（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 6 第6講 雙曲線教學案

第6講雙曲線1雙曲線的定義條 件結(jié)論1結(jié)論2平面內(nèi)的動點M與平面內(nèi)的兩個定點F1，F(xiàn)2M點的軌跡為雙曲線F1、F2為雙曲線的焦點|F1F2|為雙曲線的焦距|MF1|MF2|2a2a<|F1F2|2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖 形性質(zhì)范圍xa或xa，yRya或ya，xR對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長a、b、c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)3.等軸雙曲線及性質(zhì)(1)等軸雙曲線：實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標準方程可寫作：x2y2(0)(2)等軸雙曲線離心率e兩條漸近線y±x相互垂直4雙曲線中一些常用的結(jié)論(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|maxac，|PF2|minca.(3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為，異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個不同的點，其中A，B關(guān)于原點對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為.(5)P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則SPF1F2b2·，其中為F1PF2.疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線()(2)橢圓的離心率e(0，1)，雙曲線的離心率e(1，)()(3)方程1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案：(1)×(2)(3)×(4)教材衍化1(選修2­1P61A組T1改編)若雙曲線1(a0，b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為_解析：由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為±0，即bx±ay0，所以2ab.又a2b2c2，所以5a2c2.所以e25，所以e.答案：2(選修2­1P62A組T6改編)經(jīng)過點A(3，1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為_解析：設(shè)雙曲線的方程為±1(a0)，把點A(3，1)代入，得a28(舍負)，故所求方程為1.答案：13(選修2­1P61練習T3改編)以橢圓1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為_解析：設(shè)要求的雙曲線方程為1(a0，b0)，由橢圓1，得焦點為(±1，0)，頂點為(±2，0)所以雙曲線的頂點為(±1，0)，焦點為(±2，0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以雙曲線標準方程為x21.答案：x21易錯糾偏(1)忽視雙曲線的定義；(2)忽視雙曲線焦點的位置；(3)忽視雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系1平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，4)的距離之差等于6的點的軌跡是_解析：由|PF1|PF2|6|F1F2|8，得a3，又c4，則b2c2a27，所以所求點的軌跡是雙曲線1的下支答案：雙曲線1的下支2坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為_解析：若雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為1，則漸近線的方程為y±x，由題意可得tan ，ba，可得c2a，則e2；若雙曲線的焦點在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為1，則漸近線的方程為y±x，由題意可得tan ，ab，可得ca，則e.綜上可得e2或e.答案：2或3若雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線經(jīng)過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為_解析：由條件知yx過點(3，4)，所以4，即3b4a，所以9b216a2，所以9c29a216a2，所以25a29c2，所以e.答案：雙曲線的定義 (1)(2020·寧波高三質(zhì)檢)設(shè)雙曲線x21的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上的一點，且|PF1|PF2|34，則PF1F2的面積等于()A10B8C8 D16(2)(2020·溫州八校聯(lián)考)ABC的頂點A(5，0)，B(5，0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是_【解析】(1)依題意|F1F2|6，|PF2|PF1|2，因為|PF1|PF2|34，所以|PF1|6，|PF2|8，所以等腰三角形PF1F2的面積S×8× 8.(2)如圖，ABC與內(nèi)切圓的切點分別為G，E，F(xiàn).|AG|AE|8，|BF|BG|2，|CE|CF|，所以|CA|CB|826.根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)【答案】(1)C(2)1(x>3) (變條件)若本例(1)中“|PF1|PF2|34”變?yōu)椤癙F1PF2”，其他條件不變，如何求解解：設(shè)|PF1|m，|PF2|n，則解得mn16，所以SPF1F2mn8.雙曲線定義的應用規(guī)律類型解讀求方程由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線的定義，確定2a，2b或2c的值，從而求出a2，b2的值，寫出雙曲線方程解焦點三角形利用雙曲線上點M與兩焦點的距離的差|MF1|MF2|2a(其中2a<|F1F2|)與正弦定理、余弦定理，解決焦點三角形問題提醒在應用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支 1已知雙曲線x21的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點若|PF1|PF2|，則F1PF2的面積為()A48 B24C12 D6解析：選B.由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，故三角形PF1F2為直角三角形，因此SPF1F2|PF1|×|PF2|24.2(2020·衢州調(diào)研)若雙曲線1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1，4)，則|PF|PA|的最小值是()A8 B9C10 D12解析：選B.由題意知，雙曲線1的左焦點F的坐標為(4，0)，設(shè)雙曲線的右焦點為B，則B(4，0)，由雙曲線的定義知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，當且僅當A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號所以|PF|PA|的最小值為9.雙曲線的標準方程 (1)已知雙曲線C：1 (a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2020·浙江省六市六校聯(lián)盟模擬)如圖所示，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A，B為左、右焦點，且雙曲線過C，D兩頂點若AB4，BC3，則此雙曲線的標準方程為_【解析】(1)根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為yx，可知，又橢圓1的焦點坐標為(3，0)和(3，0)，所以a2b29，根據(jù)可知a24，b25，所以選B.(2)設(shè)雙曲線的標準方程為1(a0，b0)由題意得B(2，0)，C(2，3)，所以解得所以雙曲線的標準方程為x21.【答案】(1)B(2)x21(1)求雙曲線標準方程的答題模板(2)利用待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法與雙曲線1共漸近線的方程可設(shè)為(0)；若雙曲線的漸近線方程為y±x，則雙曲線的方程可設(shè)為(0)；若雙曲線過兩個已知點，則雙曲線的方程可設(shè)為1(mn<0)或mx2ny21(mn<0) 分別求出適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)焦距為26，且經(jīng)過點M(0，12)；(3)漸近線方程為y±x，且經(jīng)過點(4，)解：(1)設(shè)雙曲線的標準方程為1或1(a>0，b>0)由題意知，2b12，e，所以b6，c10，a8.所以雙曲線的標準方程為1或1.(2)因為雙曲線經(jīng)過點M(0，12)，所以M(0，12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a12.又2c26，所以c13.所以b2c2a225.所以雙曲線的標準方程為1.(3)法一：因為雙曲線的漸近線方程為y±x，所以可設(shè)雙曲線的方程為x24y2(0)因為雙曲線過點(4，)，所以164×()24，所以雙曲線的標準方程為y21.法二：因為漸近線yx過點(4，2)，而<2，所以點(4，)在漸近線yx的下方，在yx的上方(如圖)所以雙曲線的焦點在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)由已知條件可得解得所以雙曲線的標準方程為y21.雙曲線的幾何性質(zhì)(高頻考點)雙曲線的幾何性質(zhì)及應用，是高考命題的熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題主要命題角度有：(1)求雙曲線的焦點(距)、實、虛軸長；(2)求雙曲線的漸近線方程；(3)求雙曲線的離心率(或范圍)角度一求雙曲線的焦點(距)、實、虛軸長 (2020·義烏模擬)已知離心率為的雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OMMF2，O為坐標原點，若SOMF216，則雙曲線的實軸長是()A32 B16C84 D4【解析】由題意知F2(c，0)，不妨令點M在漸近線yx上，由題意可知|F2M|b，所以|OM|a.由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以雙曲線C的實軸長為16.故選B.【答案】B角度二求雙曲線的漸近線方程 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是()A.x±y0 Bx±y0Cx±2y0 D2x±y0【解析】由題意，不妨設(shè)|PF1|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|F1F2|，所以PF1F230°，所以(2a)2(2c)2(4a)22·2c·4acos 30°，得ca，所以ba，所以雙曲線的漸近線方程為y±x±x，即x±y0.【答案】A角度三求雙曲線的離心率(或范圍) (1)(2019·高考浙江卷)漸近線方程為x±y0的雙曲線的離心率是()A. B1C. D2(2)已知雙曲線1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若雙曲線上存在一點P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_【解析】(1)因為雙曲線的漸近線方程為x±y0，所以無論雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上，都滿足ab，所以ca，所以雙曲線的離心率e.故選C.(2)在PF1F2中，由正弦定理知，又，所以，所以點P在雙曲線右支上，設(shè)P(x0，y0)，如圖，又因為|PF1|PF2|2a，所以|PF2|.由雙曲線的幾何性質(zhì)知|PF2|>ca，則>ca，即e22e1<0，所以1<e<1.由雙曲線e>1，故1<e<1.【答案】(1)C(2)(1，1)與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略(1)求雙曲線的離心率(或范圍)依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求雙曲線的漸近線方程依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程(3)求雙曲線方程依據(jù)題設(shè)條件，求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義，求雙曲線的方程(4)求雙曲線焦點(焦距)、實虛軸的長依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解 1過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F作圓O：x2y2a2的兩條切線，切點為A，B，雙曲線左頂點為C，若ACB120°，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：選A.如圖所示，連接OA，OB，設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為2c(c>0)，則C(a，0)，F(xiàn)(c，0)由雙曲線和圓的對稱性知，點A與點B關(guān)于x軸對稱，則ACOBCOACB×120°60°.因為|OA|OC|a，所以ACO為等邊三角形，所以AOC60°.因為FA與圓O相切于點A，所以O(shè)AFA，在RtAOF中，AFO90°AOF90°60°30°，所以|OF|2|OA|，即c2a，所以b a，故雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即y±x.2(2020·紹興諸暨高考模擬)設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且滿足PF2F12PF1F260°，則此雙曲線的離心率等于()A22 B.C.1 D22解析：選C.設(shè)雙曲線的焦距長為2c，因為點P為雙曲線上一點，且PF1F230°，PF2F160°，所以P在右支上，F(xiàn)2PF190°，即PF1PF2，|PF1|2csin 60°c，|PF2|2ccos 60°c，所以由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|(1)c2a，所以e1.故選C.3(2020·嘉興一中高考適應性考試)若雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點到漸近線的距離等于焦距的倍，則雙曲線的離心率為_，如果雙曲線上存在一點P到雙曲線的左右焦點的距離之差為4，則雙曲線的虛軸長為_解析：因為右焦點到漸近線的距離為b，若右焦點到漸近線的距離等于焦距的倍，所以b·2cc，平方得b2c2c2a2，即a2c2，則c2a，則離心率e2，因為雙曲線上存在一點P到雙曲線的左右焦點的距離之差為4，所以2a4，則a2，從而b2.答案：24直線與雙曲線的位置關(guān)系 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2，0)，實軸長為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C左支交于A，B兩點，求k的取值范圍【解】(1)設(shè)雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)由已知得，a，c2，再由a2b2c2，得b21，所以雙曲線C的方程為y21.(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由題意知所以k的取值范圍為. (變問法)在本例(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍解：由(2)得：xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.所以AB的中點P的坐標為.設(shè)直線l0的方程為：yxm，將P點坐標代入直線l0的方程，得m.因為<k<1，所以2<13k2<0.所以m<2.所以m的取值范圍為(，2)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的方法(1)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判斷和直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法類似，利用方程解的個數(shù)確定；(2)若直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|AB| |x1x2|.提醒由方程法判斷直線與雙曲線位置關(guān)系時，應注意當二次項系數(shù)等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當二次項系數(shù)不等于0時，用判別式來判定 已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求AB的長解：(1)因為雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點，所以解得c3，b，所以雙曲線的方程為1.(2)雙曲線1的右焦點為F2(3，0)，所以經(jīng)過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為y(x3)聯(lián)立得5x26x270.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|AB| × .基礎(chǔ)題組練1若雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ay±2xBy±xCy±x Dy±x解析：選B.由條件e，即，得13，所以±，所以雙曲線的漸近線方程為y±x.故選B.2已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線為ykx(k0)，離心率ek，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選C.由已知得所以a24b2.所以雙曲線的方程為1.3(2020·杭州學軍中學高三質(zhì)檢)雙曲線M：x21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，記|F1F2|2c，以坐標原點O為圓心，c為半徑的圓與曲線M在第一象限的交點為P，若|PF1|c2，則點P的橫坐標為()A. B.C. D.解析：選A.由點P在雙曲線的第一象限可得|PF1|PF2|2，則|PF2|PF1|2c，又|OP|c，F(xiàn)1PF290°，由勾股定理可得(c2)2c2(2c)2，解得c1.易知POF2為等邊三角形，則xP，選項A正確4(2020·杭州中學高三月考)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，若F2關(guān)于漸近線的對稱點恰落在以F1為圓心，OF1為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為()A. B3C. D2解析：選D.由題意，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，一條漸近線方程為yx，則F2到漸近線的距離為b.設(shè)F2關(guān)于漸近線的對稱點為M，F(xiàn)2M與漸近線交于點A，所以|MF2|2b，A為F2M的中點，又O是F1F2的中點，所以O(shè)AF1M，所以F1MF2為直角，所以MF1F2為直角三角形，所以由勾股定理得4c2c24b2，所以3c24(c2a2)，所以c24a2，所以c2a，所以e2.故選D.5已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1，3)，則APF的面積為()A. B.C. D.解析：選D.法一：由題可知，雙曲線的右焦點為F(2，0)，當x2時，代入雙曲線C的方程，得41，解得y±3，不妨取點P(2，3)，因為點A(1，3)，所以APx軸，又PFx軸，所以APPF，所以SAPF|PF|·|AP|×3×1.故選D.法二：由題可知，雙曲線的右焦點為F(2，0)，當x2時，代入雙曲線C的方程，得41，解得y±3，不妨取點P(2，3)，因為點A(1，3)，所以(1，0)，(0，3)，所以·0，所以APPF，所以SAPF|PF|·|AP|×3×1.故選D.6(2020·浙江高中學科基礎(chǔ)測試)已知雙曲線1(a0，b0)與拋物線y220x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|17，則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.解析：選B.由題意知F(5，0)，不妨設(shè)P點在x軸的上方，由|PF|17知點P的橫坐標為17512，則其縱坐標為4，設(shè)雙曲線的另一個焦點為F1(5，0)，則|PF1|23，所以2a|PF1|PF|23176，所以a3，所以e，故選B.7(2020·寧波市余姚中學高三期中)已知曲線1，當曲線表示焦點在y軸上的橢圓時k的取值范圍是_；當曲線表示雙曲線時k的取值范圍是_解析：當曲線表示焦點在y軸上的橢圓時，k2k2，所以k1或k2；當曲線表示雙曲線時，k2k0，所以0k1.答案：k1或k20k18(2020·金華十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：1的一條漸近線，P是l上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若·0，則P到x軸的距離為_解析：F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為yx，則可設(shè)P(x0，x0)，由·(x0，x0)·(x0，x0)3x60，得x0±，故P到x軸的距離為|x0|2.答案：29(2020·瑞安四校聯(lián)考)設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線與直線x分別交于A，B兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點若60°<AFB<90°，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_解析：雙曲線1的兩條漸近線方程為y±x，x時，y±，不妨設(shè)A，B，因為60°<AFB<90°，所以<kFB<1，所以<<1，所以<<1，所以<<1，所以1<e21<3，所以<e<2.答案：(，2)10設(shè)P為雙曲線x21上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的左、右焦點，若PF1F2的面積為12，則F1PF2_解析：由題意可知，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，|F1F2|2.設(shè)P(x0，y0)，則PF1F2的面積為×2|y0|12.故y，將P點坐標代入雙曲線方程得x，不妨設(shè)點P，則，可得·0，即PF1PF2，故F1PF2.答案：11已知橢圓D：1與圓M：x2(y5)29，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程解：橢圓D的兩個焦點坐標為(5，0)，(5，0)，因而雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，且c5.設(shè)雙曲線G的方程為1(a>0，b>0)，所以漸近線方程為bx±ay0且a2b225，又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為r3.所以3，得a3，b4，所以雙曲線G的方程為1.12已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點到漸近線的距離為.(1)求此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點，A，B兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求AOB的面積解：(1)依題意得解得故雙曲線的方程為x21.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y±2x，設(shè)A(m，2m)，B(n，2n)，其中m>0，n>0，由得點P的坐標為.將點P的坐標代入x21，整理得mn1.設(shè)AOB2，因為tan2，則tan ，從而sin 2.又|OA|m，|OB|n，所以SAOB|OA|OB|sin 22mn2.綜合題組練1(2020·舟山市普陀三中高三期中)過雙曲線1(a0，b0)的右頂點A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C.若，則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.解析：選C.直線l：yxa與漸近線l1：bxay0交于點B，l與漸近線l2：bxay0交于點C，A(a，0)，所以，因為，所以b2a，所以c2a24a2，所以e25，所以e，故選C.2(2020·寧波高考模擬)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點，若AF1BF1，且AF1O，則C1與C2的離心率之和為()A2 B4C2 D2解析：選A.F1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點，若AF1BF1，且AF1O，可得A，B，代入橢圓方程可得1，可得1，可得e48e240，解得e1.代入雙曲線方程可得：1，可得：1，可得：e48e240，解得e1，則C1與C2的離心率之和為2.故選A.3設(shè)雙曲線x21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_解析：由題意不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，現(xiàn)考慮兩種極限情況：當PF2x軸時，將x2代入x21，解得y±3，所以|PF2|3，所以PF15，所以|PF1|PF2|有最大值8；當P為直角時，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c216，又因為|PF1|PF2|2，兩邊平方得(|PF1|PF2|)24，所以|PF1|PF2|6，解得|PF1|1，|PF2|1，所以|PF1|PF2|有最小值2.因為F1PF2為銳角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范圍為(2，8)答案：(2，8)4(2020·溫州十五校聯(lián)合體聯(lián)考)過點M(0，1)且斜率為1的直線l與雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩漸近線交于點A，B，且2，則直線l的方程為_；如果雙曲線的焦距為2，則b的值為_解析：直線l的方程為yx1，兩漸近線的方程為y±x.其交點坐標分別為，.由2，得xB2xA.若，得a3b，由a2b210b210得b1，若，得a3b(舍去)答案：yx115已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A，B兩點，F(xiàn)1為左焦點(1)求雙曲線的方程；(2)若F1AB的面積等于6，求直線l的方程解：(1)依題意，b，2a1，c2，所以雙曲線的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)易驗證當直線l斜率不存在時不滿足題意，故可設(shè)直線l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k±，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F(xiàn)1AB的面積Sc|y1y2|2|k|·|x1x2|2|k|·12|k|·6.得k48k290，則k±1.所以直線l的方程為yx2或yx2.6已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為yx，右焦點F到直線x的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B、D兩點，已知A(1，0)，若·1，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切解：(1)依題意有，c，因為a2b2c2，所以c2a2，所以a1，c2，所以b23，所以雙曲線C的方程為x21.(2)證明：設(shè)直線l的方程為yxm(m>0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中點為M，由得2x22mxm230，所以x1x2m，x1x2，又因為·1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，所以m0(舍)或m2，所以x1x22，x1x2，M點的橫坐標為1，因為·(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，所以ADAB，所以過A、B、D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑，因為點M的橫坐標為1，所以MAx軸，所以過A、B、D三點的圓與x軸相切21