（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 6 第6講 雙曲線教學(xué)案

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1、第6講　雙曲線 1．雙曲線的定義 條 件 結(jié)論1 結(jié)論2 平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2 M點(diǎn)的 軌跡為 雙曲線 F1、F2為雙曲線的焦點(diǎn) |F1F2|為雙曲線的焦距 ||MF1|－|MF2||＝2a 2a<|F1F2| 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖 形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x

2、 y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的半虛軸長(zhǎng) a、b、c的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 3.等軸雙曲線及性質(zhì) (1)等軸雙曲線：實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等軸雙曲線?離心率e＝?兩條漸近線y＝±x相互垂直． 4．雙曲線中一些常用的結(jié)論 (1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b. (2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別

3、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其長(zhǎng)為，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a. (4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為. (5)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝b2·，其中θ為∠F1PF2. [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌

4、跡是雙曲線．(　　) (2)橢圓的離心率e∈(0，1)，雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)．(　　) (3)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [教材衍化] 1．(選修2-1P61A組T1改編)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 解析：由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，雙曲線的漸近線方程為±＝0，即bx±ay＝0， 所以2a＝＝b. 又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2. 所以e2

5、＝＝5，所以e＝. 答案： 2．(選修2-1P62A組T6改編)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，－1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)雙曲線的方程為－＝±1(a＞0)， 把點(diǎn)A(3，－1)代入，得a2＝8(舍負(fù))， 故所求方程為－＝1. 答案：－＝1 3．(選修2-1P61練習(xí)T3改編)以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)要求的雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，由橢圓＋＝1，得焦點(diǎn)為(±1，0)，頂點(diǎn)為(±2，0)．所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1，0)，焦點(diǎn)為(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所

6、以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 [易錯(cuò)糾偏] (1)忽視雙曲線的定義； (2)忽視雙曲線焦點(diǎn)的位置； (3)忽視雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系． 1．平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是________． 解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，則b2＝c2－a2＝7，所以所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線－＝1的下支． 答案：雙曲線－＝1的下支 2．坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 解析：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為－＝

7、1，則漸近線的方程為y＝±x，由題意可得＝tan ＝，b＝a，可得c＝2a，則e＝＝2；若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為－＝1，則漸近線的方程為y＝±x，由題意可得＝tan ＝，a＝b，可得c＝a，則e＝.綜上可得e＝2或e＝. 答案：2或 3．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 解析：由條件知y＝－x過(guò)點(diǎn)(3，－4)，所以＝4，即3b＝4a，所以9b2＝16a2，所以9c2－9a2＝16a2，所以25a2＝9c2，所以e＝. 答案： 　　　　　　雙曲線的定義 (1)(2020·寧波高三質(zhì)檢)設(shè)雙

8、曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，則△PF1F2的面積等于(　　) A．10　　　　　　　　　 B．8 C．8 D．16 (2)(2020·溫州八校聯(lián)考)△ABC的頂點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________． 【解析】　(1)依題意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因?yàn)閨PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面積S＝×8× ＝8. (2)如圖，△ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為G，E，F(xiàn). |AG|

9、＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x>3)． 【答案】　(1)C　(2)－＝1(x>3) (變條件)若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”變?yōu)椤癙F1⊥PF2”，其他條件不變，如何求解． 解：設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則 解得mn＝16，所以S△PF1F2＝mn＝8. 雙曲線定義的應(yīng)用規(guī)律 類型 解讀 求方程 由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，由雙曲線的定義，確定2a，2b或2c的值，從而求出a2

10、，b2的值，寫出雙曲線方程 解焦點(diǎn)三角形 利用雙曲線上點(diǎn)M與兩焦點(diǎn)的距離的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a<|F1F2|)與正弦定理、余弦定理，解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題 [提醒]　在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支．若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．　 1．已知雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若|PF1|＝|PF2|，則△F1PF2的面積為(　　) A．48 B．24 C．12 D．6 解析：選B.由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|

11、PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故三角形PF1F2為直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24. 2．(2020·衢州調(diào)研)若雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，4)，則|PF|＋|PA|的最小值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 解析：選B.由題意知，雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－4，0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4，0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時(shí)取等號(hào)． 所以|PF|＋|PA|的最小值為9.

12、 　　　　　　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)已知雙曲線C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)(2020·浙江省六市六校聯(lián)盟模擬)如圖所示，已知雙曲線以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A，B為左、右焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)C，D兩頂點(diǎn)．若AB＝4，BC＝3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． 【解析】　(1)根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為y＝x，可知＝?、伲謾E圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9　②，根據(jù)①②可知a2＝4，b2＝5，所以選B. (2)

13、設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 由題意得B(2，0)，C(2，3)， 所以解得 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1. 【答案】　(1)B　(2)x2－＝1 (1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的答題模板 (2)利用待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法 ①與雙曲線－＝1共漸近線的方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； ②若雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； ③若雙曲線過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)，則雙曲線的方程可設(shè)為＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．　 　分別求出適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為； (2)焦距為

14、26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0，12)； (3)漸近線方程為y＝±x，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，)． 解：(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 －＝1或－＝1(a>0，b>0)． 由題意知，2b＝12，e＝＝， 所以b＝6，c＝10，a＝8. 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1. (2)因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0，12)， 所以M(0，12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)， 故焦點(diǎn)在y軸上，且a＝12. 又2c＝26，所以c＝13. 所以b2＝c2－a2＝25. 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (3)法一：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±x， 所以可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． 因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(

15、4，)， 所以λ＝16－4×()2＝4， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 法二：因?yàn)闈u近線y＝x過(guò)點(diǎn)(4，2)，而<2， 所以點(diǎn)(4，)在漸近線y＝x的下方，在y＝－x的上方(如圖)． 所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知條件可得解得 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 　　　　　　雙曲線的幾何性質(zhì)(高頻考點(diǎn)) 雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題．主要命題角度有： (1)求雙曲線的焦點(diǎn)(距)、實(shí)、虛軸長(zhǎng)； (2)求雙曲線的漸近線方程； (3)求雙曲線的離心率

16、(或范圍)． 角度一　求雙曲線的焦點(diǎn)(距)、實(shí)、虛軸長(zhǎng) (2020·義烏模擬)已知離心率為的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是(　　) A．32 B．16 C．84 D．4 【解析】　由題意知F2(c，0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線y＝x上，由題意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B. 【答案】　B 角度

17、二　求雙曲線的漸近線方程 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 【解析】　由題意，不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a， 解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c＞a， 所以有|PF2|＜|F1F2|， 所以∠PF1F2＝30°，所以(2a

18、)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝a，所以b＝＝a， 所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x， 即x±y＝0. 【答案】　A 角度三　求雙曲線的離心率(或范圍) (1)(2019·高考浙江卷)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是(　　) A. B．1 C. D．2 (2)已知雙曲線－＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使＝，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________． 【解析】　(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為x±y＝0，所以無(wú)論雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，都滿足a＝b

19、，所以c＝a，所以雙曲線的離心率e＝＝.故選C. (2)在△PF1F2中，由正弦定理知＝，又＝，所以＝，所以點(diǎn)P在雙曲線右支上，設(shè)P(x0，y0)，如圖， 又因?yàn)閨PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝.由雙曲線的幾何性質(zhì)知|PF2|>c－a，則>c－a，即e2－2e－1<0，所以1－1，故1

20、曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程． (3)求雙曲線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義，求雙曲線的方程． (4)求雙曲線焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長(zhǎng)．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解．　 1．過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓O：x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，雙曲線左頂點(diǎn)為C，若∠ACB＝120°，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選A.如圖所示，連接OA，OB， 設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2c(c>0)，則C(－a，0)，

21、F(－c，0)． 由雙曲線和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°. 因?yàn)閨OA|＝|OC|＝a， 所以△ACO為等邊三角形， 所以∠AOC＝60°. 因?yàn)镕A與圓O相切于點(diǎn)A，所以O(shè)A⊥FA， 在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a， 所以b＝ ＝ ＝a， 故雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為 y＝±x，即y＝±x. 2．(2020·紹興諸暨高考模擬)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠PF2F1

22、＝2∠PF1F2＝60°，則此雙曲線的離心率等于(　　) A．2－2 B. C.＋1 D．2＋2 解析：選C.設(shè)雙曲線的焦距長(zhǎng)為2c， 因?yàn)辄c(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，且∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°， 所以P在右支上，∠F2PF1＝90°， 即PF1⊥PF2，|PF1|＝2csin 60°＝c， |PF2|＝2ccos 60°＝c， 所以由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2a，所以e＝＝＝＋1. 故選C. 3．(2020·嘉興一中高考適應(yīng)性考試)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于焦距的倍，則雙曲線的離心率為_(kāi)____

23、___，如果雙曲線上存在一點(diǎn)P到雙曲線的左右焦點(diǎn)的距離之差為4，則雙曲線的虛軸長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)橛医裹c(diǎn)到漸近線的距離為b，若右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于焦距的倍， 所以b＝·2c＝c， 平方得b2＝c2＝c2－a2，即a2＝c2， 則c＝2a，則離心率e＝＝2， 因?yàn)殡p曲線上存在一點(diǎn)P到雙曲線的左右焦點(diǎn)的距離之差為4， 所以2a＝4，則a＝2，從而b＝＝2. 答案：2　4 　　　　　　直線與雙曲線的位置關(guān)系 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2，0)，實(shí)軸長(zhǎng)為2. (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C左支交于A，B兩點(diǎn)，求k的

24、取值范圍． 【解】　(1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知得，a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1， 所以雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)， 將y＝kx＋代入－y2＝1， 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由題意知 所以k的取值范圍為. (變問(wèn)法)在本例(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍． 解：由(2)得：xA＋xB＝， 所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋) ＝k(xA＋xB)＋2＝. 所以AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)直線l0的方程為：y

25、＝－x＋m， 將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l0的方程，得m＝. 因?yàn)?k<1，所以－2<1－3k2<0.所以m<－2. 所以m的取值范圍為(－∞，－2)． 研究直線與雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題的方法 (1)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷和直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法類似，利用方程解的個(gè)數(shù)確定； (2)若直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，直線的斜率為k，則|AB|＝ |x1－x2|. [提醒]　由方程法判斷直線與雙曲線位置關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式Δ來(lái)判定．　 　已知雙曲線

26、C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)． (1)求雙曲線的方程； (2)經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求AB的長(zhǎng)． 解：(1)因?yàn)殡p曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)， 所以解得c＝3，b＝， 所以雙曲線的方程為－＝1. (2)雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F2(3，0)，所以經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝(x－3)． 聯(lián)立得5x2＋6x－27＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－. 所以|AB|＝ ×

27、＝. [基礎(chǔ)題組練] 1．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±2x　　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選B.由條件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝±，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選B. 2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為y＝kx(k＞0)，離心率e＝k，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選C.由已知得 所以a2＝4b2.所以雙曲線的方程為－＝1. 3．(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)高三質(zhì)檢)雙曲線M：x2－＝1的左、右焦

28、點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，記|F1F2|＝2c，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，c為半徑的圓與曲線M在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF1|＝c＋2，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由點(diǎn)P在雙曲線的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，則|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋.易知△POF2為等邊三角形，則xP＝＝，選項(xiàng)A正確． 4．(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F1為圓心，OF1為

29、半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B．3 C. D．2 解析：選D.由題意，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，一條漸近線方程為y＝x，則F2到漸近線的距離為＝b. 設(shè)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)2M與漸近線交于點(diǎn)A，所以|MF2|＝2b，A為F2M的中點(diǎn)，又O是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥F1M，所以∠F1MF2為直角， 所以△MF1F2為直角三角形， 所以由勾股定理得4c2＝c2＋4b2， 所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2， 所以c＝2a，所以e＝2. 故選D. 5．已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，

30、點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，3)，則△APF的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.法一：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2，0)，當(dāng)x＝2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取點(diǎn)P(2，3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1，3)，所以AP∥x軸，又PF⊥x軸，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故選D. 法二：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2，0)，當(dāng)x＝2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取點(diǎn)P(2，3)，因?yàn)辄c(diǎn)A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×

31、3×1＝.故選D. 6．(2020·浙江高中學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)與拋物線y2＝20x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF|＝17，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由題意知F(5，0)，不妨設(shè)P點(diǎn)在x軸的上方，由|PF|＝17知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為17－5＝12，則其縱坐標(biāo)為＝4，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－5，0)，則|PF1|＝＝23，所以2a＝|PF1|－|PF|＝23－17＝6，所以a＝3，所以e＝＝，故選B. 7．(2020·寧波市余姚中學(xué)高三期中)已知曲線＋＝1，當(dāng)曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)k

32、的取值范圍是________；當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)k的取值范圍是________． 解析：當(dāng)曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，k2－k＞2， 所以k＜－1或k＞2； 當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，k2－k＜0， 所以0＜k＜1. 答案：k＜－1或k＞2　0＜k＜1 8．(2020·金華十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：－＝1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·＝0，則P到x軸的距離為_(kāi)_______． 解析：F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為y＝x，則可設(shè)P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x軸的距離為|

33、x0|＝2. 答案：2 9．(2020·瑞安四校聯(lián)考)設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與直線x＝分別交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點(diǎn)．若60°<∠AFB<90°，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________． 解析：雙曲線－＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，x＝時(shí)，y＝±，不妨設(shè)A，B，因?yàn)?0°<∠AFB<90°，所以

34、意可知，F(xiàn)1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，|F1F2|＝2.設(shè)P(x0，y0)，則△PF1F2的面積為×2|y0|＝12.故y＝，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得x＝，不妨設(shè)點(diǎn)P，則＝，＝，可得·＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝. 答案： 11．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解：橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，0)，(5，0)， 因而雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)， 所以漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0

35、，5)到兩條漸近線的距離為r＝3. 所以＝3，得a＝3，b＝4， 所以雙曲線G的方程為－＝1. 12．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為. (1)求此雙曲線的方程； (2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面積． 解：(1)依題意得解得 故雙曲線的方程為－x2＝1. (2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，設(shè)A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m>0，n>0，由＝得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入－x2＝1，整理得mn＝1. 設(shè)∠AOB＝2θ，因?yàn)閠an＝2

36、，則tan θ＝，從而sin 2θ＝. 又|OA|＝m，|OB|＝n， 所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2. [綜合題組練] 1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)過(guò)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C.若＝，則雙曲線的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.直線l：y＝－x＋a與漸近線l1：bx－ay＝0交于點(diǎn)B， l與漸近線l2：bx＋ay＝0交于點(diǎn)C，A(a，0)， 所以＝，＝， 因?yàn)椋剑? 所以b＝2a， 所以c2－a2＝4a2， 所以e2＝＝5，所

37、以e＝，故選C. 2．(2020·寧波高考模擬)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，則C1與C2的離心率之和為(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 解析：選A.F1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)， 若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，可得A，B， 代入橢圓方程可得＋＝1，可得＋＝1， 可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1. 代入雙曲線方程可得：－＝1， 可得：－＝1， 可得：e4－8e2＋4＝0，解得e＝＋1，

38、 則C1與C2的離心率之和為2. 故選A. 3．設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是__________． 解析：由題意不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，現(xiàn)考慮兩種極限情況：當(dāng)PF2⊥x軸時(shí)，將x＝2代入x2－＝1，解得y＝±3，所以|PF2|＝3，所以PF1＝＝5，所以|PF1|＋|PF2|有最大值8；當(dāng)∠P為直角時(shí)，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，又因?yàn)閨PF1|－|PF2|＝2，兩邊平方得(|PF1|－|PF2|)2＝4，所以|PF1||PF2|＝6，解得|PF1|＝1

39、＋，|PF2|＝－1＋，所以|PF1|＋|PF2|有最小值2.因?yàn)椤鱂1PF2為銳角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范圍為(2，8)． 答案：(2，8) 4．(2020·溫州十五校聯(lián)合體聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)M(0，1)且斜率為1的直線l與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩漸近線交于點(diǎn)A，B，且＝2，則直線l的方程為_(kāi)___________；如果雙曲線的焦距為2，則b的值為_(kāi)_______． 解析：直線l的方程為y＝x＋1，兩漸近線的方程為y＝±x.其交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.由＝2，得xB＝2xA.若＝－，得a＝3b，由a2＋b2＝10b2＝10得b＝1，若－＝，得a＝－3b(舍去)． 答案

40、：y＝x＋1　1 5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)． (1)求雙曲線的方程； (2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程． 解：(1)依題意，b＝，＝2?a＝1，c＝2，所以雙曲線的方程為x2－＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)． 易驗(yàn)證當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)不滿足題意，故可設(shè)直線l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面積S＝c|y

41、1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6.得k4＋8k2－9＝0，則k＝±1.所以直線l的方程為y＝x－2或y＝－x＋2. 6．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為y＝x，右焦點(diǎn)F到直線x＝的距離為. (1)求雙曲線C的方程； (2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B、D兩點(diǎn)，已知A(1，0)，若·＝1，證明：過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切． 解：(1)依題意有＝，c－＝， 因?yàn)閍2＋b2＝c2，所以c＝2a2，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)證明：設(shè)直線l的方程為y＝x

42、＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中點(diǎn)為M， 由得2x2－2mx－m2－3＝0， 所以x1＋x2＝m，x1x2＝－， 又因?yàn)椤ぃ?，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，所以m＝0(舍)或m＝2， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝1， 因?yàn)椤ぃ?1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，所以AD⊥AB， 所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓以點(diǎn)M為圓心，BD為直徑， 因?yàn)辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，所以MA⊥x軸， 所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切． 21