幾何體中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)是()A. BC. D3解析:選A由三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱錐D­ABC,如圖,將其置于長(zhǎng)方體中,該長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,高為2.所以AB1,AC,BC,CD,DA2,BD,因此最長(zhǎng)棱為BD,棱長(zhǎng)是,故選A.3(2018·福州模擬)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A2 B3C4 D5解析:選C由三視圖知,該幾何體是如圖所示的四棱錐P­ABCD,易知四棱錐P­ABCD的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,即此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是4,故選C.4.(2018·全國(guó)卷)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為()A2 B2 C3 D2解析:選B先畫出圓柱的直觀圖,根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M,N的位置如圖所示圓柱的側(cè)面展開圖及M,N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖所示,連接MN,則圖中MN即為M到N的最短路徑ON×164,OM2,MN 2.考點(diǎn)(二) 空間幾何體的表面積與體積主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積公式的應(yīng)用,涉及的幾何體多為柱體、錐體,且常與三視圖相結(jié)合考查.典例感悟典例(1)(2017·全國(guó)卷)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為()A90B63C42D36(2)(2018·武漢調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖,則它的表面積為()A28B242C204 D202(3)(2018·哈爾濱六中模擬)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)(包括邊)的動(dòng)點(diǎn),且A1F平面D1AE,沿A1F將點(diǎn)B1所在的幾何體削去,則剩余幾何體的體積為()A. BC. D解析(1)法一:由題意知,該幾何體由底面半徑為3,高為10的圓柱截去底面半徑為3,高為6的圓柱的一半所得,故其體積V×32×10××32×663.法二:由題意知,該幾何體由底面半徑為3,高為10的圓柱截去底面半徑為3,高為6的圓柱的一半所得,其體積等價(jià)于底面半徑為3,高為7的圓柱的體積,所以它的體積V×32×763.(2)根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖如圖所示,可以看出該幾何體是一個(gè)底面是梯形的四棱柱根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù),可得該幾何體中梯形的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為3,高為2,所以該幾何體的表面積S×(23)×2×22×22×32×22×242,故選B.(3)分別取B1B,B1C1的中點(diǎn)M,N,連接A1M,MN,A1N,A1MD1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,A1M平面D1AE.同理可得MN平面D1AE,又A1M,MN是平面A1MN內(nèi)的相交直線,平面A1MN平面D1AE,由此結(jié)合A1F平面D1AE,可得直線A1F平面A1MN,即點(diǎn)F的軌跡是線段MN,VB1­A1MN××1××,將點(diǎn)B1所在的幾何體削去,剩余幾何體的體積為1.答案(1)B(2)B(3)D方法技巧1求解幾何體的表面積與體積的技巧(1)求三棱錐的體積:等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積:常用分割或補(bǔ)形的方法,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體求解(3)求表面積:其關(guān)鍵思想是空間問(wèn)題平面化求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí),通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺(tái)體,先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積,再通過(guò)求和或作差求得所給幾何體的表面積2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積或體積的步驟演練沖關(guān)1(2018·洛陽(yáng)尖子生統(tǒng)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A2 B1C. D解析:選C由題圖可知,該幾何體是一個(gè)四棱錐,如圖所示,其中PD平面ABCD,底面ABCD是一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形,底面積S×2×22,高h(yuǎn)1,則該幾何體的體積VSh,故選C.2(2018·長(zhǎng)春模擬)九章算術(shù)卷五商功中有如下問(wèn)題:今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無(wú)廣,高一丈,問(wèn)積幾何?芻甍:底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖,設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),那么該芻甍的體積為()A4 B5C6 D12解析:選B如圖,由三視圖可還原得幾何體ABCDEF,過(guò)E,F(xiàn)分別作垂直于底面的截面EGH和FMN,將原幾何體拆分成兩個(gè)底面積為3,高為1的四棱錐和一個(gè)底面積為,高為2的三棱柱,所以VABCDEF2V四棱錐E­ADHGV三棱柱EHG­FNM2××3×1×25,故選B.3(2018·貴州模擬)某實(shí)心幾何體是用棱長(zhǎng)為1 cm的正方體無(wú)縫粘合而成的,其三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A50 cm2 B61 cm2C84 cm2 D86 cm2解析:選D根據(jù)題意可知該幾何體由3個(gè)長(zhǎng)方體(最下面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5 cm,5 cm,1 cm;中間長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3 cm,3 cm,1 cm;最上面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為1 cm,1 cm,1 cm)疊合而成,長(zhǎng)、寬、高分別為5 cm,5 cm,1 cm的長(zhǎng)方體的表面積為2(5×55×15×1)2×3570(cm2);長(zhǎng)、寬、高分別為3 cm,3 cm,1 cm的長(zhǎng)方體的表面積為2(3×33×13×1)2×1530(cm2);長(zhǎng)、寬、高分別為1 cm,1 cm,1 cm的長(zhǎng)方體的表面積為2(1×11×11×1)2×36(cm2)由于幾何體的疊加而減少的面積為2×(3×3)2×(1×1)2×1020(cm2),所以所求表面積為703062086(cm2)故選D.考點(diǎn)(三) 與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問(wèn)題主要考查與多面體、旋轉(zhuǎn)體構(gòu)成的簡(jiǎn)單組合體的有關(guān)切、接球表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題,其本質(zhì)是計(jì)算球的半徑.典例感悟典例(1)(2018·全國(guó)卷)設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),ABC為等邊三角形且其面積為9,則三棱錐D­ABC體積的最大值為()A12B18C24 D54(2)(2017·全國(guó)卷)已知三棱錐S ­ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB,SAAC,SBBC,三棱錐S ­ABC的體積為9,則球O的表面積為_(3)(2017·江蘇高考)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是_解析(1)由等邊ABC的面積為9,可得AB29,所以AB6,所以等邊ABC的外接圓的半徑為rAB2.設(shè)球的半徑為R,球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d,則d2.所以三棱錐D­ABC高的最大值為246,所以三棱錐D­ABC體積的最大值為×9×618.(2)如圖,連接AO,OB,SC為球O的直徑,點(diǎn)O為SC的中點(diǎn),SAAC,SBBC,AOSC,BOSC,平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCBSC,AO平面SCB,設(shè)球O的半徑為R,則OAOBR,SC2R.VS ­ABCVA­SBC×SSBC×AO××AO,即9××R,解得 R3,球O的表面積為S4R24×3236.(3)設(shè)球O的半徑為R,因?yàn)榍騉與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切,所以圓柱的底面半徑為R、高為2R,所以.答案(1)B(2)36(3)方法技巧求解多面體、旋轉(zhuǎn)體與球接、切問(wèn)題的策略(1)過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題(2)利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或通過(guò)畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解演練沖關(guān)1(2019屆高三·山西八校聯(lián)考)已知一個(gè)球的表面上有A,B,C三個(gè)點(diǎn),且ABACBC2,若球心到平面ABC的距離為1,則該球的表面積為()A20B15C10 D5解析:選A設(shè)球心為O,ABC的中心為O,因?yàn)锳BACBC2,所以AO×2×2,因?yàn)榍蛐牡狡矫鍭BC的距離為1,所以O(shè)O1,所以AO,故該球的表面積S4×(OA)220.故選A.2(2018·重慶模擬)已知三棱錐A­BCD中,平面ABC平面BCD,BCCD,ABAC,CD2,BC2,則該三棱錐外接球的表面積為()A4 B4C12 D9解析:選C如圖,取BC的中點(diǎn)E,BD的中點(diǎn)O,連接OA,OE,OC,AE,則OECD.由平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCDBC,CD平面BCD,CDBC,得CD平面ABC,則OE平面ABC,所以O(shè)EBC,OEAE.在RtABC中,AEBCBECE,則RtOCERtOAERtOBE,所以O(shè)COAOB,又OBOD,所以O(shè)為三棱錐A­BCD的外接球的球心,外接球的半徑RBD ,則三棱錐A­BCD的外接球的表面積S4R212,故選C.3(2018·陜西渭南二模)體積為的球與正三棱柱的所有面均相切,則該棱柱的體積為_解析:設(shè)球的半徑為R,由R3,得R1,所以正三棱柱的高h(yuǎn)2.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則×a1,所以a2.所以V×2×3×26.答案:6考點(diǎn)(四)空間線面位置關(guān)系問(wèn)題主要考查利用四個(gè)公理、八個(gè)定理來(lái)判斷與點(diǎn)、線、面有關(guān)命題的真假或判斷簡(jiǎn)單的線面位置關(guān)系及簡(jiǎn)單空間角問(wèn)題的求解.典例感悟典例(1)(2017·全國(guó)卷)如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()(2)(2018·惠州模擬)設(shè)l,m,n為三條不同的直線,為一個(gè)平面,則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()若l,則l與相交;若m,n,lm,ln,則l;若lm,mn,l,則n;若lm,m,n,則ln.A1B2C3 D4(3)(2018·全國(guó)卷)在正方體ABCD­A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A. BC. D解析(1)法一:對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示,連接CD,因?yàn)锳BCD,M,Q分別是所在棱的中點(diǎn),所以MQCD,所以ABMQ .又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,所以AB平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C、D中均有AB平面MNQ.故選A.法二:對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)正方體的底面對(duì)角線的交點(diǎn)為O(如圖所示),連接OQ,則OQAB.因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn),所以AB與平面MNQ有交點(diǎn),即AB與平面MNQ不平行,根據(jù)直線與平面平行的判定定理及三角形的中位線性質(zhì)知,選項(xiàng)B、C、D中AB平面MNQ.故選A.(2)對(duì)于,若l,則l與不可能平行,l也不可能在內(nèi),所以l與相交,正確;對(duì)于,若m,n,lm,ln,則有可能是l,故錯(cuò)誤;對(duì)于,若lm,mn,則ln,又l,所以n,故正確;對(duì)于,因?yàn)閙,n,所以mn,又lm,所以ln,故正確選C.(3)如圖,連接BE,因?yàn)锳BCD,所以AE與CD所成的角為EAB.在RtABE中,設(shè)AB2,則BE,則tan EAB,所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.答案(1)A(2)C(3)C方法技巧1判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷(2)借助空間幾何模型,如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理,進(jìn)行肯定或否定(3)借助反證法,當(dāng)從正面入手較難時(shí),可利用反證法,推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題,進(jìn)而作出判斷2平移法求異面直線所成的角通過(guò)作圖(如結(jié)合中位線、平行四邊形等)來(lái)構(gòu)造平行線、作出異面直線所成的角,通過(guò)解三角形來(lái)求解,具體步驟為:演練沖關(guān)1(2018·安徽宣城第二次調(diào)研)已知m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題,其中錯(cuò)誤的命題是()A若m,m,n,則mnB若,m,n,則mnC若,m,則mD若,m,則m解析:選D若m,m,n,則由線面平行的性質(zhì)可得mn,故A正確若,m,n,則由線面垂直的性質(zhì)可得mn,故B正確若,m,則由面面垂直的性質(zhì)可得m,故C正確若,m,則m或m,故D不正確故選D.2.如圖是正方體的平面展開圖,則在這個(gè)正方體中:直線BM與ED平行;直線CN與BE是異面直線;直線CN與BM成60°角;直線DM與BN是異面直線以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是()A BC D解析:選C由題意得到正方體的直觀圖如圖所示,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得,直線BM與ED是異面直線,故不正確;直線CN與BE是平行的,故不正確;連接AN,則ANBM,所以直線CN 與BM所成的角就是ANC,且ANC60°,故正確;直線DM與BN是異面直線,故正確所以正確命題的序號(hào)是.3已知,表示兩個(gè)不同平面,a,b表示兩條不同直線,對(duì)于下列兩個(gè)命題:若b,a,則“ab”是“a”的充分不必要條件;若a,b,則“”是“a且b”的充要條件判斷正確的是()A,都是真命題B是真命題,是假命題C是假命題,是真命題D,都是假命題解析:選B若b,a,ab,則由線面平行的判定定理可得a,反過(guò)來(lái),若b,a,a,則a,b可能平行或異面,所以若b,a,“ab”是“a”的充分不必要條件,是真命題;若a,b,則由面面平行的性質(zhì)可得a,b,反過(guò)來(lái),若a,b,a,b,則,可能平行或相交,所以若a,b,則“”是“a,b”的充分不必要條件,是假命題,選項(xiàng)B正確 必備知能·自主補(bǔ)缺依據(jù)學(xué)情課下看,針對(duì)自身補(bǔ)缺漏;臨近高考再瀏覽,考前溫故熟主干 主干知識(shí)要記牢1簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積(1)S直棱柱側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng),h為高)(2)S正棱錐側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng),h為斜高)(3)S正棱臺(tái)側(cè)(cc)h(c與c分別為上、下底面周長(zhǎng),h為斜高)(4)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rl(r為底面半徑,l為母線長(zhǎng)),S圓錐側(cè)rl(r為底面半徑,l為母線長(zhǎng)),S圓臺(tái)側(cè)(rr)l(r,r分別為上、下底面的半徑,l為母線長(zhǎng))(5)柱、錐、臺(tái)體的體積公式V柱Sh(S為底面面積,h為高),V錐Sh(S為底面面積,h為高),V臺(tái)(SS)h(S,S為上、下底面面積,h為高)(6)球的表面積和體積公式S球4R2,V球R3.2兩類關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化(2)垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化3證明空間位置關(guān)系的方法已知a,b,l是直線,是平面,O是點(diǎn),則(1)線線平行cb,ab,ab,ab.(2)線面平行a,a,a.(3)面面平行,.(4)線線垂直ab,ab.(5)線面垂直 l, a, a,b.(6)面面垂直,.二級(jí)結(jié)論要用好1長(zhǎng)方體的對(duì)角線與其共點(diǎn)的三條棱之間的長(zhǎng)度關(guān)系d2a2b2c2;若長(zhǎng)方體外接球半徑為R,則有(2R)2a2b2c2.針對(duì)練1(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,且長(zhǎng)度分別為2,2,4,則其外接球的表面積為()A48B32C20 D12解析:選B依題意,設(shè)題中的三棱錐外接球的半徑為R,可將題中的三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體,則R 2,所以該三棱錐外接球的表面積為S4R232.2棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球半徑ra,外接球的半徑Ra.又正四面體的高h(yuǎn)a,故rh,Rh.針對(duì)練2正四面體ABCD的外接球半徑為2,過(guò)棱AB作該球的截面,則截面面積的最小值為_解析:由題意知,面積最小的截面是以AB為直徑的圓,設(shè)AB的長(zhǎng)為a,因?yàn)檎拿骟w外接球的半徑為2,所以a2,解得a,故截面面積的最小值為2.答案:易錯(cuò)易混要明了應(yīng)用空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理時(shí),忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件,導(dǎo)致判斷出錯(cuò)如由,l,ml,易誤得出m的結(jié)論,就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m的限制條件 針對(duì)練3設(shè),是兩個(gè)不同的平面,m是直線且m,則“m ”是“ ”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析:選B當(dāng)m時(shí),過(guò)m的平面與可能平行也可能相交,因而m/ ;當(dāng)時(shí),內(nèi)任一直線與平行,因?yàn)閙,所以m.綜上可知,“m ”是“ ”的必要不充分條件A級(jí)124提速練一、選擇題1.(2018·廣州模擬)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖,且該幾何體的體積為,則該幾何體的俯視圖可以是()解析:選D由題意可得該幾何體可能為四棱錐,如圖所示,其高為2,底面為正方形,面積為2×24,因?yàn)樵搸缀误w的體積為×4×2,滿足條件,所以俯視圖可以為D.2(2018·陜西模擬)把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使得平面ABD平面CBD,形成的三棱錐C­ABD的正視圖與俯視圖如圖所示,則側(cè)視圖的面積為()A. B C. D解析:選D由三棱錐C­ABD的正視圖、俯視圖得三棱錐C­ABD的側(cè)視圖為直角邊長(zhǎng)是的等腰直角三角形,其形狀如圖所示,所以三棱錐C­ABD的側(cè)視圖的面積為,故選D.3(2018·鄭州一模)已知兩條不重合的直線m,n和兩個(gè)不重合的平面,m,n.給出下列四個(gè)命題:若,則mn;若mn,則;若mn,則;若,則mn.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3解析:選C依題意,對(duì)于,由“若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直,則該直線也垂直于另一個(gè)平面”得知,m,又n,因此mn,正確;對(duì)于,當(dāng)時(shí),設(shè)n,在平面內(nèi)作直線mn,則有m,因此不正確;對(duì)于,由mn,m得n,又n,因此有,正確;對(duì)于,當(dāng)m,n,時(shí),直線m,n不平行,因此不正確綜上所述,正確命題的個(gè)數(shù)為2,故選C.4.(2018·唐山模擬)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫的是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A3 B.C7 D.解析:選B由題中的三視圖可得,該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體切去一個(gè)三棱錐所得的幾何體,長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為2,1,2,體積為4,切去的三棱錐的體積為,故該幾何體的體積V4.5(2018·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖中的曲線部分為半圓,則該幾何體的體積是()A19296 B25696C192100 D256100解析:選C題中的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)半圓柱構(gòu)成的幾何體,其中直三棱柱的底面是兩直角邊分別為8和6的直角三角形,高為8,該半圓柱的底面圓的半徑為5,高為8,因此該幾何體的體積為×8×6×8×52×8192100,選C.6.(2018·貴陽(yáng)模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(粗線部分),正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,該幾何體的頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A15 B16C17 D18解析:選C由題中的三視圖可知,該幾何體為如圖所示的三棱錐D1­BCD,將其放在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中,則該幾何體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3,長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為,球O的直徑為,所以球O的表面積S17,故選C.7(2018·石家莊模擬)如圖是某四棱錐的三視圖,其中正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)視圖是底邊分別為2和1的直角梯形,則該幾何體的體積為()A. BC. D解析:選A記由三視圖還原后的幾何體為四棱錐A­BCDE,將其放入棱長(zhǎng)為2的正方體中,如圖,其中點(diǎn)D,E分別為所在棱的中點(diǎn),分析知平面ABE平面BCDE,點(diǎn)A到直線BE的距離即四棱錐的高,設(shè)為h,在ABE中,易知AEBE,cosABE,則sinABE,所以h,故四棱錐的體積V×2××,故選A.8(2018·全國(guó)卷)在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中,ABBC1,AA1,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.解析:選C如圖,在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體EFBA­E1F1B1A1.連接B1F,由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知,B1FAD1,所以DB1F為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角連接DF,由題意,得DF,F(xiàn)B12,DB1.在DFB1中,由余弦定理,得DF2FBDB2FB1·DB1·cosDB1F,即5452×2××cosDB1F,cosDB1F.9已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O,半徑為R的球面上,AB6,BC2,且四棱錐O­ABCD的體積為8,則R等于()A4B2C. D解析:選A如圖,設(shè)矩形ABCD的中心為E,連接OE,EC,由球的性質(zhì)可得OE平面ABCD,所以VO­ABCD·OE·S矩形ABCD×OE×6×28,所以O(shè)E2,在矩形ABCD中可得EC2,則R4,故選A.10(2018·福州模擬)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為()A242 B224C26 D84解析:選A由三視圖知該幾何體為三棱錐,記為三棱錐P­ABC,將其放在棱長(zhǎng)為2的正方體中,如圖所示,其中ACBC,PAAC,PBBC,PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,故所求表面積為SABCSPACSPBCSPAB×2×2×2×2×2×2×(2)2242.故選A.11.(2018·唐山模擬)把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架中,使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)(皮球不變形),則皮球的半徑為()A10 cm B10 cmC10 cm D30 cm解析:選B依題意,在四棱錐S­ABCD中,所有棱長(zhǎng)均為20 cm,連接AC,BD交于點(diǎn)O,連接SO,則SOAOBOCODO10 cm,易知點(diǎn)O到AB,BC,CD,AD的距離均為10 cm,在等腰三角形OAS中,OAOS10 cm,AS20 cm,所以O(shè)到SA的距離d10 cm,同理可證O到SB,SC,SD的距離也為10 cm,所以球心為四棱錐底面ABCD的中心,所以皮球的半徑r10 cm,選B.12(2018·廣州模擬)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段DD1上靠近D1的三等分點(diǎn),平面BMN交AA1于點(diǎn)Q,則線段AQ的長(zhǎng)為()A. BC. D解析:選D如圖所示,在線段DD1上靠近點(diǎn)D處取一點(diǎn)T,使得DT,因?yàn)镹是線段DD1上靠近D1的三等分點(diǎn),故D1N,故NT21,因?yàn)镸為CC1的中點(diǎn),故CM1,連接TC,由NTCM,且CMNT1,知四邊形CMNT為平行四邊形,故CTMN,同理在AA1上靠近點(diǎn)A處取一點(diǎn)Q,使得AQ,連接BQ,TQ,則有BQCTMN,故BQ與MN共面,即Q與Q重合,故AQ,選D.二、填空題13(2018·南京模擬)在四棱錐P­ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,BAD60°,側(cè)棱PA底面ABCD,PA2,E為AB的中點(diǎn),則三棱錐P­BCE的體積為_解析:由題意知S底面ABCD2×2sin 60°2,所以SEBC,故VP­EBC×2×.答案:14(2018·內(nèi)蒙古包頭一模)已知直線a,b,平面,且滿足a,b,有下列四個(gè)命題:對(duì)任意直線c,有ca;存在直線c,使cb且ca;對(duì)滿足a的任意平面,有;存在平面,使b.其中正確的命題有_(填序號(hào))解析:因?yàn)閍,所以a垂直于內(nèi)任一直線,所以正確;由b得內(nèi)存在一直線l與b平行,在內(nèi)作直線ml,則mb,ma,再將m平移得到直線c,使c即可,所以正確;由面面垂直的判定定理可得不正確;若b,則由b得內(nèi)存在一條直線l與b平行,必有l(wèi),即有,而滿足b的平面有無(wú)數(shù)個(gè),所以正確答案:15(2019屆高三·益陽(yáng)、湘潭聯(lián)考)已知三棱錐S­ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上,ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形,SC為球O的直徑,且SC4,則此三棱錐的體積為_解析:如圖,設(shè)O1為ABC的中心,連接OO1,故三棱錐S­ABC的高h(yuǎn)2OO1,三棱錐S­ABC的體積V×2OO1×SABC,因?yàn)镺O11,所以V×2×1××32.答案:16(2018·全國(guó)卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45°,若SAB的面積為5,則該圓錐的側(cè)面積為_解析:如圖,SA與底面成45°角,SAO為等腰直角三角形設(shè)OAr,則SOr,SASBr.在SAB中,cosASB,sinASB,SSABSA·SB·sinASB×(r)2×5,解得r2,SAr4,即母線長(zhǎng)l4,S圓錐側(cè)rl×2×440.答案:40B級(jí)難度小題強(qiáng)化練1(2018·武漢調(diào)研)已知底面半徑為1,高為的圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上,則球O的表面積為()A. B4C. D12解析:選C如圖,ABC為圓錐的軸截面,O為其外接球的球心,設(shè)外接球的半徑為R,連接OB,OA,并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D,則ADBC,由題意知,AOBOR,BD1,AD,則在RtBOD中,有R2(R)212,解得R,所以外接球O的表面積S4R2,故選C.2(2018·南京模擬)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的體積為()A. BC2 D解析:選A由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,將其放在棱長(zhǎng)為2的正方體中,如圖中三棱錐A­BCD所示,故該幾何體的體積V××1×2×2.3(2018·福州模擬)已知圓柱的高為2,底面半徑為,若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積等于()A4 BC. D16解析:選D如圖,由題意知圓柱的中心O為這個(gè)球的球心,于是球的半徑rOB2.故這個(gè)球的表面積S4r216.故選D.4(2018·貴陽(yáng)檢測(cè))三棱錐P­ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為的球的表面上,底面ABC所在的小圓面積為16,則該三棱錐的高的最大值為()A4 B6C8 D10解析:選C依題意,設(shè)題中球的球心為O,半徑為R,ABC的外接圓半徑為r,則,解得R5,由r216,解得r4,又球心O到平面ABC的距離為3,因此三棱錐P­ABC的高的最大值為538,故選C.5(2018·全國(guó)卷)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等,則截此正方體所得截面面積的最大值為()A. BC. D解析:選A如圖所示,在正方體ABCD­A1B1C1D1中,平面AB1D1與棱A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方體的其余棱都分別與A1A,A1B1,A1D1平行,故正方體ABCD­A1B1C1D1的每條棱所在直線與平面AB1D1所成的角都相等如圖所示,取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA的中點(diǎn)E,F(xiàn),G,H,M,N,則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大,此截面面積為S正六邊形EFGHMN6××××sin 60°.故選A.6(2018·南寧模擬)如圖,在正方形ABCD中,AC為對(duì)角線,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn)現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是_(將符合題意的序號(hào)填到橫線上)AGEFH所在平面;AHEFH所在平面;HFAEF所在平面;HGAEF所在平面解析:根據(jù)折疊前ABBE,ADDF可得折疊后AHHE,AHHF,HEHFH,可得AH平面EFH,即正確;過(guò)點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直,不正確;AGEF,AHEF,AHAGA,EF平面HAG,平面HAG平面AEF.過(guò)H作直線垂直于平面AEF,該直線一定在平面HAG內(nèi),不正確;HG不垂直AG,HG平面AEF不正確,不正確,綜上,說(shuō)法錯(cuò)誤的序號(hào)是.答案:第二講 大題考法立體幾何題型(一)平行、垂直關(guān)系的證明與求線面角主要考查以具體幾何體三棱錐或四棱錐為載體,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系求解線面角問(wèn)題.典例感悟典例1(2018·全國(guó)卷)如圖,在三棱錐P­ABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O為AC的中點(diǎn)(1)證明:PO平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M­PA­C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.審題定向(一)定知識(shí)主要考查線線垂直、線面垂直、線面角(二)定能力1.考查直觀想象:三棱錐幾何體中線線垂直、線面垂直的空間位置關(guān)系.2.考查邏輯推理:欲證線面垂直,需證線線垂直;欲求線面角,需建系求面的法向量.3.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算:法向量的求解、向量夾角的求解.(三)定思路第(1)問(wèn)利用線面垂直的判定定理求證:連接OB,由已知條件得出OPAC,OPOB,再利用線面垂直的判定定理得證;第(2)問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解:建立以的方向?yàn)閤軸正方向的空間直角坐標(biāo)系,求出與平面PAM的法向量,進(jìn)而求出PC與平面PAM所成角的正弦值.解(1)證明:因?yàn)镻APCAC4,O為AC的中點(diǎn),所以POAC,且PO2.連接OB,因?yàn)锳BBCAC,所以ABC為等腰直角三角形,且OBAC,OBAC2.所以PO2OB2PB2,所以POOB.又因?yàn)镺BACO,所以PO平面ABC.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O ­xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),(0,2,2)取平面PAC的一個(gè)法向量(2,0,0)設(shè)M(a,2a,0)(0<a2),則(a,4a,0)設(shè)平面PAM的法向量為n(x,y,z)由得令ya,得za,x(a4),所以平面PAM的一個(gè)法向量為n(a4),a,a),所以cos,n.由已知可得|cos,n|cos 30°,所以,解得a或a4(舍去)所以n.又(0,2,2),所以cos,n.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.典例2(2016·全國(guó)卷)如圖,四棱錐P­ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M為線段AD上一點(diǎn),AM2MD,N為PC的中點(diǎn)(1)證明MN平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.審題定向(一)定知識(shí)主要考查直線與平面平行,直線與平面所成的角(二)定能力1.考查直觀想象:四棱錐幾何體中線線、線面平行與垂直的空間位置關(guān)系.2.考查邏輯推理:欲證線面平行,要證線線平行;欲求線面角,需建系求面的法向量.3.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算:法向量的求解、向量夾角的求解.(三)定思路第(1)問(wèn)利用線面平行的判定定理求證:取BP的中點(diǎn)T,利用中位線及平行四邊形的定義得出MNAT,從而證明MN平面PAB;第(2)問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解:建立空間直角坐標(biāo)系,求出與平面PMN的法向量,利用向量夾角公式可求線面角的正弦值.解(1)證明:由已知得AMAD2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC的中點(diǎn)知TNBC,TNBC2.又ADBC,故TN綊AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)镸N平面PAB,AT平面PAB,所以MN平面PAB.(2)取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由ABAC得AEBC,從而AEAD,且AE.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.由題意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,(0,2,4),.設(shè)n(x,y,z)為平面PMN的法向量,則即可取n(0,2,1)于是|cos n,|.所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.類題通法1證明空間位置關(guān)系要抓兩點(diǎn)一是平面圖形中的平行與垂直關(guān)系,這是證明空間線面平行與垂直關(guān)系的起點(diǎn),特別是三角形、梯形中的平行與垂直關(guān)系;二是準(zhǔn)確利用空間線、面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理,尤其是定理中的條件要記全、記準(zhǔn),切忌因記漏條件或錯(cuò)用定理等導(dǎo)致出錯(cuò)2利用空間向量求線面角的解題模型對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2018·唐山模擬)如圖,在四棱錐P­ABCD中,PC底面ABCD,ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB2AD2CD,E是PB的中點(diǎn)(1)求證:平面EAC平面PBC;(2)若二面角P­AC­E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值解:(1)證明:因?yàn)镻C平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACPC.因?yàn)锳B2AD2CD,所以ACBCADCD,所以AC2BC2AB2,故ACBC.又BCPCC,所以AC平面PBC.因?yàn)锳C平面EAC,所以平面EAC平面PBC.(2)如圖,以C為原點(diǎn),的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,并設(shè)CB2,CP2a(a>0)則C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),P(0,0,2a),則E(1,0,a),(0,2,0),(0,0,2a),(1,0,a),易知m(1,0,0)為平面PAC的一個(gè)法向量設(shè)n(x,y,z)為平面EAC的法向量,則n·n·0,即取xa,則z1,n(a,0,1)依題意,|cosm,n|,則a.于是n(,0,1),(0,2,2)設(shè)直線PA與平面EAC所成角為,則sin |cos,n|,即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.題型(二)平行、垂直關(guān)系的證明與求二面角主要通過(guò)具體幾何體三棱錐或四棱錐建立坐標(biāo)系,利用向量法求二面角的大小,此類問(wèn)題是考查熱點(diǎn).典例感悟典例1(2018·全國(guó)卷)如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點(diǎn)(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)當(dāng)三棱錐M­ABC體積最大時(shí),求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值.審題定向(一)定知識(shí)主要考查線線垂直、面面垂直、三棱錐的體積、二面角(二)定能力1.考查直觀想象:空間圖形中線線、線面、面面垂直的空間位置關(guān)系.2.考查邏輯推理:欲證面面垂直,需證線面垂直,進(jìn)而要證線線垂直.3.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算:法向量的求解,兩向量夾角的求解.(三)定思路第(1)問(wèn)利用面面垂直的判定定理證明:先證DMBC,DMCMDM平面BMC平面AMD平面BMC;第(2)問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解:ABC的面積為定值,點(diǎn)M到平面ABC的距離最大時(shí),三棱錐M­ABC的體積最大,建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向的空間直角坐標(biāo)系,求出平面MAB與平面MCD的法向量,利用法向量求二面角的正弦值.解(1)證明:由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,所以BCDM.因?yàn)镸為上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DMCM.又BCCMC,所以DM平面BMC.因?yàn)镈M平面AMD,所以平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz.當(dāng)三棱錐M­ABC的體積最大時(shí),M為的中點(diǎn)由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0),設(shè)n(x,y,z)是平面MAB的法向量,則即可取n(1,0,2),又是平面MCD的一個(gè)法向量,所以cosn,sinn,.所以平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值是.典例2(2017·全國(guó)卷)如圖,在四棱錐P­ABCD中,ABCD,且BAPCDP90°.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90°,求二面角A­PB­C的余弦值.審題定向(一)定知識(shí)主要考查平面和平面垂直、二面角(二)定能力1.考查直觀想象:四棱錐幾何體中線線平行與垂直,線面、面面垂直的空間位置關(guān)系.2.考查邏輯推理:欲證面面垂直,需證線面垂直,進(jìn)而需證線線垂直.3.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算:法向量的求解,兩向量夾角的求解.(三)定思路第(1)問(wèn)利用面面垂直的判定定理證明:先證ABAP,ABPDAB平面PAD平面PAB平面PAD; 第(2)問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解:建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PAB與平面PBC的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.解(1)證明:由已知BAPCDP90°,得ABAP,CDPD.因?yàn)锳BCD,所以ABPD.又APPDP,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PFAD,垂足為F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,|為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F­xyz.由(1)及已知可得A,P,B,C.所以,(,0,0),(0,1,0)設(shè)n(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,則即所以可取n(0,1,)設(shè)m(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,則即所以可取m(1,0,1)則cosn,m.由圖知二面角A­PB­C為鈍角,所以二面角A­PB­C的余弦值為.類題通法利用空間向量求二面角的解題模型對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 如圖,四棱錐P­ABCD的底面ABCD為菱形,平面PAD平面ABCD,PAPD5,AD6,DAB60°,E為AB的中點(diǎn)(1)證明:ACPE;(2)求二面角D­PA­B的余弦值解:(1)證明:如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OE,BD,四邊形ABCD為菱形,BDAC,O,E分別為AD,AB的中點(diǎn),OEBD,ACOE.PAPD,O為AD的中點(diǎn),POAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面ABCD,POAC,OEOPO,AC平面POE,ACPE.(2)連接OB,四邊形ABCD為菱形,ADAB,又DAB60°,DAB為等邊三角形,又O為AD的中點(diǎn),OBAD,PO平面ABCD,OA平面ABCD,OB平面ABCD,POOA,POOB,OP,OA,OB兩兩垂直以O(shè)A,OB,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O ­xyz,則A(3,0,0),B(0,3,0),P(0,0,4),(0,3,0)為平面PAD的一個(gè)法向量設(shè)平面PAB的法向量為n(x,y,z),又(3,0,4),(3,3,0),即取x1,則y,z,n為平面PAB的一個(gè)法向量,cos,n,結(jié)合圖形可知二面角D­PA­B的余弦值為.題型(三)利用空間向量解決探索性問(wèn)題主要考查利用空間向量探索與空間線面垂直、平行或與空間三種角有關(guān)的點(diǎn)所在位置、參數(shù)值的大小等問(wèn)題,一般出現(xiàn)在解答題的最后一問(wèn). 典例感悟典例(2016·北京高考)如圖,在四棱錐P­ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,ABAD,AB1,AD2,ACCD .(1)求證:PD平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由審題定向(一)定知識(shí)主要考查線線垂直、面面垂直的性質(zhì),線面垂直的判定,直線與平面所成角的正弦值,線面平行的性質(zhì)(二)定能力1.考查直觀想象:四棱錐幾何體中線線、線面、面面垂直,線面平行的空間位置關(guān)系.2.考查邏輯推理:欲證線面垂直,需證線線垂直;欲求線面角,需求面的法向量.3.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算:法向量的求解,兩向量夾角的求解.4.考查數(shù)學(xué)建模:對(duì)點(diǎn)是否存在探索,建立線面平行模型滿足條件.(三)定思路第(1)問(wèn)利用線面垂直的判定定理證明:平面PAD平面ABCDAB平面PADAB

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